07/12/2019, 08:45:42 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Renovado el procedimiento de inserción de archivos GEOGEBRA en los mensajes.
 
 
Páginas: [1] 2   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: ¿Un problema con interpretación fractal?  (Leído 16491 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
ulises7
Nuevo
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 11


Ver Perfil
« : 20/07/2009, 01:22:15 pm »

Este tema es una bifurcación de ¿Qué significado tiene la palabra Fractal?. -- León

Bueno ojeando este hilo he visto una sección que me ha llamado bastante la atención y es sobre aplicar fractales en ciertos problemas, mirad aqui os dejo un problema que se puede resolver con un fractal:

Cita
Supongamos que el lector y yo jugamos a un sencillo juego; por turnos, lanzamos una moneda, y ganará el que primero saque cara. Es decir, si tiras y sale cruz, entonces es mi turno, y así hasta que uno saque cara. Supongamos que empiezo yo. ¿Qué probabilidad tengo de ganar el juego?

Y con este mensaje me estreno en el foro  :sonrisa_amplia:, hace tiempo que estaba registrado en un foro de física y me he dicho ¿por qué no uno de matemáticas?  :rodando_los_ojos:, soy un estudiante de 2º bachillerato tecnológico, ojalá pueda ser de ayuda.


saludos
En línea
argentinator
Consultar la FIRMAPEDIA __________________________________________________________________________________________________________________
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 7.282

Vean mis posts activos en mi página personal


Ver Perfil WWW
« Respuesta #1 : 20/07/2009, 02:39:49 pm »

Ese es un problema de probabilidad, ¿cómo es que se puede usar un fractal para "resolverlo"?
Sería bueno que expliques cómo es esto de aplicar fractales a ese tipo de problemas, porque no se entiende lo que estás queriendo decir.
En línea

ulises7
Nuevo
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 11


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 20/07/2009, 02:42:51 pm »

Bueno es cierto que esta no es la sección de problemas pero si pongo la respuesta ya no tendrá gracia, y sí es un problema de probabilidad pero se puede resolver dibujando un fractal, este problema lo encontré en la sección canal ingenio de la web de física, mira aqui tienes la respuesta:

http://forum.lawebdefisica.com/showthread.php?t=1276


saludos
En línea
Jabato
Visitante
« Respuesta #3 : 20/07/2009, 02:43:12 pm »

Si, yo estaba precisamente pensando en contestar algo parecido a lo que te ha dicho argentinator, una explicación vendría bien.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
En línea
argentinator
Consultar la FIRMAPEDIA __________________________________________________________________________________________________________________
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 7.282

Vean mis posts activos en mi página personal


Ver Perfil WWW
« Respuesta #4 : 20/07/2009, 02:53:33 pm »

La solución que se propone es geométrica, y está muy bien, pero no sé si llamar a eso fractal...
El dibujo es claramente una figura definida por recurrencia, ad infinitum, que es como suelen definirse muchos fractales, pero para que sea un fractal típico, debe tener dimensión fraccionaria. Ese dibujo resulta en un objeto con dimensión 2, la misma que tiene el plano en donde se hace el gráfico.

A lo que me refiero es que, cuando se dice que un problema se resuelve con fractales, uno espera hallar un objeto con dimensión estrictamente fraccionaria, no igual al del plano o espacio de soporte, como el conjunto de Cantor, por ejemplo.

Sin embargo, está muy interesante el haber pensando en ese planteo geométrico, ya que se está intuyendo a la probabilidad como un área, y esto viene a ser como la "medida de alguna cosa", y en el fondo, toda probabilidad es una medida, cuando se define medida en forma matemática rigurosa.
En línea

Jabato
Visitante
« Respuesta #5 : 20/07/2009, 03:33:24 pm »

Veamos, la probabilidad de que salga cara en la jugada n-sima y salga cruz en todas las tiradas anteriores es [texx](1/2)^n[/texx]

Sumando ahora las probabilidades de que salga cara en las tiradas impares obtenemos la probabilidd de que gane el primer jugador (A), y con las tiradas pares obtenemos la probabilidad de que gane el segundo jugador (B), tenemos entonces:

[texx]P_A=\displaystyle\sum_{i=0}^\infty{(1/2)^{2i+1}}=(1/2)+(1/2)^3+(1/2)^5+...=2/3[/texx]                 [texx]P_B=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{(1/2)^{2i}}=(1/2)^2+(1/2)^4+(1/2)^6+...=1/3[/texx]

¿Donde ves fractales?

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
En línea
ulises7
Nuevo
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 11


Ver Perfil
« Respuesta #6 : 20/07/2009, 05:04:10 pm »

Aqui tienes el fractal:

http://forum.lawebdefisica.com/attachment.php?attachmentid=9&stc=1&d=1184330961

aunque argetinator duda de ser verdaderamente un fractal la figura conserva la estructura con los cambios de escala.


saludos
En línea
argentinator
Consultar la FIRMAPEDIA __________________________________________________________________________________________________________________
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 7.282

Vean mis posts activos en mi página personal


Ver Perfil WWW
« Respuesta #7 : 20/07/2009, 05:10:50 pm »

Para ver ese enlace que has puesto hay que suscribirse a la página, y no todo el mundo se va a suscribir para eso.

Podrías colgarla en este mismo hilo, es fácil, y así el hilo no pierde coherencia.
En línea

ulises7
Nuevo
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 11


Ver Perfil
« Respuesta #8 : 21/07/2009, 10:56:44 am »

No sabia que habia que suscribirse sino la hubiera puesto...



Pongo también el texto explícito para que se pueda entender:

Vamos a analizar las dos primeras tiradas pues las siguientes repiten el mismo proceso. Este sencillo truco es el que nos permite resolver el problema de manera ingeniosa y sencilla.
La probabilidad de que yo gane por sacar cara a la primera es ½.
La probabilidad de que gane el lector porque yo saco cruz y luego el lector cara será ½ * ½ = ¼
Finalmente queda otro ¼, que es la probabilidad de que tengamos que volver a repetir el proceso teniendo que realizar el tercer lanzamiento.
Observemos que ese ¼ que queda se divide hasta el infinito de igual manera. Representemos esto gráficamente: Tomemos un cuadrado de lado 1 cuya área naranja simbolizará que yo gano y la verde que gana el lector. De este modo el primer turno se representa con los dos cuadrados naranjas de área ½, y el segundo con el cuadrado verde de área ¼. En el último cuadrado que simboliza los siguientes turnos hemos repetido la misma figura ad infinitum, resultando una figura curiosa, un fractal, es decir, una figura que conserva la estructura con los cambios de escala.
Si observamos la figura, como las proporciones entre los diferentes cuadrados se conservan resultará que 2/3 del cuadrado mayor estarán pintados de naranja y 1/3 de verde…y con esto ya tenemos resuelto el problema sin usar una sola fórmula compleja.


saludos
En línea
Jabato
Visitante
« Respuesta #9 : 21/07/2009, 11:37:37 am »

Bonita solución geométrica, ciertamente que lo que se obtiene parece una estructura fractal. Aunque hay que demostrar que lo es. Ahora os propongo calcular su dimensión y su medida, lo que será la prueba definitiva, porque lo que yo veo es que tanto el área de la región verde es finita, y la longitud de su perímetro también (coincide con el perímetro del cuadrad mayor), lo que me hace sospechar que la dimensión de la región verde es 2 y la de su frontera es 1 por lo que aquí parece no existir fractal alguno (tómese el concepto fractal como un conjunto de dimensión no entera).

¿Que conjunto es el que debemos considerar aquí como un fractal? ¿Puedes concretar? Yo diría que esta figura no es un fractal en absoluto.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
En línea
ulises7
Nuevo
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 11


Ver Perfil
« Respuesta #10 : 21/07/2009, 11:43:17 am »

mmm  :rodando_los_ojos:,creo que me has matado Jabato  :cara_de_queso:


Lo único que he dado de fractales fue una breve introducción después de dar el tema de complejos asi que debo admitir que no tengo mucha idea... :avergonzado: y como comprenderéis lo que se da en 1º de bachillerato en matemáticas tampoco es mucho...

Me fije en esta figura y la puse aqui ya que me parece curiosa y una forma diferente de resolver este tipo de problemas ad infinitum, pero si me decis que no es un fractal me lo creo  :sonrisa:

saludos
En línea
Jabato
Visitante
« Respuesta #11 : 21/07/2009, 01:56:50 pm »

Pues sinceramente, creo que no lo es. Si el perímetro de dicha región fuera infinito, entonces la curva que la delimita podría ser  un fractal, al tener una dimensión mayor que 1, pero no se cumple tal condición, como ya te he dicho el perimetro de dicha curva es igual al perímetro del cuadrado mayor, lo que obliga a que su dimensión sea 1. Aunque no hay duda que se parece mucho a un fractal, pero ... no lo es.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
En línea
Jabato
Visitante
« Respuesta #12 : 21/07/2009, 02:58:32 pm »

El razonamiento para ver que esa figura no tiene dimension fraccionaria es muy sencillo. El único conjunto candidato a fractal es la frontera de la región verde, es decir su perímetro, puesto que la propia región delimitada por ella tiene dimensión 2 (puesto que contiene al menos a un subconjunto de dimensión 2), ocurre lo mismo que con el fractal de Mandelbrot, por ejemplo. Si aplicamos la definición de dimensión de Hausdorff vemos que considerando como recubrimiento de dicha frontera a los propios segmentos que la forman ocurre que la suma de los diámetros de todos ellos es un valor finito que coincide precisamente con el perímetro del cuadrado mayor, luego el único valor de s que satisface la condición de Hausdorff es s=1, que es precisamente su dimensión. Cualquier valor de s mayor que 1 hara que la expresión:

[texx]\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{}|P_i|^s=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{}L_i^s[/texx]

se anule, y cualquier valor de s menor que 1 hará que dicha expresión se vaya a infinito, por lo tanto su dimensión es 1.

NOTA: [texx]P_i[/texx] representa cada uno de los segmentos que formn la poligonal, y [texx]L_i[/texx] su diámetro, es decir su longitud.

Resumiendo para simplificar, un conjunto cuya medida es finita y mayor que 0 y tal que dicha medida se identifica con una longitud no puede ser jamás un fractal.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
En línea
argentinator
Consultar la FIRMAPEDIA __________________________________________________________________________________________________________________
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 7.282

Vean mis posts activos en mi página personal


Ver Perfil WWW
« Respuesta #13 : 21/07/2009, 05:04:41 pm »

La figura de los cuadrados es sólo una figura recursiva, no es estrictamente un fractal con todas las letras, aunque si uno quiere puede pensar que se trata de un fractal con dimensión 2, lo cual no tiene mucho interés desde el punto de vista fractal.

Creo que el problema en este asunto, Ulises, es que te has dejado deslumbrar por la palabra fractal, y además está el entusiasmo de poner un problema de probabilidad como un problema geométrico.

Lo más acertado en todo esto ha sido esto último del entusiasmo por el replanteo geométrico.
Si vas a seguir profundizando en matemática, te adelanto que pensar las probabilidades como áreas de figuras en el plano es una manera muy acertada de abordar la intuición del tema. El formalismo exacto de las probabilidades generaliza la idea de área, y muchas probabilidades se terminan calculando a fin de cuentas como áreas (integrales bajo una curva de distribución).
Así que está muy bien plantear el tema así.

También está bien eso de construir cuadrados cada vez más pequeños que, al unirse, forman una figura límite, que no puede describirse con un proceso finito, sino que necesita un proceso de infinitos pasos para poder describirse adecuadamente.
Las ideas de recurrencia y de límite son muy importantes en toda la matemática, y es bueno buscar relaciones entre ellas.

Saludos
En línea

ulises7
Nuevo
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 11


Ver Perfil
« Respuesta #14 : 21/07/2009, 05:47:34 pm »

Bueno pues ¿qué decir?

Desde pequeñito siempre me gustó la matemática y siempre he sacado muy buena nota en los exámenes teniendo entre un 9 y un 10, aunque este año que he comenzado 1º bachillerato he bajado un poco mi media ( un 8 ) ya que he notado el cambio y aparte la profesora creo que es la más estricta que he tenido nunca... :cara_de_queso:, el caso es que en 1 año cuando acabe 2º de bach tengo que decidir que carrera estudiar y habia pensado entre física, matemáticas o una ingenieria, la opción que va ganando es física pero en la UB ( universidad de Barselona ) hay un plan para estudiar matemáticas y física a la vez en 5 años, unas cuantas materias se convalidan entre ellas y parece interesante... sin embargo viendo todo este 'despliegue de cosas desconocidas y que no entiendo' me lo estoy planteando si estudiar mates... asi que no sé si lanzarme al charco y esperar entenderlo en un futuro como me ha pasado por ejemplo con las derivadas y integrales ( ya sé derivar y integrar las funciones inmediatas ) pero antes de aprender todo eso también era 'obscuro' asi que...

Sé que este no es el lugar más indicado pero teniendo en cuenta que el problema ya está comentado y que no veo ningun apartado de orientación  :¿eh?: y la conexión con lo que digo pues...


gracias y saludos!

En línea
argentinator
Consultar la FIRMAPEDIA __________________________________________________________________________________________________________________
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 7.282

Vean mis posts activos en mi página personal


Ver Perfil WWW
« Respuesta #15 : 21/07/2009, 06:27:46 pm »

El mismo problema que tenés con matemática lo vas a tener con física.
En la universidad se dan cosas mucho más avanzadas que las que se ven en bachillerato.
Si ves todo eso de golpe, te vas a asustar, y vas a huir hacia alguna carrera de turismo o profesor de italiano... sin menospreciar.

No tiene ninguna importancia cómo te vaya con las notas ahora.
La Universidad es otro mundo, y todo es nuevo.
Pero lo vas a entender, porque para eso están los profesores para explicar, te dan los libros de dónde estudiar, y además ya vas a ser algo adulto, y la cabeza te va a funcionar cuando se lo exijas.

La Universidad, en cualquier carrera, requiere esfuerzo.
Así que lo importante es que trates de vislumbrar cuál es tu vocación.

La matemática y la física están muy relacionadas, se nutren la una a la otra, pero el modo de encarar los problemas es totalmente diferente para un matemático que para un físico.
El matemático se preocupa todo el tiempo de que sus métodos sean correctos, precisos, sin ambiguedad, y un razonamiento lógico totalmente rigurosos, sin lugar a baches. Las ideas creativas se aceptan, pero sólo como ayuda a resolver un problema, que en última instancia debe resolverse con una estructura definida con exactitud.
El físico puede permitirse algunas formulaciones un poco más intuitivas, incluso en sus desarrollos matemáticos, y enfoca su energía en la comprensión de las leyes de la naturaleza. No quere decir que los razonamientos físicos no sean correctos, sino que se ahorran algunos pasos en las deducciones lógicas, que luego los matemáticos terminan corroborando como correctas.

En ambos casos te vas a perfilar para un trabajo de tipo científico.
Si elegís ingeniería, es más probable que te orientes a trabajar en la industria, y hay que ver si este ambiente te atrae.

Si ta vas por el lado científico, creo que da igual que elijas matemática o física, o una carrera mixta, porque tarde o temprano te vas a topar con todo lo que te haga falta de una u otra ciencia.
En línea

ulises7
Nuevo
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 11


Ver Perfil
« Respuesta #16 : 22/07/2009, 08:01:56 am »

Sí, soy consciente del cambio de la universidad al bachillerato ya que desde hace un par de meses estoy consultando y viendo material de uni  :cara_de_queso:, y la verdad es que se nota y mucho...

estaba preguntandome ( sin querer ser indiscreto ) que los usuarios más participativos y los moderadores sois licenciados en matemáticas o ¿me equicoco?  :sorprendido:, entonces si no es mucha molestia os importaria decirme cuáles son las salidas laborales que tenéis disponibles y a qué os dedicáis? si no queréis responderme por aqui lo podeis hacerme por privado  :sonrisa_amplia: y es solo para hacerme una idea, porque yo mismo hago esta pregunta a mi profesora de matemáticas y me dice que tiene TODAS las salidas, y como comprendereis eso no me ayuda mucho...  :rodando_los_ojos:

saludos

pd: la verdad creo que soy más científico que ingeniero... me va más el rollo teórico  :malvado:
En línea
Espitia
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Colombia Colombia

Mensajes: 152


Ver Perfil
« Respuesta #17 : 11/05/2011, 01:52:36 pm »

Hola

Acerca de una respuesta que vi publicada sobre dimensión fractal, en este foro se dice que: "los fractales tienen dimensión estricatamente fraccionaria",  :enojado: no es así

Una buena cantidad de personas piensa que
todos los fractales tienen dimensión no entera, pero consideremos un fractal también clásico y que podría verse de
alguna manera como la versión en R3 del triángulo de Sierpiński, se llama justamente
la pirámide o tetraedro de Sierpiński, y lo notaremos P. Se construye como sigue:
tomemos un tetraedro regular P0 con longitud de arista a. Ubiquemos los puntos
medios de cada arista y conectémoslos. Conservamos los cuatro nuevos tetraedros
formados por los vértices y removemos lo que resta de P0 (octaedro de longitud de
arista a/2). La figura obtenida consta de cuatro tetraedros semejantes a P0, figura
que denotaremos P1. El proceso se repite para cada tetraedro semejante a P0, es
decir, se ubican los puntos medios de cada arista (en cada tetraedro por separado) y
se conectan. Conservamos los 16 tetraedros de arista a/4 formados en este proceso
y removemos lo restante (cuatro octaedros de arista a/4).

Obsérvese que para obtener el primer paso P1 de la construcción anterior hemos
quitado del tetraedro un octaedro

La figura obtenida la llamaremos P2; así sucesivamente construiremos P3, P4, . . . , lo
cual nos genera una sucesión (Pn)n de figuras cuya “figura límite” (en el mismo sentido
en que la describimos para el triángulo de Sierpiński), la llamaremos la pirámide
o tetraedro de Sierpiński, y la notaremos como ya lo escribimos con la letra P.
Claramente nuestra pirámide de Sierpiński es autosemejante; podemos identificar
en ella cuatro copias maximales de sí misma, siendo 2 el factor de ampliación para
obtener de cada copia maximal el conjunto total.
Entonces la dimension de  nuestro fractal P es:

[texx]\frac{Ln4}{Ln2} = 2[/texx]

Lo que “muestra”, quizá sorpresivamente, que no todos los conjuntos de tipo fractal
tienen dimensión no entera.
En línea
Jabato
Visitante
« Respuesta #18 : 11/05/2011, 05:22:49 pm »

El problema con los fractales es que no existe una definición formal universalmente aceptada de lo que son tales objetos, y por lo tanto solo disponemos de algunas definiciones que no son equivalentes y que destacan algunas de sus propiedades más relevantes tales como:

a) la dimensión (por ejemplo dimensión no entera ó esta otra con dimensión estrictamente mayor que su dimensión topológica)

b) la autosemejanza

c) el detalle infinito

etc.

Todas ellas describen a muchos objetos que podemos considerar fractales pero no a todos los reconocidos como tales, de forma que solo tenemos una definición intuitiva de lo que dichos objetos son pero en todos los caso existen excepciones de manera que no es fácil establecer que objetos son fractales y cuales no. Existen fractales con dimensión entera y otros son estrictamente autosemejantes, otros son aproximadamente autosemejantes, aunque en mi modesta opinión yo pienso que la cualidad que mejor los define es la de ser objetos que presentan detalle infinito, es decir que vistos bajo cualquier factor de escala siempre presentan un nivel de detalle infinito, cosa que no ocurre con los objetos de la geometría clásica. Existen otras muchas posibilidades a la hora de definirlos, pero no existe ninguna que nos permita establecer de forma unívoca que objetos son fractales y cuales no.

En el caso que nos planteó Ulises al comienzo de este debate podemos decir que el conjunto que nos presenta no es un fractal propiamente dicho pero sí es cierto que tiene un punto cuyo entorno presenta detalle infinito, me refiero a la esquina superior derecha de la figura de más arriba, punto en el que podemos considerar que el citado conjunto presenta cualidades de fractal. Como véis no es fácil decidir que objetos son fractales y cuales no.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
En línea
argentinator
Consultar la FIRMAPEDIA __________________________________________________________________________________________________________________
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 7.282

Vean mis posts activos en mi página personal


Ver Perfil WWW
« Respuesta #19 : 11/05/2011, 09:28:23 pm »

Hola Espitia.

Tenés razón en lo que decís. Fui impreciso con lo de dimensión "estrictamente fraccionaria".

En realidad tendría que haber exigido que la figura, para ser un fractal "interesante" tiene que tener dimensión "estrictamente menor" que el espacio de soporte.

Por ejemplo, si estamos en el espacio tridimensional (dimensión 3), los fractales "interesantes" serían aquellos con dimensión estrictamente menor que 3, y eso incluye tu ejemplo, que tiene dimensión 2.

Sin embargo, estas cosas que digo o exijo, lo hago sólo de modo un poco "informal".
Lo que quería resaltar es que el ejemplo de los cuadrados puestos por ulises tiene demasiada similaridad con el plano, se trata de figuras claramente planas, de dimensión 2, igual que el plano donde están soportadas.

Si uno quiere ser realmente "estricto" con una definición de "fractal interesante", verá que tal cosa es difíil de lograr.

Justamente, la pregunta de si hay conjuntos "fractales" con la misma dimensión que el espacio n-dimensional en que está soportado el conjunto, es más o menos el famoso "Problema de Kakeya".

Kakeya construyó, en el 2-espacio (o sea, en el plano), un fractal de dimensión 2, que se llama justamente "conjunto de Kakeya".
Se trata de un conjunto que tiene un segmento de longitud 1 en cada dirección posible en el plano.
Lo hizo de tal manera que el conjunto resulta tener area 0, pero su dimension es 2.

Es un ejemplo muy extraño, y la gente se pregunta si se pueden construir conjuntos de Kakeya de n-volumen igual a 0 y dimension n.

Un saludo
En línea

Páginas: [1] 2   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!