Recta tangente a una curva.

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Joaquin_mx:
Hola el_manco y a todos(as):

A partir de este problema particular, me han salido un buen de dudas, pero como no se por donde empezar, y para no confundir la situación voy a tratar de explicar lo que paso, digamos en forma cronológica como se me fue planteando el problema.

Lo primero que se planteaba en el problema era obtener la ec. de la recta tangente a la curva en el punto P(0,0)

1.- Pense que sacando la derivada y con la pendiente obtenia la ec. de la recta tangente., cosa que se complicó por ser implicita la ec., en fin no aplicó.

2.- Intente sacar el gradiente , pensé que con este obtendría una dirección ortogonal a la mencionada curva y en el punto sacar a su vez una dirección ortogonal que sería justamente la dirección tangente, cosa que no aplico por ser el punto P(0,0) y quedar "indefinido" o "nulo" el gradiente para este proposito.

3.- Utilizé el método que me indico el_manco y que me dio luz al respecto, o.k. hice esto:

Según lo sugerido por el manco el polinomio es el propio desarrollo de Taylor, en el punto

Con el desarrollo de taylor de orden 3





haciendo



     (1)

     (2)

   con raíces complejas   o        (3)

nos quedamos con la ec. (2)

El grafo de eso salió así:



La recta y=-2x en amarillo es la supuesta tangente, cosa que no estoy ahora muy seguro ya que el grafo es engañoso, dependiendo el "zoom" que lleve.,

Bueno ahora me surgierón otras dudas conceptuales al margen de la solución particular del problema, estas son.

1.- La ec. , en otras palabras es la aproximación polinomial del resultado y=-2x?

2.- Una tangente según el concepto que tengo es el punto común de contacto de una curva y una recta, o bien que la pendiente de la recta es igual a la direccion de la curva en el punto de contacto.

3.- Una curva se comporta como recta, en ciertos intervalos del recorrido, si es el caso, no aplica la definición de tangente?.

4.- Según el polinomio que se tomo fue de orden 3, entonces nuesta recta de orden 1, tiene un contacto de orden 4 con el curva inicial y de orden 3 con la curva del polinomio que se factorizó?

5. En lugar de recta tangente en este caso se refiere a una recta osculatriz, lo poco que encontre en internet es que besa, y existen diferentes grados de contacto, pero como relaciono esto y cual es su significado, osculatriz es que no solo es un punto de contacto (tangente), sino son mas puntos de contacto??

6. Singular se refiere a que no tiene tangentes en el punto en cuestión?

Bueno ya se extendio esto, les agradeceré en sobremanera una explicación si son más se complementan y se me aclara más el panorama, como pueden ver tengo algo o mucho de confusión al respecto y mi única fuente fidedigna de consulta son estos foros, aparte de la mínima por no decir casi nula literatura de matemáticas que tengo y pues el universo de la red.

saludos cordiales. 
 

el_manco:
Hola

 Para tú problema en concreto has hecho bien los cálculos; y sí, la recta y=-2x es un tangente a la curva en el (0,0). Creo que se ve bien en la gráfica, más allá de errores de precisión.

 En cuanto a tus preguntas, antes de contestarlas prueba a hacer el mismo ejercicio para la curva:



Calcula su (sus) tangentes en el origen y representa todo gráficamente. Ahí verás bien que significa que haya dos tangentes y que significa que (0,0) sea un puntos singular. La diferencia con el caso anterior, es que todas las direcciones tangentes son ahora reales y eso facilita la comprensión del ejemplo.

 Si quieres después de que veas este ejemplo contesto más detalladamente a tus preguntas. Formula algo mejor la primera y la tercera, porque no las comprendo bien.

 Ánimo, que la geometría diferencial es bonita y muchas veces muy visual e intuitiva.

Saludos.


Joaquin_mx:
Cita de: el_manco en 28/02/2006, 04:17:36 pm

En cuanto a tus preguntas, antes de contestarlas prueba a hacer el mismo ejercicio para la curva:


Calcula su (sus) tangentes en el origen y representa todo gráficamente.


Hola el manco, muchas gracias por tus respuestas.

bueno hice lo que me dices y aquí va:

me quedé con la parte del polinomio



y el gráfico queda así:



más que evidente :)

o.k. volviendo a lo de las preguntas:

Cita

Si quieres después de que veas este ejemplo contesto más detalladamente a tus preguntas. Formula algo mejor la primera y la tercera, porque no las comprendo bien.


o.k. el_manco respecto de la primera pregunta creo que ya me ha quedado aclarada ;) y la tercera te la voy a cambiar por el concepto o la idea de lo que quiero decir, pues como no manejo un léxico matemático adecuado, seguramente pongo palabras ambiguas, o con un significado diferente de la idea que tengo, bueno :

Comentaba que yo tengo como definición de recta tangente a una curva, como la recta que tiene un único punto de contacto con la curva o bien que la recta tiene una dirección igual a la curva en un punto en común.

Bueno lo que se me vino a la mente, es que si por ejemplo ya no sólo es un punto de contacto y ahora imagino que digamos en ese punto existe uno inmediato en una dirección y otro en la dirección opuesta, y ahora estos tres puntos inmediatos son colineales, pues entonces imaginé que la llamada curva que supuse, ahora se comporta como recta en esos tres puntos. y entonces ya no está definida la tangente en el punto intermedio.

En este caso una recta que coincida con esos "tres" puntos es osculatriz, acaso por ahí va el concepto?

Por otro lado, cuando se mencionó lo de varias tangentes, se me vino en mente, aquí voy a relacionar algo (que según hacen en electrónica) para transmitirte mi idea, por ejemplo; para simular un rizo, que simboliza una variación en un voltaje, corriente, etc, etc, o.k ese rizado tengo entendido que lo aproximan con series de Fourier, bueno ese rizado, que asemeja ondulaciones de forma senoidal tiene crestas y valles, a lo que voy si tomo un pequeño segmento o mejor dicho trayectoria de ese rizado, en cada cresta voy a tener una tangente y si ahora curvo el eje del rizo, cada tangente va a tener diferente dirección, o.k., si ahora ese "rizo curvo" lo asumo visualmente como un punto en mi gráfica, obviamente mi visión sera muy acotada, pues ahora no sólo hay una sola tangente en ese que considero "punto", en ese sentido una evaluación visual con las gráficas resulta en una mera referencia, en este sentido la curva lleva más información que el propio grafo o traza.

Bueno en resumen lo que trate de preguntar en la 3) es que si una curva puede tener un comportamiento de recta (según algunas gráficas imagino que si) y aun más de "rizado" (que no sea discontinua), matemáticamente no sé como se le nombre a esto?

ya estoy desvariando e igual no me di a entender.

bueno te agradezco mucho tu atención.

saludos.

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