10/12/2019, 02:06:19 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Homenaje a NUMERARIUS
 
 
Páginas: 1 ... 14 15 [16] 17   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Teorema de Gödel  (Leído 141879 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Gustavo Piñeiro
Visitante
« Respuesta #300 : 11/12/2013, 11:25:49 am »

Hubiera sido interesante que Gustavo hubiera podido desarrollar su demostración, más allá de si era correcta o no su objeción al esbozo de Gödel...

Me desalentó completamente el comentario de Carlos de que era algo "muy sencillo" que se deduce inmediatamente de las condiciones de Hilbert-Bernays, disminuyendo así el interés o la importancia de lo que intentaba hacer. Asumo que no era ésa la intención de Carlos, pero eso es lo que sucedió.
En línea
Carlos Ivorra
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 9.067


Ver Perfil WWW
« Respuesta #301 : 11/12/2013, 06:43:25 pm »

Me desalentó completamente el comentario de Carlos de que era algo "muy sencillo" que se deduce inmediatamente de las condiciones de Hilbert-Bernays, disminuyendo así el interés o la importancia de lo que intentaba hacer. Asumo que no era ésa la intención de Carlos, pero eso es lo que sucedió.

Ya expliqué el significado de mi frase. Creo que puede afirmarse objetivamente que la dificultad de dar una prueba detallada y rigurosa del segundo teorema de incompletitud de Gödel es abismalmente superior a la requerida para el primero, así como que el núcleo de la dificultad está en probar las condiciones de Hilbert-Bernays (o bien algo de potencia similar, no digo que sea el único camino). Una vez probado esto, el resto es "fácil" en el sentido de que la dificultad del resto es equiparable a la de probar el primer teorema de incompletitud, que puede considerarse legítimamente "fácil" en términos relativos cuando se compara con las exigencias del segundo.

Creo que es habitual hablar, por ejemplo, de "la implicación fácil" y "la implicación difícil" de muchos teoremas, donde la diferencia es relativa, sin prejuicio de que "la implicación fácil", digamos, de un teorema de geometría algebraica pueda requerir un dominio de la geometría algebraica que excluya a una buena parte de matemáticos, sin perjuicio de que, para alguien familiarizado con la teoría, ésa sea la parte fácil.

Pero fíjate que, en el sentido que empleé la palabra "fácil" en este contexto (es decir, en el sentido de "fácil en relación con la dificultad añadida que supone probar el segundo teorema de incompletitud")  podría haber dicho igualmente que todo lo que has contado en este hilo, y en tu libro, es "fácil". ¿Si me hubieras dicho que ibas a escribir un libro sobre el teorema de Gödel y yo te hubiera dicho que lo que ibas a contar era "fácil", te habrías desalentado y habrías renunciado a escribirlo? ¿Tanta es la fuerza de una palabra mía?

Creo que deberías asumir las responsabilidades sobre las decisiones que tomas en lugar de transmitirlas tan frívolamente: puedes contar lo que querías contar o no contarlo, pero decir que si no lo cuentas es por una frase mía, me parece, como mínimo, pueril.

Empezaste un trabajo sobre lógica combinatoria y lo retiraste alegando que se te habían hecho "críticas", cuando lo que se te hizo fueron objeciones racionales a tus afirmaciones, objeciones a las que nunca contestaste y que, como bien sabes, luego vimos que estaban bien fundadas, pues una fundamentación rigurosa del planteamiento que pretendías seguir requiere partir del "lambda-calculus", lo cual no es nada trivial. Ahora dices que te retractas de tu proyecto en este hilo, ya no por haber recibido críticas, sino tan sólo por un mero comentario que, en su contexto, no es ni siquiera un juicio de valor. Mi opinión es que deberías administrar tu libre albedrío mediante criterios más sólidos que los que presentas.
En línea
Gustavo Piñeiro
Visitante
« Respuesta #302 : 11/12/2013, 06:51:26 pm »

¿Tanta es la fuerza de una palabra mía?
Sí en este foro, en el que ejerces de administrador y editor. Fuera de este ámbito no tomo en cuenta tus opiniones.
En línea
pierrot
pabloN
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 3.353


Ver Perfil
« Respuesta #303 : 11/12/2013, 07:11:46 pm »

Hola, Gustavo.

Sí en este foro, en el que ejerces de administrador y editor. Fuera de este ámbito no tomo en cuenta tus opiniones.

Este comentario que has hecho es descortés y desagradecido. Dices: "Fuera de este ámbito no tomo en cuenta tus opiniones". Pues deberías, ya que todo lo que te ha dicho Carlos es válido en el contexto de este foro y fuera de él.
En línea

$_="loe  hnachaPkr erttes,urJ";$j=0;for($i=0;s/(.)(.{$j})$//;$i++){$_=$2.$_,$j+=1-$i%2,print$1}print
Gustavo Piñeiro
Visitante
« Respuesta #304 : 11/12/2013, 07:29:11 pm »

Hola, Gustavo.

Sí en este foro, en el que ejerces de administrador y editor. Fuera de este ámbito no tomo en cuenta tus opiniones.

Este comentario que has hecho es descortés y desagradecido. Dices: "Fuera de este ámbito no tomo en cuenta tus opiniones". Pues deberías, ya que todo lo que te ha dicho Carlos es válido en el contexto de este foro y fuera de él.

No fue mi intención ser descortés y si lo he sido pido disculpas. Mi respuesta debe leerse en el contexto del mensaje de Carlos Ivorra, quien me dice: "¿Si me hubieras dicho que ibas a escribir un libro sobre el teorema de Gödel y yo te hubiera dicho que lo que ibas a contar era "fácil", te habrías desalentado y habrías renunciado a escribirlo? ¿Tanta es la fuerza de una palabra mía?" Amplío la respuesta que quise dar, que es ésta: No, no me habría desalentado de escribir un libro ni de actuar de ninguna otra manera en cuestiones ajenas a este foro porque fuera de él tu palabra no me condiciona, pero sí me condiciona en el ámbito de este foro en el que (legítimamente, aclaro) ejerces el poder de editor y administrador.

Espero haber sido ahora más claro. 
En línea
Carlos Ivorra
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 9.067


Ver Perfil WWW
« Respuesta #305 : 11/12/2013, 07:55:57 pm »

¿Tanta es la fuerza de una palabra mía?
Sí en este foro, en el que ejerces de administrador y editor. Fuera de este ámbito no tomo en cuenta tus opiniones.

No creo haber expresado aquí ninguna opinión. Pero, aunque así fuera, el espíritu de este foro es que lo que dice cada cual tiene el peso de los argumentos que respalden sus palabras, sin que importe para nada el papel que cada cual tenga asignado en él. Si un recién llegado anónimo hubiera dicho lo mismo que dije yo en su momento sobre las condiciones de Hilbert-Bernays y su "peso" en la prueba del segundo teorema de incompletitud (aportando los mismos argumentos), habría tenido la misma razón que haya podido tener yo, y su afirmación habría tenido (o hubiera debido tener) el mismo valor para todos que el que pueda tener firmada por mí, es decir, el peso de los argumentos que la respaldan (en este caso, que la dificultad que tiene el segundo teorema respecto la dificultad del primero se salva al demostrar las condiciones de Hilbert-Bernays y que, a partir de ahí, el resto ya es "fácil", en el sentido de "igual de fácil que probar el primer teorema de incompletitud". Uno podrá estar de acuerdo o no con este análisis, pero ello dependerá del asunto en sí, y no de quién lo ha expuesto).

Nadie en este foro se ha arrogado nunca la facultad de discriminar entre aportaciones "interesantes" o "no interesantes", entre otras cosas porque "interesante" es relativo. ¿El interés que ha mostrado Elius es menos importante que el "desinterés" que falsamente podría deducirse de mis palabras? Si se puede llegar a alguna conclusión sobre lo que es interesante para este foro, será después de que todos los usuarios hayan podido juzgar si les interesa o no, cosa difícil si optas por no exponerlo.
En línea
argentinator
Consultar la FIRMAPEDIA __________________________________________________________________________________________________________________
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 7.282

Vean mis posts activos en mi página personal


Ver Perfil WWW
« Respuesta #306 : 11/12/2013, 09:01:51 pm »

Bueno Gustavo, supongamos que es verdad lo que vos afirmás:

A = "Las afirmaciones de un administrador de este foro tienen mayor peso que las de un usuario normal".

Ahora yo, que (mientras no me bajen) soy administrador, hago la siguiente afirmación:

B = "Las afirmaciones de un administrador de este foro no tienen mayor peso que las de un usuario normal".

Si A fuese verdadera, entonces B sería verdadera.
Pero como B afirma la negación de A, entonces A sería falsa,
y por lo tanto B sería falsa, etc.

¿Y entonces?
¿Cómo seguimos a partir de acá?

---------

Una pequeña nota de humor para distender un poco.  :sonrisa:

Espero que nadie se sienta cohibido por la presencia de admins y moderadores.
Saludos a todos.
En línea

Cristian C
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 482



Ver Perfil
« Respuesta #307 : 12/12/2013, 06:37:56 am »

Las partes "fáciles" de la matemática llenan volúmenes e integran la inmensa mayoría de este foro, incluyendo la inmensa mayoría de lo que el propio Ivorra ha escrito en este foro. Las partes "fáciles" de la matemática son casi toda la matemática que sé y son casi toda la que saben los matemáticos. No veo razón para que la parte "fácil" de la matemática no sea difundida sin el menor complejo, aquí y en cualquier ámbito donde nos juntemos a hablar de estos temas.

Dicho esto invito a Gustavo a exponer lo que tiene, como lo tiene, acerca del segundo teorema. Si ya hay una prueba, explorar otras es muy interesante y si esas otras fallan, también es muy interesante entender dónde están fallando.

En línea

Mi primer gran deslumbramiento matemático consistió en comprender que puede demostrarse que existen infinitos de diferente tamaño.
El segundo fue comprender que lo anterior, aun pese a ser correcto, carece de todo significado.
Carlos Ivorra
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 9.067


Ver Perfil WWW
« Respuesta #308 : 12/12/2013, 08:31:56 am »

Las partes "fáciles" de la matemática llenan volúmenes e integran la inmensa mayoría de este foro, incluyendo la inmensa mayoría de lo que el propio Ivorra ha escrito en este foro. Las partes "fáciles" de la matemática son casi toda la matemática que sé y son casi toda la que saben los matemáticos. No veo razón para que la parte "fácil" de la matemática no sea difundida sin el menor complejo, aquí y en cualquier ámbito donde nos juntemos a hablar de estos temas.

¡Cuánto tiempo! Veo que no has perdido la costumbre de escribir cosas que, cuando las leo, me parece haberlas escrito yo.
En línea
Elius
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 360



Ver Perfil WWW
« Respuesta #309 : 12/12/2013, 10:16:51 am »

¿Tanta es la fuerza de una palabra mía?
Sí en este foro, en el que ejerces de administrador y editor. Fuera de este ámbito no tomo en cuenta tus opiniones.
En este caso en particular, no creo que sea la condición de administrador, sino la andanada de objeciones, críticas y opiniones formuladas de un modo que parece no admitir contraréplica alguna.

No sólo hay que proclamar que el foro es libre, sino que sería deseable también que dejen expresarse a quien lo desea, pidiendo sólo aclaraciones, dejando las críticas y objeciones para el final, cuando el expositor haya completado su objetivo.

No sé si es mucho pedir...
En línea

Elius
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 360



Ver Perfil WWW
« Respuesta #310 : 12/12/2013, 10:25:55 am »

¿Tanta es la fuerza de una palabra mía?
Sí en este foro, en el que ejerces de administrador y editor. Fuera de este ámbito no tomo en cuenta tus opiniones.

No creo haber expresado aquí ninguna opinión. Pero, aunque así fuera, el espíritu de este foro es que lo que dice cada cual tiene el peso de los argumentos que respalden sus palabras, sin que importe para nada el papel que cada cual tenga asignado en él. Si un recién llegado anónimo hubiera dicho lo mismo que dije yo en su momento sobre las condiciones de Hilbert-Bernays y su "peso" en la prueba del segundo teorema de incompletitud (aportando los mismos argumentos), habría tenido la misma razón que haya podido tener yo, y su afirmación habría tenido (o hubiera debido tener) el mismo valor para todos que el que pueda tener firmada por mí, es decir, el peso de los argumentos que la respaldan (en este caso, que la dificultad que tiene el segundo teorema respecto la dificultad del primero se salva al demostrar las condiciones de Hilbert-Bernays y que, a partir de ahí, el resto ya es "fácil", en el sentido de "igual de fácil que probar el primer teorema de incompletitud". Uno podrá estar de acuerdo o no con este análisis, pero ello dependerá del asunto en sí, y no de quién lo ha expuesto).

Nadie en este foro se ha arrogado nunca la facultad de discriminar entre aportaciones "interesantes" o "no interesantes", entre otras cosas porque "interesante" es relativo. ¿El interés que ha mostrado Elius es menos importante que el "desinterés" que falsamente podría deducirse de mis palabras? Si se puede llegar a alguna conclusión sobre lo que es interesante para este foro, será después de que todos los usuarios hayan podido juzgar si les interesa o no, cosa difícil si optas por no exponerlo.

Creo que se puede seguir la siguiente estrategia: si alguien irrumpe en la segunda línea de tu exposición con 40 líneas de objeciones, respóndele: "Señor, déjeme terminar, luego podrá Ud. expresar sus objeciones". Y plantar un enlace de un mensaje del creador del hilo al siguiente suyo, para que el lector no se pierda entre tantas interrupciones.
En línea

Cristian C
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 482



Ver Perfil
« Respuesta #311 : 12/12/2013, 11:16:38 am »

Dice Carlos:

Cita
¡Cuánto tiempo! Veo que no has perdido la costumbre de escribir cosas que, cuando las leo, me parece haberlas escrito yo.

Siempre es grato coincidir contigo, Carlos.  :sonrisa:

Realmente me gustaría que Gustavo no se sienta aquí como sapo de otro pozo. Su libro ha ayudado a mucha gente a acercarse a estos temas. Este hilo, que él mismo ha iniciado, ha dado aun más precisiones y detalles que el libro. Su aporte es generoso y desinteresado y sería muy valioso para estos foros poder contar con un rol más activo y protagónico de su parte.



En línea

Mi primer gran deslumbramiento matemático consistió en comprender que puede demostrarse que existen infinitos de diferente tamaño.
El segundo fue comprender que lo anterior, aun pese a ser correcto, carece de todo significado.
Carlos Ivorra
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 9.067


Ver Perfil WWW
« Respuesta #312 : 12/12/2013, 04:10:53 pm »

Realmente me gustaría que Gustavo no se sienta aquí como sapo de otro pozo. Su libro ha ayudado a mucha gente a acercarse a estos temas. Este hilo, que él mismo ha iniciado, ha dado aun más precisiones y detalles que el libro. Su aporte es generoso y desinteresado y sería muy valioso para estos foros poder contar con un rol más activo y protagónico de su parte.

Por no variar, suscribo el espíritu y la letra de lo que dices como si lo hubiera escrito yo mismo.

En este caso en particular, no creo que sea la condición de administrador, sino la andanada de objeciones, críticas y opiniones formuladas de un modo que parece no admitir contraréplica alguna.

No sólo hay que proclamar que el foro es libre, sino que sería deseable también que dejen expresarse a quien lo desea, pidiendo sólo aclaraciones, dejando las críticas y objeciones para el final, cuando el expositor haya completado su objetivo.

No sé si es mucho pedir...

Creo que se puede seguir la siguiente estrategia: si alguien irrumpe en la segunda línea de tu exposición con 40 líneas de objeciones, respóndele: "Señor, déjeme terminar, luego podrá Ud. expresar sus objeciones". Y plantar un enlace de un mensaje del creador del hilo al siguiente suyo, para que el lector no se pierda entre tantas interrupciones.

Creo que no has prestado suficiente atención a la parte final de este hilo. Si por "andanada de objeciones" te refieres a mis intervenciones en las respuestas #288 y #293, responden a algo que Gustavo había afirmado en su primer mensaje, pero esperé a que terminara (es decir, a que diera sus argumentos sobre ello) y luego, cuando ya hubo acabado, le presenté mis objeciones, y si parece que no admiten contrarréplica alguna, es porque no la admiten, pues el propio Gustavo reconoció que el argumento (que, al parecer no era suyo, sino de un lector suyo) era erróneo. En definitiva, el desarrollo del hilo ha sido el que cabe esperar de un hilo: un debate racional que ha llevado a esclarecer un punto oscuro a sastifacción de todos. Gustavo planteo un argumento y, cuando quedó expuesto, lo analizamos hasta coincidir en que era erróneo. Eso no ha generado ningún problema.

El problema ha surgido por un comentario que hice al final sin imaginar que podría tener la trascendencia que al parecer ha tenido: como el argumento que pretendía justificar que la prueba del primer teorema no puede ser formalizable no era correcto, eso no significa que el hecho afirmado no pudiera ser cierto por otro argumento distinto, y por eso me pareció oportuno añadir que, en principio, no parece haber objeción alguna a que el argumento del primer teorema sea completamente formalizable, pero que en la práctica no se hace así porque basta probar las condiciones de Hilbert-Bernays, lo que no supone la formalización completa del primer teorema, pero bastan para probar el segundo. Y se me ocurrió decir que, una vez probadas, "el resto es fácil", en un sentido de la palabra "fácil" que ya he explicado y que Cristian C ha explicado aún mejor que yo. Un sentido totalmente inocente y nada polémico.

Así pues, si Gustavo ha decidido no exponer lo que tenía previsto exponer, no ha sido por ninguna andanada de  objeciones, en contra de lo que pretendes, sino, al parecer, por un comentario mío absolutamente banal, sin más ánimo que explicar lo más claramente posible lo que conlleva la prueba del segundo teorema, y ello ha motivado que yo interviniera para puntualizar que no estoy dispuesto a aceptar la responsabilidad (por mi comentario) de una decisión de la que sólo Gustavo es responsable (con toda la legitimidad para elegir la opción que considere más conveniente). Por mi parte, repito lo que ya he dicho al suscribir las palabras de Cristian C: desde el momento en que Gustavo dijo que iba a plantear la prueba con un argumento distinto del que yo conozco, yo sería un interesado más en conocer su exposición. Razón de más para que esté fuera de lugar que la razón de no hacerlo sea una presunta falta de interés por mi parte.

Por otra parte, siguiendo con la respuesta a tus objeciones, si recorres este hilo desde el principio verás que Gustavo ha ido respondiendo al mismo tiempo que exponía su desarrollo a una andanada de coemntarios por parte de muchos usuarios del foro, tú entre ellos, con la única diferencia de que todas las objeciones que le presentabais admitían contrarréplicas innegables que Gustavo exponía muy eficientemente.

Sí que es verdad que la mezcla de objeciones y la exposición dificulta el seguimiento del hilo, y por ello argentinator creó unos enlaces entre sus mensajes principales, y a raíz de esta experiencia se adoptó la costumbre en otros hilos de naturaleza similar de crear un hilo paralelo de comentarios, de modo que éstos no interrumpan la exposición. La idea que propones no es nueva, y ya la adopta en este foro todo el que la considera oportuna.
En línea
Gustavo Piñeiro
Visitante
« Respuesta #313 : 12/12/2013, 07:04:40 pm »

Escribo este mensaje con el único y exclusivo propósito de evitar que alguien, tal vez, se quede esperando una exposición que ya no haré.

La verdad es que el modo en que se hacen las cosas en este foro no es compatible con mi modo ser ni de pensar. En realidad nunca lo fue y ya en los principios de este hilo, hace casi cinco años, cuando escribía mis primeras respuestas, varias veces estuve a punto de abandonar por completo la exposición (incluso así lo expresé en alguna de esas ocasiones). En aquel momento hice el esfuerzo de perseverar hasta terminar, pero esa perseverancia se me ha terminado y ya no tengo deseos de continuar aquí.

No es necesario que den respuesta a este mensaje en concreto, pero en el caso de que, a pesar de todo, alguien responda, es justo advertirles que ya no invertiré mi tiempo en leer las respuestas.

Saludos.
En línea
Quema
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 1.586


Ver Perfil
« Respuesta #314 : 15/01/2014, 05:19:36 pm »

Hola

Esto es de locos!!! He empezado a leer interesándome por el teorema de Godel y observar como se iba "picando" la discusión. Vaya paradoja, parece ser una aplicación al comportamiento humano del teorema de Godel!!

Saludos
En línea
Elius
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 360



Ver Perfil WWW
« Respuesta #315 : 27/12/2015, 11:51:14 pm »

El hilo no estaría completo sin mencionar las críticas que recibió Gödel, por parte de personajes tan notorios como Bertrand Russell (sí, el coautor de Principia Mathematica, obra en la que se basó Gödel), Ernst Zermelo (sí, el coautor de la célebre teoría axiomática de conjuntos más aceptada), y Ludwig Wittgenstein, autor del Tractatus Logico-Philosophicus, Investigaciones Filosóficas, y Observaciones sobre los Fundamentos de las Matemáticas.

Están detalladas en Shanker, Stuart G.[1988]: “Wittgenstein's Remarks on the Significance of Gödel's Theorem”, in “Gödel Theorem in Focus”, Editor Shanker, S.G., Routledge.

En el siguiente paper se comentan discusiones sobre este tema en papers académicos desde 1988 a la fecha, y se cita numerosos papers actualizados:

https://www.academia.edu/s/c1e7a48b37


En línea

Elius
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 360



Ver Perfil WWW
« Respuesta #316 : 30/03/2017, 01:04:15 pm »

La sentencia indecidible de Gödel pertenece al metalenguaje interno del sistema: sentencias que hablan de otras sentencias. Pero no hay ninguna sentencia del lenguaje objeto (ecuaciones diofánticas, eventualmente cuantificadas, y combinaciones booleanas de ellas).

Esto permite producir una demostración nueva del primer teorema de incompletitud, que prescinde de la hipótesis de consistencia.

Pero ¿comprometería este resultado la consistencia del sistema?

https://www.academia.edu/s/990bdb21d6/unlocking-the-godel-enigma
En línea

Raúl Aparicio Bustillo
Pleno*
*****

Karma: +0/-3
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 3.065


Ver Perfil
« Respuesta #317 : 01/04/2017, 02:45:31 am »



A ver, gracias a las explicaciones de Gustavo Piñeiro, sé que hace mucho tiempo que dejó este foro, pero no voy a negar que fue con su explicación con lo que entendí que había fórmulas de PA que afirmaban la propia consistencia de la teoría.Lo que no llego a entender es esto:

La sentencia indecidible de Gödel pertenece al metalenguaje interno del sistema: sentencias que hablan de otras sentencias. Pero no hay ninguna sentencia del lenguaje objeto (ecuaciones diofánticas, eventualmente cuantificadas, y combinaciones booleanas de ellas).


https://www.academia.edu/s/990bdb21d6/unlocking-the-godel-enigma

La sentencia de Gödel (en su interpretación natural no afirma la consistencia de los axiomas de Peano)
En línea
Elius
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 360



Ver Perfil WWW
« Respuesta #318 : 03/04/2017, 01:39:53 pm »



A ver, gracias a las explicaciones de Gustavo Piñeiro, sé que hace mucho tiempo que dejó este foro, pero no voy a negar que fue con su explicación con lo que entendí que había fórmulas de PA que afirmaban la propia consistencia de la teoría.Lo que no llego a entender es esto:

La sentencia indecidible de Gödel pertenece al metalenguaje interno del sistema: sentencias que hablan de otras sentencias. Pero no hay ninguna sentencia del lenguaje objeto (ecuaciones diofánticas, eventualmente cuantificadas, y combinaciones booleanas de ellas).


https://www.academia.edu/s/990bdb21d6/unlocking-the-godel-enigma

La sentencia de Gödel (en su interpretación natural no afirma la consistencia de los axiomas de Peano)


Estimado Raúl:

Comienzo por aclarar que, efectivamente, la sentencia de Gödel no afirma la consistencia de los axiomas de Peano. Es una hipótesis del teorema, no una tesis. Hasta allí estamos de acuerdo.

Respecto de los niveles de lenguaje en el sistema de Gödel, comencemos por dejar establecido que el sistema original es el de Whitehead-Russell con el añadido de los axiomas de Peano.

Las operaciones definidas por los axiomas de Peano son sólo dos: suma y producto, y la única función es "sucesor".

De modo que el lenguaje básico está compuesto por ecuaciones diofánticas:

[texx]t_1 + t_2 + ... + t_n = 0[/texx]

donde cada término [texx]t_i[/texx]es un producto, que puede contener variables libres.

Estas ecuaciones pueden estar cuantificadas.

Y por último podemos reunir varias combinándolas con operadores booleanos OR, AND e implicaciones.


Saludos

En línea

Elius
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 360



Ver Perfil WWW
« Respuesta #319 : 04/04/2017, 07:17:58 pm »

Continuando, ese lenguaje básico es el que está generado usando los axiomas de Peano:


Tal vez convenga entonces mostrar, a modo de ejemplo, un conjunto recursivo de axiomas aritméticos. El sistema clásico es el de los "axiomas de Peano de primer orden", que se pueden escribir así (dejo tácitos todos los cuantificadores universales (los [texx]\forall{}[/texx]) necesarios para que las fórmulas sean enunciados):

1. [texx]Sx = Sy \Rightarrow x = y[/texx]
2. [texx]Sx\neq 0[/texx] (que es una abreviatura de [texx]-(Sx = 0)[/texx])
3. [texx]x + 0 = x[/texx]
4. [texx]x + Sy = S(x + y)[/texx]
5. [texx]x\cdot{0} = 0[/texx]
6. [texx]x\cdot{Sy} = x\cdot{y}+x[/texx]
7. [texx]P(0)\Rightarrow (\forall{x}(P(x)\Rightarrow P(Sx))\Rightarrow \forall{y}P(y))[/texx]


Si solamente nos atenemos a ellos, las únicas fórmulas del sistema serían ecuaciones con sumas y multiplicaciones, posiblemente cuantificadas, agrupadas con operadores lógicos.


En línea

Páginas: 1 ... 14 15 [16] 17   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!