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Autor Tema: Propiedad subgrupo normal.  (Leído 284 veces)
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martiniano
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« : 08/07/2019, 04:11:11 pm »

Hola a todos. Tengo el siguiente enunciado tomado del Álgebra Abstracta de John B. Fraleigh:

Sea [texx]H[/texx] un subgrupo normal de un grupo finito [texx]G[/texx] y sea [texx]m=(G:H)[/texx]. Muéstrese que [texx]a^m\in{H}[/texx] para todo [texx]a\in{G}[/texx]

Yo he pensado esto:

Al ser [texx]m[/texx] el orden de [texx]G/H[/texx] y [texx]H[/texx] su elemento neutro tenemos que para todo [texx]a\in{G}[/texx] se cumple [texx]H=(aH)^m=a^mH[/texx], por tanto [texx]a^m\in{H}[/texx].

Tengo dudas porque no he utilizado el hecho de que [texx]G[/texx] sea finito. ¿Qué opináis?

Un saludo y gracias.
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geómetracat
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« Respuesta #1 : 08/07/2019, 05:53:20 pm »

Sí, está bien.
Lo único que se me ocurre, por buscar una explicación rebuscada, es que si [texx]G[/texx] es infinito el índice [texx](G:H)[/texx] no tiene por qué ser finito y en ese caso el argumento no vale (aunque el enunciado tampoco tiene mucho sentido en este caso).
Pero, aunque [texx]G[/texx] sea infinito, si [texx](G:H)[/texx] es finito todo funciona como has puesto.
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
martiniano
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« Respuesta #2 : 08/07/2019, 05:57:11 pm »

De acuerdo. Gracias por tu respuesta, geómetracat.

Un saludo.
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