Problema febrero 2004

[MagnusBarfod]

Me parece que la solucion es negativa en el caso de la existencia del limite.

Y es afirmativa en los demas casos, la existencia de subsucesiones que cumplan lo pedido.

[teeteto]

La prueba de la no existencia de limite esta dada en el problema de septiembre de 2003.

[mario]

Uyy, lo que dice Teeteto es cierto. Quizá porque nunca hubo comentarios sobre el problema o, más probablemente, porque la memoria está comenzando a fallarme. ¿De qué estábamos hablando?

Bueno, a ver si ahora hay mas intervención que hace casi seis meses...

[MagnusBarfod]

Mi idea para resolver el problema es acercarme con enteros a k pi, se puede probar que siempre se pueden hallar enteros tales que |n - m r| < e, donde es un numero arbitrariamente pequeño y r un numero irracional.

Tomando r = 2pi tenemos numeros nk tales que |nk - mk 2pi | < 1/k.

Y ahora usamos que |sen x| <= x, para x pequeño. Entonces |sen(nk - mk 2pi)| < 1/k. Desarrollando tenemos que |sen nk| < 1/k.

Y esta subsucesion converge, entonces tiene alguna subsucesion monotona (esto no lo pense bien).
 

[astur51]

Se pueden encontrar intervalos I1 e I2 en los cuales se verifique sen(n)<0 en I1 y sen(n)>0 en I2 con desigualdades estrictas por lo que LimInf<0 y LimSup>0 y el limite de la sucesión no existe. En realidad se verificará limInf<-cos1<cos1<limSup.
Por otra parte con ayuda de la fórmula de walis para la aproximacion de Pi se pueden determinar dos subsucesiones, una creciente y otra decreciente que convergen a cero.