Analizar continuidad

[francis20]

Hola aca tengo dos ejercicios, que no sé como hacer, me piden estudiar la continuidad en sus dominios de las siguientes funciones.

1) .
 es como una función de Dirichlet, pero no se como ver la continuidad, yo creo que no lo es pero no sé como probarlo.

2) . Donde [] es el máximo entero. Para este su dominio es los reales menos 1/2, ¿está bien?. ¿Y cómo veo la continuidad?
Muchísimas gracias.

[el_manco]

Hola

 1) Comprueba que el límite en cero es cero y conincide con el valor de la función. Para ello basta tener en cuenta que .

 En puntos comprueba que no hay continuidad. Para ello ten en cuenta que puedes acercarte a por sucesiones de números racionales o irracionales. En un caso el límite de la imagen de tales sucesiones será ; en el otro .

 El dominio son los puntos en los que no se anula el denominador. El denominador se anula cuando:



 Teniendo en cuenta que:



 Ha de cumplirse que es entero y:



 Por tanto ó , es decir, ó .

 El dominio son todos los reales excepto y .

 Para la continuidad ten en cuenta que si no es entero la función en un entorno suficientemente pequeño del punto se escribre como:



 y es continua por ser cociente de continuas.

 Los puntos "conflictivos" aparecen cuando es entero. Estudia en ese caso el límite por la derecha y por la izquierda. Si te acercas por la izquierda la función es:



 y por la derecha:



 Continúa...

Saludos.

[francis20]

Hola el_manco, gracias por tu ayuda, a ver si voy bien

1) Tomando límite en puntos de tengo
.
Igualmente, tomando límite en puntos de tengo
.
Por tanto para cualquier ,
.

Ahora, sea ,
luego los limites son como me dices, y asi la función es continua solo en 0.
gracias, ahora revisaré el otro.

[el_manco]

Hola

 Está bien. Siendo riguroso estás usando que, dada una función con la función es continua en si los límites de las restricciones de a los conjuntos y en ese punto coinciden entres si y con el valor de la función.

 Puedes intentar probar ese resultado.

Saludos.