Aplicaciones de la Derivada (Puntos FIjos)

[isaias_dj]

Ayudenme con esta demostracion del libro calculus de Sala, hille, etgen 2007 pag 191.
Es un problema de puntos fijos.
Se les agradecera de antemano.

Sea una funcion continua en el intervalo   y supongamos que para todo   ;  esto es, supongamos que   aplica    en .
Demostrar que   tiene al menos un punto fijo  SUGERENCIA: Definir   y utilizar el teorema del valor intermedio.
Si   es diferenciable, entonces el metodo de Newton - Raphson puede aplicarse ala funcion   para aproximarse alos puntos fijos de si es q hay alguno.

[almendra]

Hola.

Si o , ya tienes el punto fijo.

Si y , entonces y , de donde obtenemos que y son de distinto signo. Ahora aplica el teorema del valor intermedio a en el intervalo .

Saludos.

[isaias_dj]

Puedes  ayudarme con un poco mas de ideas, que no logro entender, como comenzar a plantear  el problema.......
 

gracias por darme algunas pistas ......

[isaias_dj]

Teorema de los valores intermedios:

Si f es una funcion continua en , m y M son los mínimos y el máximo de f en  y d es tal que: .  Entonces existe:   tal que:

[héctor manuel]

Si ó ya acabaste, pues ó te cumplen la definición de punto fijo.
Supongamos entonces que y que .  Con eso, al ser para cualquier , tienes que y (nota que no es , pues ya supusimos y lo mismo para ).  Sea dada por .

Entonces y .  Como es continua en y la resta de funciones continuas es continua, entonces es continua en , de donde al aplicar el teorema del valor intermedio a , se concluye que existe (de hecho en el abierto pues de recuerda el supuesto y ) tal que , es decir , que es lo que se queria.

Saludos
PD: Se me cruzó el mensaje con isaias_dj

[isaias_dj]

Ahora  y de  donde  empiezo,  para platear el metodo de Newton-Raphson

[topo23]

El punto medio entre a y b no parece mal candidato para empezar la iteracion de Newton-Raphson.

[isaias_dj]

Sea una funcion continua en el intervalo   y supongamos que para todo   ;  esto es, supongamos que   aplica    en .
Demostrar que   tiene al menos un punto fijo  SUGERENCIA: Definir   y utilizar el teorema del valor intermedio.
Si   es diferenciable, entonces el metodo de Newton - Raphson puede aplicarse ala funcion   para aproximarse alos puntos fijos de si es q hay alguno.

A ver porfavor, diganme si esta demostración esta bien o no.


Supongamos entonces que y que .  Como, y  para cualquier , tenemos  que y .
Sea dada por .
Entonces y .  Como es continua en y la resta de funciones continuas es continua, entonces es continua en .
Ahora al aplicar el teorema del valor intermedio a ,

(TEOREMA 2.6.1  TEOREMA DE LOS VALORES INTERMEDIOS: si f es continua en y k es un número entre , existe al menos un número c  entre a y b tal que f(c)=k) Supongamos que f es continua en y que  , entonces por el teorema de los valores intermedios, sabemos que la ecuación tiene al menos una raíz en (calculus pag. 106 Salas, Hille, Etgen 2007)

se concluye entonces que existe (de hecho en el abierto pues se recuerda el supuesto y ) entonces    tal que , es decir , que es lo que se queria.

(PROYECTO 3.9  Puntos Fijos:  Supongamos que una fúncion  f esta definida en el intervalo I. Un número es un punto fijo de f si .)(calculus pag. 191 Salas, Hille, Etgen 2007).

Ahora que demostramos que es punto fijo, entonces utilizamos el método de Newton-Rapshon a la función para aproximarse a los puntos fijos de f, si es q  hay alguno.

(EL MÉTODO DE NEWTON-RAPSHON: Dado que corta al eje en , el número es solucion de la ecuación . La tangente en corta al eje x en un punto que ésta mas cerca de que . La tangente en corta al eje eje en un punto que ésta mas cerca de que . Continuando con este procedimiento  obtenemos aproximaciones  cada vez mejores de . Existe una relación algebraica entre y que establece ahora la ecuación de la tangente en es la siguiente: si hacemos   obtenemos: )(calculus pag. 187-188 Salas, Hille, Etgen 2007)     

Remplazando en el método de Newton-Rapson:

Sí tomamos: entonces   ya que
obtenemos:    .

Ahi me quede, la pregunta es , es necesario hacer  todo esto , ya que el profesor del curso quiere q le explique en forma detallada cada punto q desarrollo.

Gracias por sus sujerencias y cometario.
Saludos a los de la comunidad.........

P.D.: No saben como me demore en escribir todo esto  jejeje

[el_manco]

Hola

 La primera parte está bien.

 En cuanto a la segunda, la relativa a Newton-Raphson, no estyo seguro de que tienes que probar. El enunciado parece "afirmar" que puede aplicarse el método; sin embargo sin más hipótesis no veo tan claro que tengamos asegurada la convergencia del mismo. A bote pronto un punto donde la derivada se anule o sea muy pequeña nos "estropea" la convergencia.

 Sea como sea, exactamente ¿qué te piedn probar.

Saludos.

[isaias_dj]

entonces  q  podria  hacer  solo afirmar  y nada mas  o ........

[el_manco]

Hola

 Es que a mi me parece que es ya el enunciado el que afirma y que tu no tienes nada más que hacer a ese respecto.

Saludos.