Construcción de los sistemas numéricos

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argentinator:
No siempre es fácil encontrar libros o textos en internet que sean completos y claros sobre  la construcción de los sistemas numéricos.
Hay retazos de esa teoría desperdigados por ahí, y a veces con un enfoque que no me parece acertado.

Se me ocurrió que sería bueno dejar "a mano" esta referencia general en los foros del rincón matemático,
en el que se van a desarrollar todos los detalles necesarios para entender cómo se obtienen los sistemas numéricos.

Tanto la introducción como las secciones principales continúan en hilos aparte, para mejor manejo del contenido
y mejor carga de la página. Los enlaces son los siguientes:

C. Sists. Numéricos. --- Sección 0: Introducción >> (clic para acceder)C. Sists. Numéricos. --- Sección 1: Números Naturales >> (clic para acceder)
C. Sists. Numéricos. --- Sección 2: Números Enteros >> (clic para acceder)
C. Sists. Numéricos. --- Sección 3: Números Racionales >> (clic para acceder)
C. Sists. Numéricos. --- Sección 4: Números Reales (clic para acceder) [editado en un 90%]
C. Sists. Numéricos. --- Sección 5: Números Complejos (clic para acceder) [aún no escrito]
C. Sists. Numéricos. --- Sección 6: Posibles nuevos sistemas numéricos (clic para acceder) [aún no escrito]


Nota: Este material es posterior a lo que había escrito en un principio,
y posterior a algunas contestaciones y conversaciones que hubo en el thread.
He hecho algunos arreglos y aclaraciones ayudándome de los comentarios recibidos,
que me sirvieron para darme cuenta de qué cosas convenía agregar o modificar.
También hubo algunos cambios y agregados en la teoría de Números Naturales.

Como esto es un thread dentro de un foro,
está abierto a comentarios y discusiones de todos los usuarios.
Espero que la gente no sea tímida y se anime a opinar o preguntar,
y así me ayudan a dejar todo mucho más claro y exacto.
Deseo dejar una versión definitiva y sin cambios, pero por ahora,
año 2012, estoy abierto a hacer modificaciones.

Detalles que podrían faltar o no: Hay muchas demostraciones que las he expuesta al máximo detalles,
y en cambio hay algunas otras que las he pasado por alto,
dejando al lector que complete los detalles.
Esto es tramposo, porque sabemos que muy raramente el lector efectivamente completa los detalles.
Los pasos que he omitido son, básicamente, aburridos,
pero que cualquiera podría llevar a cabo si lo intenta.

Si alguien tiene interés en que se agregue o complete alguna prueba o paso faltante,
puede solicitarlo posteando en este mismo thread, y vemos cómo se soluciona.

argentinator:
Principal * N Z Q R C +

 

He introducido los sistemas numéricos mediante axiomas, y como una tarea posterior he llevado a cabo las típicas y muy conocidas construcciones correspondientes.

El motivo de esto, así como la razón por la cual digo sistemas numéricos en vez de conjuntos numéricos, viene explicado en la Sección 0,
y además se discute en este mismo thread con los compañeros del foro.

Inicialmente las Secciones 0 a 6 estaban todas juntas en este mismo thread, pero las he debido separar en threads independientes porque se dificultaba la carga de las páginas.
También he hecho cambios en esas secciones, posteriormente a los comentarios que siguen.
Esos cambios, espero, no alteran el espíritu inicial que había en la exposición teórica.
En cambio no he modificado los posts en que dialogo con otras personas.

 

Jabato:
Has elegído el método axiomático para definir los sistemas numéricos, y yo personalemente prefiero otro método.

Por ejemplo definir número natural como la clase de todos los conjuntos finitos biyectivos, aparte de ser mucho más simple es mas intuitivo.

Definir los números enteros como clases de pares ordenados de númeo naturales es básico, con la archiconocida relación de equivalencia:



Y definir los racionales como clases de ternas ordenadas de naturales raya casi lo elemental, con la relación de equivalencia:



Definiéndose las operaciones suma y producto de naturales por el método clasico de iterar la operación siguiente para la suma e iterar la operación suma para el producto (e incluso definir la operación potencia como la iteración del producto) y la operaciones suma y producto de enteros y racionales en base a la suma y producto de naturales.

Todas sus propiedades, incluido el orden que presentan, se deducen facilmente de estas definiciones y a lo sumo de los axiomas de la T.C., ¿no sería mejor utilizar este enfoque en lugar de un conjunto de axiomas independientes para cada tipo de número?

Mi opinión es que una teoría matemática es tanto más deseable cuanto menor sea el número de axiomas que contiene.

Saludos, Jabato. ;D

argentinator:

Principal * N Z Q R C +


No se trata de que "elegí" ese método, sino que opino que es el método correcto.

Fiajte que dos personas distintas podrían "construir" los números enteros, por ejemplo, con dos métodos diferentes.
Ambas personas podrían argüir que "su" método define el concepto de número entero.
¿A quién le doy la razón?
Una cosa que habría que comprobar, por ejemplo, es que los métodos de estas dos personas conducen a estructuras que tienen las mismas propiedades, o sea, hay un "isomorfismo".
Pero entonces, lo que estamos haciendo es reconocer que en el fondo hay una estructura común, un concepto de número entero que toda "construcción" debe cumplir.

Porque si no, ¿cuáles son las propiedades específicas de los números enteros?
Si tomo como "definición" de entero a las clases de equivalencia de pares ordenados de naturales, un número entero es una clase de equivalencia, y por tanto, un número entero sería un conjunto con ciertos elementos.
Las propiedades de ese número entero incluirían ciertas propiedades de la teoría de conjuntos, como por ejemplo, que algunos elementos sean a su vez conjuntos, y entonces uno podría demostrar relaciones extrañas entre los "números enteros", hablando de pertenencias, inclusiones, uniones.... cosas que nada tienen que ver con la noción que uno tiene de número entero.

Un número entero es algo que "tiene que funcionar de cierto modo".
Esa manera de funcionar ha de ser independiente de la manera en que se los construya.

La construcción conocida de las "clases de equivalencia de pares de naturales", resulta que sólo es "una de tantas" maneras de construir un sistema de números enteros.

También podría usar esta construcción: .
Los pares ordenados serían los enteros negativos, y los pares serían los enteros positivos.
Luego bastaría definir adecuadamente la suma, el producto, y el orden en Z, y tengo un sistema de enteros.
¿O acaso no puedo?
¿Y por qué no sería preferible este método al de las clases de equivalencia de pares de N?

También puedo definir los enteros a través de la geometría de la línea recta: tomo una línea recta en el espacio geométrico euclidiano, tomo un segmento fijo OU, y lo traslado a izquierda y derecha, infinitas veces.
Ese conjunto de puntos, con el orden que tiene la línea recta, tiene una estructura análoga a la de los números enteros, y pueden definirse sin problemas las operaciones de suma y producto ahí, etc.

Y te doy un ejemplo aún más corriente, y que aparece indefectiblemente al trabajar con números.
Supongamos que has construido los racionales con el método que más te guste.
Ese sistema tiene un subconjunto que satisface las propiedades de los números enteros.
Pero ese sistema "es totalmente diferente" de "las clases de equivalencia de pares de naturales".
O sea, ambos conjuntos tienen elementos que son cosas muy distintas...
¿Con qué derecho digo entonces que hay en Q un subconjunto de "enteros"?
¿Qué propiedades tiene ese subconjunto de Q que lo hacen un sistema de enteros?
¿Es isomorfo a quién?
Y si es isomorfo... debo decir qué tipo de isomorfismo se trata, o sea, ¿qué propiedades espero que el isomorfismo conserve? Porque los isomorfismos no son algo libre, sino que hay qué decir de qué tipo es: isomorfismo de anillos, de cuerpos, de sistemas ordenados, topológicos... de lo que sea... (en este caso, las propiedades de un sistema de entero, que al parecer se trata de anillos ordenados con cierta propiedad de buena ordenación)

En algún momento tengo que reconocer que necesito una lista de propiedades comunes a todos los sistemas de enteros, y es ahí donde las pongo en un sistema axiomático.


Además, es necesario probar que todos los sistemas de enteros que yo vaya a obtener, son "en esencia el mismo", o sea, no puede ser que haya ambigüedad en el significado de sistema de números enteros.
Para eso debo ponerme de acuerdo en qué propiedades comunes a esos sistemas considero que definen la estructura de número entero.
Y hay por ahí un Teorema en el que he demostrado que todos los sistemas que satisfacen los axiomas 1, 2, 3 y 4 que he dado para los enteros, son isomorfos entre sí en el sentido de conservar esos axiomas. No hay lugar a ambigüedad.

Si no te convencen los enteros, entonces podemos ir a los números reales, que todavía los debo...
Puedo construir los números reales a partir de 5 métodos diferentes o más.
¿Por qué esos sistemas puedo considerarlos "equivalentes"?
La única manera de decir que todos ellos conducen al mismo concepto es mediante un sistema axiomático.


Pero ahora hay otra cuestión importante.
El "método axiomático" es parte necesaria de la teoría, pero no es suficiente.

Una lista de axiomas no alcanza para "definir" el concepto de, por ejemplo, números enteros.
¿Por qué?
Porque podría pasar que no haya sistema matemático alguno que cumpla con una cierta lista de Axiomas.
Tengo que demostrar que existe algún sistema que sí la cumpla.

Y entonces es ahí donde viene esa construcción que te cae tan simpática de los pares ordenados de naturales...

Esa construcción es necesaria, porque constituye al menos un ejemplo, o sea, un modelo que verifica los axiomas.
Podrían haber muchos modelos más, pero exhibir al menos un modelo es necesario para que una teoría no sea inconsistente.


Así que, resumiendo, tanto el sistema axiomático como las construcciones "a mano" de los distintos sistemas de números, son necesarias para que la teoría de cada sistema de números esté completa, correcta, y que no tenga huecos o ambigüedades matemáticamente hablando.

Es por eso que doy las dos cosas.

Además, si te fijás, en el post de números enteros, en la mitad inferior está esa construcción de los pares de naturales.


En cuanto a la definición de racionales que das con ternas ordenadas de naturales... no es la estándar.
La que se suele dar es otra.
¿Y entonces por qué estás seguro de que tu construcción conduce a "un sistema correcto de racionales"?
¿Basado en qué criterio?
¿Qué es un "sistema de racionales", de tal forma que tu construcción o cualquier otra se pueda considerar válida?
¿Qué propiedades han de cumplir...? Respuesta: Los Axiomas 1, 2, 3 y 4 del post de los racionales.


Editado: Lo que sigue podría obviarse, ya que he modificado el post de números naturales agregando los detalles que faltaban.

En cuanto a los números naturales, es cierto que me contradigo conmigo mismo, porque sólo he puesto los Axiomas.
He demostrado que todos los sistemas de naturales posibles son equivalentes.
Pero no he dado ningún modelo de sistema de números naturales.

A lo mejor agregue un comentario sobre ello, pero no voy a ponerme en detalles, porque eso es algo que tiene más bien que ver con la teoría de conjuntos. Creo que me alejaría demasiado del tema.
Por lo general se suele partir del sistema de los números naturales, sin mucho protocolo, y a partir de ahí se construyen o edifican los demás sistemas de números.

O sea, si uno puede aceptar que tiene en alguna parte a los números naturales, lo demás puede construirse.
Pero hay en torno a los números naturales muchas cuestiones filosóficas y teóricas intrincadas de diverso tipo que no quiero mezclar en todo esto.
Y por eso lo voy a dejar un poco "playo".

De todas maneras, hay muchas maneras de construir "números naturales".
Basta con saber que hay alguna forma.

El método que te gusta, de las clases de todos los finitos biyectivos... tiene el problema de que el conjunto de los naturales tendría como elementos a "clases que no son conjuntos".
Eso provoca que uno tenga que ser excesivamente cuidadoso con el tratamiento que les da a esos objetos.

Por eso puede ser más preferible usar la lista de conjuntos típica siguiente:

, etc.,.

Cada elemento es un "conjunto" y no una clase propia, y eso nos deja en terreno más "seguro" cuando se hacen demostraciones.
Para que esa lista de elementos sea un "conjunto" hay que exigirlo mediante uno de los "axiomas" de la teoría de conjuntos,
Así que un modelo o ejemplo de sistema de naturales existe por "decreto", es un Axioma matemático.

Si no se acepta eso... es porque uno es un intuicionista, y todo lo demás se va al diablo.


argentinator:
Principal * N Z Q R C +


Lo que quiero decir, en definitiva, es que en algún texto los autores hablan del "método axiomático" como si fuera un "método" más entre aquellos tantos posibles "métodos de construcción de sistemas de números".

Yo opino que eso es didácticamente incorrecto, y también matemáticamente flojo.
La relación entre el sistema de axiomas de un tipo de números y los diferentes "métodos de construcción" es que esos "métodos" conducen a meros ejemplos o casos particulares del sistema axiomático.

A su vez, el sistema axiomático por sí mismo no construye nada.
Es un error pensar, decir o enseñar que es un "método de construcción".
Se requiere que haya un modelo (un ejemplo "construido") para dicho sistema de axiomas, porque si no, se trata de Axiomas de una teoría vacía.

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