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Autor Tema: Los 5 sólidos platónicos  (Leído 4464 veces)
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Putcho
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« : 21/06/2009, 12:19:16 pm »

Hola a tod@s de nuevo!

El otro día un amigo me envió esta curiosa imagen y visto lo rápido que se me resolvió mi anterior duda....

Son los 5 sólidos platónicos incrustados uno dentro del otro.
Desde el exterior hacia el interior: Hexaedro (cubo), Tetraedro, Octaedro, Icosaedro y Dodecaedro.
El problema consiste en hallar la longitud de la arista del cubo conociendo la longitud de cada arista del dodecaedro que es 2.
Todos mis intentos han sido inútiles ya que al parecer, los 12 vértices del icosaedro no tocan la mitad de las aristas del octaedro (creo que es una sección áurea). ¿Alguien por aquí me puede ayudar a quitarme la espinita?




Gracias!

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Jabato
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« Respuesta #1 : 21/06/2009, 12:45:47 pm »

Creo que esto va así:

1.- Los 20 vértices del dodecaedro coinciden con los centros de las 20 caras del icosaedro, que son triángulos equiláteros. Ó lo que es igual, el radio del dodecaedro coincide con la apotema del icosaedro. Ó lo que es igual, la esfera circunscrita al dodecaedro coincide con la esfera inscrita al icosaedro.

2.- Los 12 vértices del icosaedro coinciden con los puntos medios de los 12 lados de octaedro.

3.- Los 6 vértices del octaedro coinciden con los puntos medios de las 6 aristas del tetraedro. El radio del octaedro es 1/2

4.- El radio del tetraedro coincide con el radio del cubo. Ó lo que es igual, ambos poliedros están inscritos en la misma esfera.

El resto no es más que un sencillo cálculo, lo dejo para que lo acabes tu. Es un bonito problema.

Si el lado del cubo es [texx]1[/texx], el lado del tetraedro es [texx]\sqrt[ ]{2}[/texx], el lado del octaedro es [texx]\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2}[/texx], (observa que las caras del octaedro son paralelas a las del tetraedro), etc.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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Putcho
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« Respuesta #2 : 21/06/2009, 13:21:09 pm »

Hola Jabato!

Así ya lo intenté pero creo que el fallo está en el punto 2.
Cita
2.- Los 12 vértices del icosaedro coinciden con los puntos medios de los 12 lados de octaedro.
Si te fijas en el dibujo, no son los puntos medios, creo que coinciden en proporción áurea, lo que complica el problema.
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Jabato
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« Respuesta #3 : 21/06/2009, 13:27:26 pm »

Ya, entiendo, ahí estriba la dificultad del problema, eso parece, aunque afirmar que es la proporción aúrea así sin más es un poco arriesgado, podría ser, sí, pero hay algunas posibilidades más, ¿no te parece?

Debo pensarlo algo más, por lo visto.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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Jabato
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« Respuesta #4 : 21/06/2009, 13:31:27 pm »

Creo que ya lo he visto, el punto dos debe decir:

2.- El icosaedro y el octaedro presentan la misma esfera inscrita, ó lo que es igual ambos presentan la misma apotema. Observa que las caras del octaedro contienen inscritas a una de las caras del icosaedro.

El resultado final debe ser entonces:

1.- Los 20 vértices del dodecaedro coinciden con los centros de las 20 caras del icosaedro, que son triángulos equiláteros. Ó lo que es igual, el radio del dodecaedro coincide con la apotema del icosaedro. Ó lo que es igual, la esfera circunscrita al dodecaedro coincide con la esfera inscrita al icosaedro.

2.- El icosaedro y el octaedro presentan la misma esfera inscrita, ó lo que es igual ambos presentan la misma apotema. Observa que las caras del octaedro contienen inscritas a una de las caras del icosaedro.

3.- Los 6 vértices del octaedro coinciden con los puntos medios de las 6 aristas del tetraedro. El radio del octaedro es 1/2

4.- El radio del tetraedro coincide con el radio del cubo. Ó lo que es igual, ambos poliedros están inscritos en la misma esfera.

Creo que así esta bien.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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« Respuesta #5 : 21/06/2009, 21:09:04 pm »

Hola de nuevo.

Eso ya tiene más sentido, mañana me pondré a ver si logro resolverlo. De todas formas, lo de la proporción áurea no me lo he sacado de la manga. Busqué información y pude encontrar en http://mathworld.wolfram.com/Octahedron.html un párrafo que dice:
Cita
If the edges of an octahedron are divided in the golden ratio such that the points of division for any face form an equilateral triangle, then the twelve points of division form an icosahedron (Wells 1991). In fact, there are two ways in which the edges can be internally divided in the golden ratio and two ways in which they can be externally divided, resulting in four possible icosahedra. Keeping the same connectivity, but reversing the long and short ends of the division gives Jessen's orthogonal icosahedron.
Aunque mi inglés está más que oxidado pude entender lo del "golden ratio" y la forma de obtener el icosaedro. En castellano no pude encontrar información interesante...

Gracias de nuevo, mañana os cuento.
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« Respuesta #6 : 22/06/2009, 00:25:18 am »

Unos enlaces interesantes
http://en.wikipedia.org/wiki/Regular_polytope
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_regular_polytopes

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