Sea B el bolillero de los números naturales...

[Cristian C]

He aquí una duda que me carcome hace unos días:

Colocamos todos los números naturales en un gran bolillero de modo que ninguno se repita y ninguno falte.

Ahora voy extrayendo bolillas al azar una por una. Mi objetivo es extraer la bolilla 7.

¿Lograré mi objetivo luego de una cantidad finita de pasos?

No tengo la respuesta.

Saludos.

[Jabato]

La probablidad de que tal fenómeno ocurra es cero, saca tus propias conclusiones.

Saludos, Jabato.

[Cristian C]

Hola Jobato.

He tenido el cuidado de no preguntar por una probabilidad.
Como seguramente ya sabes (lo deduzco de tu emoticón), que la probabilidad del suceso sea cero no implica que el 7 no pueda salir en un número finito de extracciones, que es lo que yo pregunto.
Además, creo que la probabilidad que aludes, si intentáramos calcularla, está indeterminada ya que si es la probabilidad de que salga en la enésima extracción, entonces la probabilidad de que salga en un número finito de pasos es , lo que nos da

Consecuentemente, la duda me sigue carcomiendo y mi pregunta sigue en pié.

Saludos.

[Jabato]

La respuesta sigue siendo la misma, es decir, no ocurrirá, por supuesto siempre según la teoría. Si quieres podemos discutir si la teoría de la probabilidad se ajusta a los hechos experimentales ó no se ajusta, todos sabemos que la respuesta es negativa, la teoría de la probabilidad no es más que eso, una teoría, solo da explicaciones satisfactorias para un número de sucesos muy grande, teóricamente infinito, y el infinito no puede experimentarse. No es objetivo de la ciencias experimentales. Entonces solo es posible contestarte con la teoría, y en ese caso la respuesta debe ser no.

Realmente la respuesta debría ser más compleja, quizás como ésta:

Si el fenómeno de extracción de las bolas es aleatorio, entonces el comportamiento es caótico y por lo tanto impredecible, no puedes resolver tu duda, aunque si podrás calcular su probabilidad (Teoría de la probabilidad). Si el fenómeno de las extracciones obedece a alguna ley física entonces para responderte bastaría aplicar dicha ley para satisfacer tu curiosidad, pero en caso de que fuera así deberías decirme cual es la ley que rige las extracciones, claro está. No vas a pillarme por ese camino, creo.

Ah!, por cierto, mi nombre es Jabato.

Saludos, Jabato.

[Jjjuan]

Que tal Cristian?
En realidad no creo que lo que estás planteando te lleve a una indeterminación, por lo siguiente:
Como dicen, la probabilidad de extraer el número 7 es (creo que esto es o sale directamente de uno de los axiomas).
La suma que vos planteás da por resultado el número 0, porque no es que lo que estás sumando sean infinitésimos ni nada por el estilo, son llanos ceros. Dicho de otra manera, no es una indeterminación, es 0.
De ahí se concluye el mismo resultado si lo que uno quiere es, en lugar de sacar el número 7, sacar cualquier número entre 0 y 1000000000, el número de pasos no puede ser finito, resultado que sí es muy extravagante...
Un saludo

[Cristian C]

Hola Jjjuan.

No entiendo bien tu "P".
Cuando anoté intente decir "la probabilidad de que el 7 salga en la enésima extracción"
Me parece que tu quiere decir en cambio "La probabilidad de que salga el 7" que no es lo mismo.
Entonces, cuando anotas dentro de la sumatoria, ya no sé a que te refieres. ¿Podrías aclarar el punto para tratar de comprender lo que me dices?

Hola Jabato.
Perdón por rebautizarte. Uno lee un nik y el cerebro subrepticiamente trata de encontrar palabras conocidas parecidas.

Creo que estoy bastante cerca de aceptar como respuesta esto que anotas:

Si el fenómeno de extracción de las bolas es aleatorio, entonces el comportamiento es caótico y por lo tanto impredecible, no puedes resolver tu duda

Hay dos resultados posibles: que el 7 salga al cabo de un número finito de extracciones o que no salga nunca.
Tu dices que no se puede decidir entre ambas.
Mmm... puede ser, pero no puedo evitar asociar la idea de que el 7 no sale nunca a la idea de que no está en el bolillero.
Creo que lo estoy aclarando...
La posibilidad de que no salga nunca no es equivalente a que no esté en el bolillero porque el conjunto de todas las extracciones es infinito pero no tiene por qué ser . Puede ser cualquier subconjunto infinito de
No sé si estarás de acuerdo, pero creo que esa es una buena explicación.
El 7 puede salir al cabo de un número finito de extracciones, incluso podría salir en la primera! pero tambien podría ser que no salga nunca y sin embargo estar en el bolillero. Y como dices, no hay como decir entre lo primero y lo segundo.

Saludos.

[Fernando Revilla]

¿Lograré mi objetivo luego de una cantidad finita de pasos?

La probabilidad de conseguirlo es 0. Esto no quiere decir que sea un suceso imposible. Lo dicho no es una opinión, es una estricta deducción del modelo matemático de la teoría de probabilidades que reiteradamente ha sido comprobado que se adapta bien a la realidad partiendo del hecho empírico de la ley del azar.

Saludos.

Editado: No estando de acuerdo conmigo mismo, más adelante me autocastigo.

[Cristian C]

Es cierto Phidias, y justamente por eso, "la probabilidad es cero" no responde la pregunta.

Saludos.

[Jjjuan]

Buenas,
Je, no sé si por la palabra "Jovato" se entiende lo mismo en otros paises, que Jabato no se ofenda.
Claro, mi notación fue muy fea. Lo que quise decir es lo siguiente:
Sea N la cantidad de pruebas hasta que salga un 7, entonces:

Como todos coincidimos.
Ahora, los sucesos son disjuntos para cada valor de , por lo tanto, la probabilidad conjunta para todos los n posibles (para todo número de extracciones) es:
.
Creo que así está bien escrito. En definitiva es igual que la probabilidad de extraer algun número real de un dado intervalo en un número finito de pasos: dado que para cada intento la probabilidad es cero, la probabilidad para cualquier cantidad de intentos también es cero.
Claro que para extrapolar este resultado a la vida real, supongo que hay que cambiar el concepto "probabilidad 0" por el de "probabilidad despreciable".
Creo yo que la diferencia entre suceso imposible y suceso de probabilidad nula es que el primero no pertenece al universo de sucesos, mientras que el segundo sí, pero no estoy 100% seguro de esa
intepretación.
Saludo

[el_manco]

Hola

 Cuidado.

 No se puede asignar un espacio probabilístico ("al uso") a los números naturales si pretendemos que los sucesos   sean equiprobables. El problema está en la -aditividad. La probablidad de la unión de sucesos disjuntos debiera ser la suma de probabilidades. Entonces, si .



 Imposible.

 Para subsanar esto, suelen usarse (como se indicó en este hilo) aproximaciones a esa "probabilidad" (pongo las comillas porque el concepto es distinto al usal) como límite de probabilidades sobre subconjuntos finitos.

 Eso está explicado en esta tesis:

http://home.a-eskwadraat.nl/~wouter/b_thesis.pdf

 Sea como sea, y que me perdone Cristian, este tipo de problemas siempre me parecieron falsos, engañosos. Se pretende dar "visos de realiad" a problemas que no son reales:

"Colocamos todos los números naturales en un gran bolillero de modo que ninguno se repita y ninguno falte. "

 ¿Puede hacerse eso en la realidad? ¿Qué sentido real tiene?Creo que ninguno. Entonces no podemos pretender una respuesta que se ajuste a nuestra intución sobre la realidad, porque no tenemos tal intuición. Digamos que no acabo de entender Cristian, que respuesta pretendes; fíjate que no hay forma de hacer un experimento empírico, que nos permita  comprobar si tal o cual respuesta es más o menos acertada.

Saludos.

[Fernando Revilla]

La probabilidad de conseguirlo es 0.

Mira Phidias, has usado la intuición y nada más. Teniendo en cuenta que si tienes un conjunto de bolas numeradas con , la probabilidad de obtener un en caso de equiprobabilidad es . Es claro que al aumentar tenemos . Razonable.
 

Esto no quiere decir que sea un suceso imposible.

Claro, claro aquí estás pensando en una idealización del bolillero. Dado que es físicamente imposible en el mundo real construir tamaño bolillero pensemos en él como los puntos racionales del intervalo . Sigue siendo algo ideal pero lo controlamos mejor (gracias a Cantor). Un segmento ideal con agujeros, una aguja ideal, una mano inocente, una predefinida biyección y si sale (por ejemplo) ¡Bingo!. 

Lo dicho no es una opinión,

Parece que va a ser lo. Has usado una valoración personal psicológica de "medida de certeza" que aunque "razonable" es subjetiva.
 

es una estricta deducción del modelo matemático de la teoría de probabilidades que reiteradamente ha sido comprobado que se adapta bien a la realidad partiendo del hecho empírico de la ley del azar.

El modelo matemático se construye sobre la observancia de fenómenos reales. Ya ves que lo del bolillero o su equivalente del intervalo no sería un experimento real. Ten en cuenta que los naturales tienden a romper el continuo, presentando ciertas singularidades. ¿Te suena?.

Saludos.

[Fernando Revilla]

De acuerdo Phidias, gracias por tus aportes.

Saludos.

[argentinator]

Si sigo extrayendo hasta que salga el 7, el 7 aparecerá en un número finito de pasos.
Como el proceso de extracción es de uno en uno, es una iteración.
Si el 7 no sale en un número finito de pasos, es que no ha salido en momento alguno de la iteración.
Entonces el proceso iterativo ha definido una sucesión con imagen más chica que el conjunto N de naturales.
De todas las sucesiones de este tipo, en las que la imagen no tiene elementos repetidos, hay infinitas que contienen al 7, y han infinitas que no lo contienen.
Si considero el espacio X de tales sucesiones, puedo considerar el evento E tal que E consta de todas las sucesiones que contienen al 7. ¿Es un evento? ¿Cuál es la sigma-algebra?
Planteado así, me parece que la opción más razonable sería construir una probabilidad que asigne a E prob. 1/2, y a su complemento también 1/2.
No veo a simple vista cómo sería una tal probabilidad razonablemente definida para este tipo de cosas.

Pero en todo caso, si s es una sucesión con 7, puedo quitarle el 7 y formar una nueva sucesión sin 7.
Y si no tiene al 7, se lo puedo insertar donde me plazca y me formo una sucesión con 7.
Hasta sospecho que ahora la probabilidad de que aparezca el 7 es 1.

[Jabato]

Argentinator, es interesante tu comentario, estás comparando conjuntos de la misma cardinalidad, de acuerdo, pero ... ¿tienen la misma dimensión (dentro de los naturales)? ¿y la misma medida?

Las probabilidades resultan de comparar las "medidas relativas de dos conjuntos" pero siempre que tengan la misma dimensión y la misma cardinalidad, ¿como podrías comparar dos conjuntos que no cumplan ese requisito?

Interesante el asunto.

Saludos, Jabato.

[Jjjuan]

Con respecto a eso de comparar conjuntos de la "misma dimensión y la misma cardinalidad" (Jabato), ¿no tiene acaso, al menos en la mayoría de los casos, probabilidad nula un subconjunto de cardinal finito definido en uno de cardinal infinito? Me refiero por ejemplo, a la probabilidad de obtener un determinado punto en el plano.
De todas maneras estoy de acuerdo en que "el número de sucesiones que contienen al 7" está compuesta por elementos de cardinal finito y su hipotético complemento está formado por conjuntos infinitos, por lo que eso de asignarles la misma probabilidad, no me parece viable.
Igual es cierto que si tomamos la probabilidad de sacar cada natural como 0 se cae en ese absurdo de el_manco. Pregunto nomás, ¿Se cae en lo mismo al decir que cada una de las probabilidades es un infinitésimo? ¿Al sumar todos los infinitésimos hasta el infinito no quedaría una especie de integral impropia?

[Cristian C]

Hola Argentinator. Dices:

Pero en todo caso, si s es una sucesión con 7, puedo quitarle el 7 y formar una nueva sucesión sin 7.
Y si no tiene al 7, se lo puedo insertar donde me plazca y me formo una sucesión con 7.

Este comentario podría llevarnos a pensar que hay una sucesión sin 7 asociada univocamente a una con 7 y vicecersa, con lo cual considerar una probabilidad de 1/2 a cada posibilidad parecería razonable.
Sin embargo no es así. Es cierto que a cada sucesión con 7 se le puede asociar una única sucesión que es la que resulta de quitar el 7 y dejar todo lo demás igual.
Pero a una sucesión sin 7, se lo puedo agregar en infinitos lados distintos (concretamente, entre cada par de elementos consecutivos, o al principio) de modo que resultan infinitas sucesiones asociadas con la dada.
Entonces, para cada sucesión sin 7 hay infinitas que resultan de agregarle un 7 a esa.
Y esto podría llevarnos a pensar que las sucesiones con 7 son infinitamente más que las sucesiones sin 7. Creo que de aquí sale tu sospecha final de que la probabilidad podría ser 1.

Pero yo no estoy tan seguro, entre otras cosas, porque seguramente existe alguna relación entre el conjunto de las sucesiones sin 7 y el conjunto de las sucesiones con 7 que relaciona a cada una de las que tienen al 7 con infinitas que no lo tienen. Al revés que arriba.

Además, me pregunto si el concepto de "probabilidad" entendido como "casos particulares" sobre "casos totales" tiene sentido cuando ambos, numerador y denominador son infinitos.

Yo creo que técnicamente, la probabilidad está indeterminada. Y que a mi pregunta inicial de si obtendré el 7 al cabo de un número finito de extracciones, la respuesta es que a veces sí, a veces no. Ambas soluciones son posibles. No creo que se pueda ir más allá.

Saludos.

[Jabato]

En mi opinión, el único cálculo coherente que podemos hacer para tratar de determinar la probabilidad es éste:

y el resultado de ese cálculo es 0, si no ando muy equivocado. De manera que conforme a la teoría deberíamos aceptar el valor 0 como único válido, aunque si probamos a hacer el experimento ..., ¡pero que digo!, con el infinito no hay experimentos que valgan.

El azar es Caos en estado puro, entonces ... como predecir el resultado de un fenómeno caótico, imposible, y además un fenómeno hipotético ya que no es posible reproducirlo en el mundo físico. No podemos calcularlo ni podemos medirlo, pues ... no le deis mas vueltas.

Saludos, Jabato.

[LauLuna]

Hay ambigüedad en el enunciado del problema.

Si se me permite seguir sacando números indefinidamente, la probabilidad de que el 7 salga en un número finito de pasos es 1, como sospechaba Argentinator.

Si por 'número finito de pasos' entendemos que el número de números que se me permite sacar está predeterminado y sólo puedo intentarlo una vez, entonces el suceso es posible pero muy improbable, 'casi-0'.

Si se me permite intentarlo un número indefinido de veces pero sacando cada vez sólo un número finito de números y reponiendo los números sacados al pasar de una vez a la siguiente, bueno entonces me parece que tenemos el famoso sumatorio.

Un saludo

[Cristian C]

No hay ambigüedad, Lauluna.

Si e(n) es el número que sale en la enésima extracción, lo que pregunto es si existe n natural tal que e(n)=7.

Cualquier interpretación fuera de esta es toda tuya.

De todos modos la pregunta ya fue respondida: Puede salir en un número finito de extracciones o puede no salir nunca.
Incuso algunos foristas han intentado calcular la probabilidad de cada alternativa.

Saludos.

[LauLuna]

Por lo que yo veo, sí que hay ambigüedad porque lo que dices sigue sin elegir entre las opciones que di. Quizá me haya saltado algún párrafo en el que esto se especifica.

De hecho, por la forma en que lo planteas me da la impresión de que permites que se siguan haciendo elecciones indefinidamente sin devolver los números ya extraídos a su sitio. Si es así, como dije, la probabilidad de que exista un n tal que e(n) = 7 es 1.

Si se sigue eligiendo indefinidamente irán saliendo todos los naturales, cada uno de ellos después de un número finito de pasos, aunque no habrá ningún número finito de pasos en el que ya hayan salido todos.

Pero sigo sin saber si esta forma de elegir es la que propones.

Un saludo