Funciones de Lipschitz

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reypirin:
Hola amigos, por favor ayudenme con estos ejercicios

1)¿Toda función localmente Lipschitz es Lipschitz?. Si es asi pruébelo o de como mínimo dos contraejemplos.
2)¿Toda función localmente Lipschitz es continuaz?. Si es asi pruébelo o de como mínimo dos contraejemplos.

Sé que no pero no se me ocurren los contraejemplos.
Muchas gracias

Sonata:
Te dejo uno para el primer caso, así vamos abriendo boca :) :)

Puedes considerar la hipérbola en el intervalo (0,1). La función es localmente Lipschitz, pero no es Lipschitz.

En efecto, dado , tomamos un tal que . Entonces, en ese intervalo



Es decir, es localmente Lipschitz. Pero no puedes acotarlo cuando .

Ahora ya puedes imaginar más ejemplos.

Un saludo :)

reypirin:
Hola Sonata muchas gracias por tu ayuda, si comprendi tu primer ejemplo, sigo pensando otro, pero no se me ocurre igual con la otra pregunta, si conoces otros ejemplos por favor enseñamelos, muchas gracias por tu tiempo.

Sonata:
La pista es que busques cualquier función que sea continua en un abierto, pero no en su cierre. Por ejemplo, busca una que no sea continua en el punto 2, pero sí en el resto.

En cuanto a la segunda parte, imagino que habrás visto que es mucho más fácil. La condición Lipschitz es mucho más fuerte que la de continuidad, de hecho prácticamente implica derivabilidad. Si quieres las pautas para la demostración, tendremos:

Dado , queremos ver si existe tal que si

Ahora bien, como , basta tomar .

La demostración anterior es equivalente a

.

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