Transformaciones lineales. Formulaciones equivalentes.

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Mushotoku:
Sea una transformación lineal y . Entonces son equivalentes las siguientes formulaciones:

1) es inversible
2)
3) es inyectiva
4) es sobreyectiva
5) transforma la base de en base de

¿Como lo demuestro?

Braguildur:
Hola.

 Sería bueno que nos indicaras qué dificultades específicas tienes, para mostrar lo que necesitas puedes por ejemplo mostrar que .

 Algunas de estas implicaciones son relativamente sencillas, por este motivo lo mejor sería que nos indicaras dónde tienes dudas. Veamos por ejemplo

Si es invertible, en particular es inyectiva, luego la ecuación tiene como unica solución a , esto significa que .

Si es una base de como es sobreyectiva es un conjunto de generadores de (¡Verifícalo!). Luego como , tenemos que son linealmente independientes (velifícalo también), por tanto es una base de .

 Similarmente intenta las demás implicaciones y si tienes alguna dificultad, detállala lo más que puedas para que sea más fácil poder ayudarte.

Saludos.

Mushotoku:
La duda que tenia era de como demostrarlo, pero me lo aclaraste con .

Lo único que no se bien como demostrar es  . ¿Alguna sugerencia?
Gracias

el_manco:
Hola

 Si transforma la base de en la base de , es decir,



 Comprueba que la aplicación lineal definida como (recuerda que para definir una aplicación lineal basta indicar como actúa sobre una base):



 es la inversa de .

Saludos.

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