Transformaciones lineales. Formulaciones equivalentes.

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Mushotoku:
Sea [texx]T:V\rightarrow{W}[/texx] una transformación lineal y [texx]dim(V) = dim (W)[/texx]. Entonces son equivalentes las siguientes formulaciones:

1) [texx]T [/texx]es inversible
2) [texx]N(T)={0}[/texx]
3) [texx]T[/texx] es inyectiva
4) [texx]T [/texx]es sobreyectiva
5) [texx]T[/texx] transforma la base de [texx]V[/texx] en base de [texx]W[/texx]

¿Como lo demuestro?

Braguildur:
Hola.

 Sería bueno que nos indicaras qué dificultades específicas tienes, para mostrar lo que necesitas puedes por ejemplo mostrar que [texx](1)\Rightarrow(2)\Rightarrow(3)\Rightarrow(4)\Rightarrow(5)\Rightarrow(1)[/texx].

 Algunas de estas implicaciones son relativamente sencillas, por este motivo lo mejor sería que nos indicaras dónde tienes dudas. Veamos por ejemplo

[texx](1)\Rightarrow(2):[/texx] Si [texx]T[/texx] es invertible, en particular es inyectiva, luego la ecuación [texx]Tx=0[/texx] tiene como unica solución a [texx]x=0[/texx], esto significa que [texx]N(T)=0[/texx].

[texx](4)\Rightarrow(5):[/texx] Si [texx]\{v_{1},v_{2},\dots, v_{n}\}[/texx] es una base de [texx]V[/texx] como [texx]T[/texx] es sobreyectiva [texx]\{Tv_{1},\dots,Tv_{n}\}[/texx] es un conjunto de generadores de [texx]W[/texx] (¡Verifícalo!). Luego como [texx]\dim V=\dim W=n[/texx], tenemos que [texx]Tv_{1},\dots,Tv_{n}[/texx] son linealmente independientes (velifícalo también), por tanto [texx]\{Tv_{1},\dots,Tv_{n}\}[/texx] es una base de [texx]W[/texx].

 Similarmente intenta las demás implicaciones y si tienes alguna dificultad, detállala lo más que puedas para que sea más fácil poder ayudarte.

Saludos.

Mushotoku:
La duda que tenia era de como demostrarlo, pero me lo aclaraste con [texx](1)\Rightarrow(2)\Rightarrow(3)\Rightarrow(4)\Rightarrow(5)\Rightarrow(1)[/texx].

Lo único que no se bien como demostrar es  [texx](5)\Rightarrow(1)[/texx]. ¿Alguna sugerencia?
Gracias

el_manco:
Hola

 Si [texx]T[/texx] transforma la base [texx]\{v_1,\ldots,v_n\}[/texx] de [texx]V[/texx] en la base [texx]\{w_1,\ldots,w_n\}[/texx] de [texx]W[/texx], es decir,

[texx] T(v_i)=w_i,\qquad i=1,\ldots,n[/texx]

 Comprueba que la aplicación lineal [texx]S[/texx] definida como (recuerda que para definir una aplicación lineal basta indicar como actúa sobre una base):

[texx] S(w_i)=v_i,\qquad i=1,\ldots,n[/texx]

 es la inversa de [texx]T[/texx].

Saludos.

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