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Autor Tema: Parametrización de esferas, elipses y elipsoides  (Leído 14890 veces)
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a4q
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« : 26/06/2009, 03:32:19 am »

Hola, es mi primer mensaje en el foro.

Necesitaría colsultar cual es la forma de parametrizar en coordenadas cilindricas esferas cuyo centro se encuentra desplazado del centro de coordenadas, por ejemplo (x-3)^2 + y^2 + z^2 = 9. La misma pregunta tengo para elipsoides y elipses en esas condiciones. (En el caso de elipses en el plano en coordenadas polares).

Desde ya muchas gracias.
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el_manco
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« Respuesta #1 : 26/06/2009, 04:19:39 am »

Hola

 mmmm... no estoy muy seguro de en que sentido va tu pregunta.

 1) Te vale usar unas coordenadas cilíndricas "modificadas" desplazando el centro:




 
 2) ¿O bien, quieres usar las coordenadas cilindricás clásicas centradas en el origen para parametrizar una esfera desplazada?.

 Esto es más complicado.

 Aclara que buscas y te indicamos. También sería bueno que alcarases para que quieres esas parametrizaciones.

Saludos.
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a4q
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« Respuesta #2 : 27/06/2009, 04:11:16 am »

Necesitaria las parametrizaciones de la forma indicada en el segundo caso.


Por ejemplo para la superficie circular  x^2 + (y-1)^2 <= 1 uso la parametrización:

x= u cos(v)
y= u sen(v)

con 0<u<2sin(v)   y   0<v<pi

Esta parametrizacion sirve cuando la coordenada y del centro esta desplazada "1 vez el radio en el sentido positivo"

En el caso de una elipse en el plano con la coordenada y del centro desplazada de forma similar al caso anterior, por ejemplo x^2 + ((y-2)^2)/4 = 1 uso:

x= u cos(v)
y= 2 u sen(v)

con 0<u<2sen(v)   y   0<v<pi

Este ultimo caso caso necesitaria que me confirmaran si es correcto.

Además necesitaría conocer como parametrizar elipsoides y esferas (el volumen contenido dentro) desplazados del centro de coordenadas de formas similares a las descriptas anteriormente.

Las parametrizaciones las empleo para resolver ejercicios de integrales de superficien, volúmenes y curvas.

(Nota: En este mensaje no use el editor de formulas. En el proximo lo uso.)

Saludos.
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el_manco
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« Respuesta #3 : 29/06/2009, 03:31:41 am »

Hola

 Los casos que presentas son muy particulares; las curvas implicadas (circunferencia y elipse) pasan por el origen y eso facilita su expresión.

 La forma de obtener como varían los parámetros no es más que hacer el cambio de coordenadas y ver como quedan limitados. Por ejemplo, para la elipse:



 Tomando:




 (donde los y en rojo son su radio menor y mayor respectivamente),

 y sustituyendo en la ecuación de la elipse queda:



 de donde, despejando en función de ,

  ó

 Por tanto esos son los límites en los que variará . Como siempre tiene que ser positivo, los variamos de manera que el seno sea positivo; los límites quedan como tu habías indicado.

 La cosa es que, en general, las cuentas no tienen porque ser tan amables.

 Supongamos una circunferencia desplazada:



 Tomando:




 queda:



 de donde:



 Los valores entre los cuales varía nos lo dan las dos soluciones de esa expresión. La variación de el ángulo es la que hace que el discrimiante (lo que aparece bajo la raíz) sea positivo. Esto depende fuertemente del valores de , o equivalentemente, de si el centro de la circunferencia está dentro, encima o fuera de la circunferencia.

 Por esto vale la pena mejor conocer el método (el ya descrito) que una fórmula general.

 Además, por otro lado, si lo que pretendes es calcular áreas y volúmenes, salvo que haya alguna razón para no hacerlo, es mucho mejor tomar las coordenadas polares modificando su centro, es decir, en el caso anterior tomando:
 



Saludos.
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a4q
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« Respuesta #4 : 01/10/2009, 07:49:12 pm »

Gracias por las respuestas. No conteste antes porque en el momento que las necesitaba estaba con poco tiempo y después no entre mas al foro.

Saludos
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