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Autor Tema: Caótico comportamiento conjunto de Julia  (Leído 9139 veces)
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« Respuesta #20 : 24/05/2009, 07:10:31 pm »

Al inicio del capitulo 13 de Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications K.J.Falconer pg 187 aparece

Cita
Frecuentemente, si [texx]f[/texx] tiene un atractor o repelente fractal [texx]F[/texx], entonces [texx]f[/texx] exhibe un comportamiento 'caotico' sobre [texx]F[/texx]. Existen varias definiciones de caos; [texx]f[/texx] seria ciertamente considerado caotico sobre [texx]F[/texx] si las siguientes [afirmaciones] son todas ciertas:
(i) La orbita [texx]\{f^k(x)\}[/texx] es densa en [texx]F[/texx] para algun [texx]x \in F[/texx].
(ii) Los puntos periodicos de [texx]f[/texx] en [texx]F[/texx] (puntos para los cuales [texx]f^p(x) = x[/texx] para algun entero positivo [texx]p[/texx]) son denso en [texx]F[/texx].
(iii) [texx]f[/texx] tiene dependencia sensitiva sobre las condiciones iniciales; esto es, existe un numero [texx]\delta > 0[/texx] tal que para cada [texx]x[/texx] en [texx]F[/texx] existen puntos [texx]y[/texx] en [texx]F[/texx] arbitrariamente cerca de [texx]x[/texx] tal que [texx]|f^k(x) - f^k(y)| \ge \delta[/texx] para algun [texx]k[/texx]. Luego puntos que estan inicialmente cerca entre si no permanecen cerca bajo la iteracionn de [texx]f[/texx].

En el capitulo 14 se da la demostracion de la equivalencia de (i) y (ii) con la definicion de conjunto de Julia.

Cita
Corolario 14.8.b) Si [texx]z \in J(f)[/texx] entonces [texx]J(f)[/texx] es la clausura de [texx]\displaystyle\bigcup_{k=1}^\infty f^{-k}(z)[/texx]

y

Cita
Teorema 14.10 Si [texx]f[/texx] es un polinomio, [texx]J(f)[/texx] es la clausura de los puntos periodicos repelentes de [texx]f[/texx].

Para completar las referencias de la 'demostracion' falta (iii), en el Falconer solo dice que se puede probar pero no da mas datos, habra que buscar en el Beardon o en algun paper mas especializado.
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