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Autor Tema: anuladores  (Leído 599 veces)
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Rocarol
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« : 19/06/2009, 03:16:03 am »

Hola a todos, me piden probar:
Sea V un K-espacio vectorial, si U y W son subespacioes, entonces
[texx]an(U\cap{W})=an(U)+an(W)[/texx]
tengo problemas en la inclusión
[texx]an(U\cap{W})\subseteq{an(U)+an(W)}[/[/texx].
no sé como relacionar un elemento de [texx]an(U\cap{W})[/texx] como la suma de dos funciones f y g de an(U) y an(W) respectivamente.
Muchas gracias
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el_manco
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« Respuesta #1 : 19/06/2009, 04:05:02 am »

Hola

 Ten en cuenta que puedes seleccionar las siguientes descomposicones en subespacios suplementarios:

[texx] U=(U\cap W)\oplus U'[/texx]
[texx] W=(U\cap W)\oplus W'[/texx]

[texx] V=(U\cap W)\oplus U'\oplus W'\oplus V'[/texx]

Entonces:

[texx] f\in an(U\cap W)\quad \Rightarrow{}\quad f(x)=0,\quaf \forall x\in U\cap W[/texx].

Define [texx]f_1,f_2[/texx] cumpliendo:

[texx]f_1(x)=0\quad \forall x\in U\oplus V'[/texx]

[texx]f_1(x)=f(x)\quad \forall x\in W'[/texx]

[texx]f_2(x)=0\quad \forall x\in W[/texx]

[texx]f_2(x)=f(x)\quad \forall x\in U'\oplus V'[/texx]

Comprueba que [texx]f_1\in An(U),f_2\in An(W), f_1+f_2=f[/texx].

Saludos.
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Rocarol
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« Respuesta #2 : 19/06/2009, 04:14:11 am »

gracias el_manco voy a revisarlo,
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Rocarol
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« Respuesta #3 : 19/06/2009, 04:44:23 am »

una pregunta, ¿quienes son [texx]U',W'[/texx]?
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el_manco
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« Respuesta #4 : 19/06/2009, 05:05:22 am »

Hola

 Dado un espacio vectorial [texx]V[/texx] y un subespacio vectorial [texx]U\subset V[/texx] siempre existe un subespacio [texx]U'[/texx] (no es único) suplementario, es decir, verificando:

[texx] U'+U=V,\quad U\cap U'=\emptyset[/texx]

 En nuestro caso [texx]U'[/texx] es un suplementario de [texx](U\cap W)[/texx] en [texx]U[/texx]; [texx]W'[/texx] es un suplementario de [texx](U\cap W)[/texx] en [texx]W[/texx]; [texx]V'[/texx] es un suplementario de [texx](U+W)[/texx] en [texx]V[/texx].

Saludos.

P.D: Si trabajas es espacios de dimensión finita, la demostración puede enfocarse de otra manera jugando con las dimensiones.
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Rocarol
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« Respuesta #5 : 19/06/2009, 12:47:27 pm »

Hola el_manco, disculpa, pero se me hace difícil entenderlo, ¿hay otra manera de hacerlo? ¿cómo es esa demostración con las dimensiones?
Gracias
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el_manco
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« Respuesta #6 : 22/06/2009, 03:54:45 am »

Hola

 Supón que [texx]dim(V)=n, dim(U)=k, dim(W)=m[/texx].

 Entonces sabemos que:

[texx] dim(an(U))=dim(V)-dim(U)=n-k[/texx]

[texx] dim(an(W))=dim(V)-dim(W)=n-m[/texx]

[texx] dim(an(U\cap W))=dim(V)-dim(U\cap W)=n-dim(U\cap W)[/texx]

[texx] dim(an(U+W))=dim(V)-dim(U+W)=[/texx]

  [texx]=n-(dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W))=n-(k+m-dim(U\cap W))=[/texx]

  [texx]=n+dim(U\cap W)-k-m[/texx]

 Prueba además que (te será muy fácil):

[texx] an(U+W)=an(U)\cap an(W)[/texx]

 Entonces:

[texx] dim(an(U)+an(W))=[/texx]

  [texx]=dim(an(U))+dim(an(W))-dim(an(U)\cap an(W))=[/texx]

  [texx]=n-k+n-m-dim(an(U+W))=n-dim(U\cap W)=dim(an(U\cap W))[/texx]

 Si además has probado que [texx]an(U)+an(W)\subset an(U\cap W)[/texx] como ambos subespacios tienen la misma dimensión, se tiene la igualdad.

Saludos.
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