Máximo común divisor

[francis20]

Me dicen que:
1) Si (a,b)=MCD(a,b)=1 y ab es una k-esima potencia, entonces a y b son k-esimas potencias.

He hecho esto: Si (a,b)=1, entonces existen enteros x, y tales que ax+by=1, multiplico por a, entonces tengo
Por la fórmula general .
y no sé como continuar.

2) Si d y M son enteros positivos, entonces existen enteros a y b tales que d=(a,b) y M=[a,b] si y solo si d/M.
M.C.D.(a,b)=(a,b) y M.C.M.(a,b)=[a,b].
No sé ni cómo empezar.
Gracias amigos

[robinharra]

hola de nuevo francis20

Pues mira para el segundo, y sigo con la misma duda,
denotemos el valor absoluto por
no se si sabes la siguiente propiedad

luego tienes que
y
y

reemplazando a lo que es igual a y b nos da que
, (recuerda que d>0), asi

Para el primero considera la descomposicion en primos de a y b nota, por ser primos relativos no tienen en su descomposicion primos iguales, es decir, y , donde cada para , por ejemplo coge el 16 y el 9, (16,9)=1, con realiza su descomposicion en primos y notaras que es lo que pasa.

Cualquier cosa que no entiedas preguntas. (Si no interprete el problema como era disculpa amigo)
Hasta pronto y que estes bien.
 

[francis20]

Hola robinharra, gracias otra vez, mirá estoy confundida con eso lo de k-ésima potencia, osea como ab es  k-ésima potencia ¿quiere decir que para algun entero c?

[el_manco]

Hola

Hola robinharra, gracias otra vez, mirá estoy confundida con eso lo de k-ésima potencia, osea como ab es  k-ésima potencia ¿quiere decir que para algun entero c?

Exacto.

Saludos.