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Autor Tema: Caótico comportamiento conjunto de Julia  (Leído 9142 veces)
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marsillun
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« : 13/05/2009, 12:52:24 pm »

hola, soy una chica que esta estudiando aeronautica y tengo que hacer un trabajo.
Tengo algunas dudas sobre como justificar el caotico comportamiento del conjunto de Julia en puntos muy proximos.

Me podriais ayudar???

muchas gracias :sonrisa:
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 13/05/2009, 02:32:43 pm »

Hola

 Básicamente para definir un conjunto de Julia, se escoge una función compleja [texx]f(z)[/texx] y se construye una sucesión recursiva:

[texx] x_{n+1}=f(x_n)[/texx]

 Un punto [texx]x_0[/texx] pertence al conjunto si la sucesión diverge. Si uno representa eso gráficamente ve que la frontera del conjunto está "muy arrugada" de manera que puntos muy próximos tienen comportamientos radicalemente distintos (convergencia o divergencia).

 Esto es una idea intuitva muy básica.

 Más información, por ejemplo, aquí:

http://rinconmatematico.com/ismael/juliamandelbrot/juliamandelbrot.pdf

Saludos.
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Jabato
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« Respuesta #2 : 13/05/2009, 02:33:50 pm »

¿Podías explicar con algo más de detalle a que te refieres con "caótico comportamiento"?

Como ya te ha explicado el manco los fractales se generan a estudiar el comportamiento de series iteradas dependientes de un punto ó valor inicial del primer término la serie. Las más conocidas se estudian en el campo complejo, como el fractal de Mandelbrot ó los conjuntos de Juliá, aunque es posible diseñar fractales de mucho tipos y no necesariamente en el campo complejo. Analizando el comportamiento de la serie en función del punto inicial se observa en ocasiones que existen puntos en que no es posible predecir cual será el comportamiento de la serie dado que las fronteras que delimitan las regiones de divergencia y no divergencia están tan "arrugadas" que no puede determinarse, salvo para un número teóricamente infinito de iteraciones, cual será la tendencia. Estas regiones son precisamente las que denominamos fractales y en ellas el comportamiento se dice que es caótico (la palabra caótico en teoría del caos es sinónimo de impredecible). Hay mucho escrito sobre fractales y teoríadel caos, así que si concretas un poco nos podremos entender mejor.

Te pondré un ejemplo más concreto, si analizamos el comportamiento de una serie iterada cualquiera vemos que existen distintas posibilidades:

a).- Diverge, cuando cada término de la serie se aleja indefinidamente del punto inicial
b).- Converge, cuando existe un punto límite
c).- Cíclico, cuando a partir de uno determinado los términos de la serie se repiten de forma cíclica, en este caso el número de iteraciones necesarias para cubrir un ciclo puede ser cualquiera, desde 1 hasta infinito.
d).- aleatorio, cuando no se observa una ley que permita predecir el valor del término siguiente, como en el caso de las mantisas de los irracionales

etc.

Los fractales se presentan cuando los puntos en que la serie se comporta de una u otra forma se entremezclan de forma "intima", algo así como la mezcla de los racionales y los irracionales en la recta real, aunque en el caso de los conjuntos de Juliá ó el fractal de Mandelbrot la mezcla se realiza en el campo complejo, de manera que no es posible delimitar una frontera precisa que separe a los puntos de cada tipo, y resulta imposible entonces, en los puntos próximos a dicha frontera, predecir cual va a ser el comportamiento de la serie, de ahí la relación entre los fractales y la teoría del caos, y de ahí también el termino "comportamiento caótico" por el que nos preguntas.

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Jabato
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« Respuesta #3 : 13/05/2009, 03:54:31 pm »

No, topo, "comportamiento caótico" debe traducirse en teoría del caos como "comportamiento impredecible", y puedo ponerte mil ejemplos en que se da el comportamiento que expones sin que exista en absoluto comportamiento caótico, no es esa la interpretación correcta de la palabra "caótico". Hay que matizar aqui correctamente y de forma precisa.

Puedes construir facilmente en C un conjunto delimitado por una curva continua y suave, y construir a continuación una serie iterada que converja para los puntos interiores y de la frontera y diverja para los exteriores. Resulta entonces que eligiendo dos puntos arbitrariamente próximos, uno interior y otro exterior, se cumple la condición que dices, pero el comportamiento es perfectamente predecible en todos los puntos, no existe comportamiento caótico ni fractal de ningún tipo.

Recuerda topo, para que existan fractales y "comportamiento caótico" tienen que existir puntos en que la serie iterada se comporte de forma IMPREDECIBLE

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:   
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Jabato
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« Respuesta #4 : 13/05/2009, 04:46:26 pm »

No topo, sigo sin estar de acuerdo. La palabra caótico no tiene una interpretación distinta para los conjuntos de Juliá que para el resto de los fractales. La palabra caótico solo tiene una inerpretación conforme a la teoría del caos, ya te apunté cual es la correcta. Además el comportamiento caótico es algo propio de la teoría del caos (sistemas dinámicos), y la definición de fractal es algo que afecta a la geometría fractal, que son dos disciplinas absolutamente distintas. No cabe duda que la teoría del caos aplica algunas de las conclusiones de la geometría fractal, pero de la misma forma que la relatividad utiliza los tensores ó las ecuaciones diferenciales, no hay que confundir una cosa con la otra. No, topo, no, caótico es impredecible topo, y no otra cosa.

Considera la siguiente serie iterada en C:

[texx]z_{n+1}=z_n^2[/texx]

Verás que no existe nada caótico en ella, sin embargo siempre podemos elegir dos puntos arbitrariamente próximos, uno interior a la circunferencia centrada en el origen, de radio 1, y otro exterior de manera que la sere iterada converge a 0 para el primero y diverge para el segundo ¿eso es para tí un comportamiento caótico? Este ejemplo contradice tu afirmación y sin embargo confirma la mía.

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« Respuesta #5 : 14/05/2009, 01:14:42 am »

Vamos a ver topo, la discusión no es inutil, trata de clarificar precisamente el significado de la expresión "comportamiento caótico", que es precisamente el motivo del debate.

En general puede ocurrir que en el comportamiento de los sistemas dinámicos se den las siguientes circunstancias:

a) La existencia de puntos (estados) en que el comportamiento sea impredecible y que en su entorno se presente la condición que tu has propuesto.

b) La existencia de puntos en que el comportamiento sea impredecible, pero que dichos puntos sean aislados, en el entorno de dichos puntos el comportamiento es uniforme y perfectamente predecible.

c) Que se presente la condición que nos has explicado y que no existan puntos de comportamiento impredecible, normalmente los puntos estarán próximos a puntos de la frontera que delimita un comportamiento y otro del sistema.

Estas son las tres únicas posibilidades. Los dos primeros casos presentan comportamiento caótico, aunque el segundo caso solo lo hace en un punto aislado. El tercero no es caótico en ningun punto.

Se dá ademas la circunstancia de que en el caso de los conjuntos de Julia y bajo ciertas condiciones el caso b) se presenta, cosa que no ocurre por ejemplo en el conjunto de Mandelbrot, para el que ya está demostrado que es un conjunto conexo.

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Luis Fuentes
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« Respuesta #6 : 14/05/2009, 04:53:25 am »

Hola

 Es curioso, porque, aunque entiendo lo que quiere decir Jabato, el término "impredecible" es muy subjetivo. Roza lo filosófico. Una sucesión definida por recurrencia está perfectamente delimitada, sabemos como funciona; fijado un punto incial o es convergente o no es convergente; que seamos o no capaces de "predecirlo" es problema nuestro; es quizá fruto de nuestra incapacidad.

 De manera intutiva la idea de un sistema caótico es un sistema en el que pequeñas variaciones en las condiciones iniciales cambian drásticamente el resultado final. Eso lo hace caótico en el "mundo real" porque uno nunca controla por completo y sin error los parámetros que intervienen en un fenómeno.

 Un ejemplo algo "tontorrón" (de esos "reales-irreales"  :guiño:). Si tiramos una roca gigante sobre la punta de una montaña cónica, y aun lado de la misma hay un pueblo y al otro lado bosque. Una infinitésima variación del lanzamiento a un lado o a otro pude provocar una descomunal tragedia humana o no.

Saludos.
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Jabato
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« Respuesta #7 : 14/05/2009, 05:52:13 am »

Bueno, trataré de explicarlo lo mejor que yo lo entiendo, a ver si soy capaz.

Los puntos fractales son los puntos en los que es imposible determinar (predecir en el sentido matemático de la palabra) en que forma se va a comportar el sistema porque son necesarias teóricamente un número infinito de iteraciones para que se ponga de manifiesto el caracter de la serie iterada, ocurre que tampoco puede determinarse cuales son esos puntos ya que si intentamos verificar el comportamiento en uno de esos puntos resulta que necesitamos realizar un número demasiado grande de comprobaciones para llegar a un resultado concluyente, de manera que no podemos determinar cuales son los puntos en los que verdaderamente ocurre tal circunstancia. No es fácil de entender pero podemos explicarlo indicando que existe una región en la que no es posible obtener resultados concluyentes, dicha región se hace más ó menos imprecisa, y ó extensa, dependiendo del número de verificaciones que estemos dispuestos a realizar. Por ejemplo, si el comportamiento de la serie iterada es cíclico, pero ese carácter no se manifiesta antes del trillón de iteraciones y el periodo de cada ciclo es además de 1000 trillones de iteraciones necesitaremos realizar demasiadas verificaciones sin errores  para poder determinar el comportamiento de la serie y obtener un resultado concluyente, y claro quien habla de un trillón habla de mil trillones, etc. Resulta entonces que hay puntos en los que el comportamiento de la serie iterada es impredecible, no puede determinarse cual será el comportamiento en esos puntos, se dice entonces que el comportamiento del sistema es caótico.

¿Cuantas cifras conocemos del número Pi? ¿Alguien puede afirmar que no llegará un momento en que se pueda determinar la ley que siguen dichas cifras (fijaros que solo hay 10 dígitos)? ¿Y en el caso de los números primos? Pero de momento no puede predecirse cual será el comportamiento de dichas series, tienen un comportamiento impredecible, es decir caótico.

¿Ha quedado claro ya que entiendo yo por impredecible y caótico? No hay nada subjetivo ni filosófico en ese concepto.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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Luis Fuentes
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« Respuesta #8 : 14/05/2009, 06:04:57 am »

Hola

Cita
Pero de momento no puede predecirse cual será el comportamiento de dichas series, tienen un comportamiento impredecible, es decir caótico.

Insisto. Ese "de momento" hace que sea muy subjetivo. Otra cosa es cuando dices:

Cita
Los puntos fractales son los puntos en los que es imposible determinar (predecir en el sentido matemático de la palabra)

Bien pero...¿Cómo se demuestra que es imposible probar que una sucesión converge o diverge?. Ponme un ejemplo.

Luego también dices:

Cita
dicha región se hace más ó menos imprecisa, y ó extensa, dependiendo del número de verificaciones que estemos dispuestos a realizar

Una vez más: altamente subjetivo. Yo estoy dispuesto a hacer muchas verificaciones.  :guiño:

Saludos.

P.D. Reitero: entiendo la idea de lo que dices e incluso estoy de acuerdo que aproxima la noción de caótico. Pero no es fácil dar una definición rigurosa, objetiva.
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« Respuesta #9 : 14/05/2009, 07:06:55 am »

Dar una definición rigurosa no parece tarea fácil, desconozco si existe alguna, aunque creo que no. Yo solo trato de explicar la idea que yo tengo de lo que significa ser caótico y las consecuencias que ello conlleva, aunque creo que mi idea coincide bastante bien con la literatura más ó menos conocida sobre el Caos. Desde luego sin una definición formal no saldremos del atasco, pero como ya he dicho creo que no existe tal definición, y aunque puedo equivocarme, desde luego la que expuso nuestro amigo topo23 no lo es, eso es seguro. De acuerdo con esto ¿como podemos responder a la pregunta que inició el debate?, pues dificilmente sin una definición rigurosa de "comportamiento caótico", ya que nos pide una justificación de que el comportamiento de los conjuntos de Juliá es caótico. Observa que lo que primero le pregunté fue que nos aclarara que debíamos entender por "comportamiento caótico", sin que haya recibido respuesta mi solicitud; después topo y yo aventuramos cada uno una opinión propia, y esa es la que estamos debatiendo pero "justificar el comportamiento caótico" parece una tarea bastante complicada sin una definición formal de que cosa sea el Caos.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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Jabato
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« Respuesta #10 : 14/05/2009, 08:01:47 am »


Comportamiento caotico en los conjuntos de julia se refiere a que para dos puntos arbitrariamente cerca, mediante la aplicacion sucesiva de f se pueden encontrar puntos que esten alejados entre si tanto como sea posible.

La unica condicion es que sean no periodicos, la demostracion debe estar en el libro de Beardon mencionado en el apunte que indica el_manco.


Lo único que yo he dicho respecto a estas palabras tuyas son dos cosas, la primera es que no estoy de acuerdo con ellas, y eso lo dije en los mensajes siguientes al tuyo, y la segunda la he dicho en uno de los últimos mensajes de este debate y es que desde luego esas palabras no son una definición formal de comportamiento caótico, lo que me parece que es evidente, creo que mis dos afirmaciones son correctas, ya que ambas afirmaciones son ciertas:

1ª).- Que no estoy de acuerdo con esas palabras, es absolutamente cierto, y además es un privilegio mio decidir si estoy ó no de acuerdo con ellas.

2ª).- Que esas palabras no son una definicion formal, lo que resulta evidente y tu mismo me estás dando la razón.

entonces ... ¿cual es tu problema Topo? No entiendo tu actitud ciertamente agresiva, creo que en ningún momento te he faltado al respeto ni he menospreciado tus palabras, solo he dicho que no estoy de acuerdo con ellas, eso fué todo.

Saludos, Jabato. :¿eh?:
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« Respuesta #11 : 14/05/2009, 08:42:18 am »

Si quieres volvemos a empezar, pero antes debes leer lo que escribo y entenderlo, parece que me asignas a mi el defecto de no leer lo que escribes, pero si eso es así desde luego no soy el único.

1º.- Nunca he afirmado que hayas dado una definición, sino más bien todo lo contrario, precisament lo que he dicho es que no la has dado.

2º.- Nunca he pretendido citar a ningun autor en este debate, sino solo expresar mi opinión, solo eso, y eso queda claramente puesto de manifiesto en varios mensajes de este debate, la que doy es siempre mi opinión, unas veces respaldada por la de otros autores y otras veces, como es el caso, sin ningun respaldo ni cita alguna, a pelo, ¿es que eso supone alguna clase de pecado que yo desconozca?.

3º.- No pretendo, ni lo he pretendido nunca, imponer mi opinión, solo pretendo darla, y desde luego tratar de defenderla con los argumentos que me parecen más adecuados al caso, algo que es perfectamente lícito en un foro como éste.

4º.- Mi único objetivo es tratar de clarificar el concepto de comportamiento caótico, que es lo que se pide al inicio del debate.

Etc, etc, etc.

Sigo sin entender tu actitud. Pero bueno, ¿puedes decirme en que te he ofendido? Si no estás dispuesto a debatir una idea no lo hagas, nadie te obliga, pero deja que los demás opinemos libremente, es lo minimo, ¿no te parece?

Jabato.
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« Respuesta #12 : 14/05/2009, 11:50:27 am »

Bueno, para que insistir, lo que tu digas topo, no tengo ningún interés en discutir contigo lo que dije ó dejé de decir, no es el objetivo de este debate y me da lo mismo lo que opines en una tontería como esa, pero desde luego tu explicación de lo que debemos considerar comportamiento caótico en el conjunto de Juliá es una explicación carente de sentido y fuera de toda lógica, no sé lo que dice el libro al que haces referencia, pero si sé lo que tu dijiste, y te puedo asegurar que el comportamiento caótico, no es eso, ni en el conjunto e Juliá ni en ningún otro sitio. Revisa otra vez ese libro a ver si se te ha pasado algo por alto, yo diría que si.

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #13 : 14/05/2009, 04:10:54 pm »

¿Y como te parece que se pueda justificar el comportamiento caotico de un fractal sin saber que cosa es el comportamiento caótico? Tendremos primero que clarificar que debe entenderse por comportamiento caótico y después tratar de dar la justificación adecuada. Yo ya di mi opinión y tu distes la tuya sobre como debemos hacerlo y desde entonces no haces más que argumentar contra mi y no se cuantas cosas más, aparte de algunas acusaciones bastante ofensivas por las que entiendo que deberías disculparte, cosa que aún no has hecho. Y además, si lo que dijiste es la forma en que, según tu opinión, debe hacerse dicha justificación tampoco estoy de acuerdo con eso, ya te expliqué porqué, e incluso te puse algún ejemplo.

Jabato.
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« Respuesta #14 : 14/05/2009, 05:05:37 pm »

Basicamente, lo que ocurre cuando un sistema dinámico se comporta de forma caótica es que la evolución del mismo no depende del estado en el que se encuentra en un momento dado, ó dicho de otra forma, cuando partiendo de un mismo estado pueden producirse distintas formas de evolucionar, es algo así como si el principio de causalidad dejara de cumplirse bajo ciertas condiciones.

Un ejemplo sencillo podría ser el siguiente. Supongamos una barra rígida puesta de pie en posición vertical sobre un suelo rígido también apoyándose sobre uno de sus extremos. Si dejamos libre la barra observamos que esta se cae, pero si repetimos el experimento un número grande de veces veremos que la barra cae cada vez en una dirección determinada sin que aparentemente exista una causa. Ocurre que el sistema en ese estado se comporta de forma caótica, es decir, de forma impredecible puesto que su evolución va a depender de un número muy grande de parámetros que no podemos controlar, y que en gran medida son aleatorios. Por mucho que afinemos el experimento, y determinemos de forma precisa la posición vertical de la barra y las condiciones del punto de apoyo, cada vez que realicemos la prueba veremos que la barra cae, pero será imposible predecir hacia que lado va a caer, cada vez lo hará en una determinada dirección sin que podamos establecer la causa que provocó dicha evolución. Este es un fenómeno impredecible, y por lo tanto caótico.

Es fácil reconocer que en sistemas físicos puedan observarse estos comportamientos, ya que es muy difícil, por no decir imposible, determinar de forma exhaustiva todos los parámetros que afectan a la evolución de un sistema físico. Lo que verdaderamente resulta sorprendente de todo este asunto es que es posible reproducir este tipo de comportamientos en sistemas ideales, matemáticos, para los que las condiciones iniciales estan prefijadas de forma absolutamente precisa, y sin embargo el fenómeno del caos sigue produciéndose de forma inexplicable, los fractales son un buen ejemplo de ello.

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« Respuesta #15 : 14/05/2009, 06:32:30 pm »


Los sistemas "dinamicos" dependen de un parametro t (que puede ser el tiempo), que los conjuntos de Julia carecen.


Incorrecto, el parámetro equivalente al tiempo en los conjuntos de Julia, y en general en los fractales, es el número de iteraciones.


Si realmente quieres seguir hablando de sistemas dinámicos y Caos creo que deberias abrir una discucion separada, pues se alejan completamente de lo que son los conjuntos de Julia a los que hacia referencia la pregunta inicial.


Incorrecto también, la pregunta inicial habla del comportamiento caótico, cierto que es en los conjuntos de Juliá, pero si te molestas en leer algo sobre geometría fractal verás que en ella no se habla de Caos, es más bien al revés, es en la teoría del Caos donde se habla de fractales, más concretamente se habla de atractores, observándose que en algunos casos los atractores presentan características fractales.

La pregunta inicial plantea la siguiente cuestión:

Considerando los conjuntos de Juliá como sistemas dinámicos (los fractales en general pueden interpretarse como sistemas dinámicos en los que se entiende que el parámetro es el número de iteraciones), justificar su comportamiento caótico. Esa es la forma en que yo entiendo el enunciado, así que el debate en mi opinión trata de Teoría del Caos y no de Geometría Fractal. No hay que confundir ambas cosas, son muy distintas.

Saludos, Jabato. :sonrisa_amplia:
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topo23
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« Respuesta #16 : 15/05/2009, 12:06:32 am »

Solo agrego esta definicion que encontre:

Cita
Like other chaotic systems (Peitgen 536), Julia sets exhibit (1) strong sensitivity to initial conditions (i.e., the orbits of nearby points in Jc rapidly spread over the set with successive iterations) and (2) strong mixing inasmuch as the orbits of even a short interval of adjacent points on the Julia Set will, with successive iterations, spread out to quickly cover the entire Julia set (Peitgen et al. 824).  The third expected criterion which defines chaotic behavior is periodicity, and this phenomenon is further described below.

http://www.mcgoodwin.net/julia/juliajewels.html

Cita
The characterization of the Julia set [texx]J_c[/texx] as all points z for which the collection of iterates [texx]\{f^n:n\in N\}[/texx] is not a normal family can be roughly interpreted as saying that the Julia set includes only those points exhibiting chaotic behavior. In particular, points whose orbit under f goes to infinity are omitted from [texx]J_c[/texx], as well as points whose orbit converges to a point.

http://planetmath.org/encyclopedia/SetDeJulia.html

Cita
For a dynamical system to be classified as chaotic, it must have the following properties: (*)
1. it must be sensitive to initial conditions,
2. it must be topologically mixing, and
3. its periodic orbits must be dense.
(*) Hasselblatt, Boris; Anatole Katok (2003). A First Course in Dynamics: With a Panorama of Recent Developments. Cambridge University Press. ISBN 0521587506.

http://en.wikipedia.org/wiki/Chaos_theory




http://planetmath.org/encyclopedia/ChaoticBehavior.html

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« Respuesta #17 : 15/05/2009, 03:45:34 pm »

Para "entender" que es lo que se considera habitualmente por comportamiento caótico de un fractal podemos realizar algunos experimentos sencillos con series iteradas en el campo real, yo ya los hice así que me limitaré a explicarlos y el que quiera experimentar pues que pruebe.

Tomemos una función cualquiera, [texx]f(x)[/texx], y establezcamos la serie iterada de la forma:

[texx]x_{n+1}=f(x_n)[/texx]

y representemos un gráfico en el que para cada valor inicial de [texx]x_0[/texx] se tome como abcisa dicho valor y como ordenadas todos los valores que adopta la serie itereada para ese valor de [texx]x_0[/texx]. Se observan así unos gráficos realmente curiosos en los que se ve claramente que para algunos valores de [texx]x_0[/texx] la serie acaba divergiendo, para otros converge y para otros la serie acaba teniendo un comportamiento cíclico, con periodos diversos que dependen del punto considerado, aunque dicho comportamiento no tiene porque manifestarse desde la primera iteración sino que la serie puede tender a un ciclo de forma gradual, digamos que en el límite el comportamiento será cíclico. Por supuesto que hay que saber elegir las funciones que reproducen los gáficos más espectaculares, pero con un poco de práctica no resulta dificil hacerlo.

Podemos hacer una interpretación simple y muy interesante de estos resultados si consideramos que cuando la serie diverge presenta un periodo 0 (realmente no presentará periodo, es solo un convenio) y cuando la serie converge presenta un periodo 1. De esta forma podemos considerar que el comportamiento es cíclico en todos los casos y que la única diferencia entre unos casos y otros es el valor del periodo (también se diferencian en la rapidez con que la serie se aproxima al comportamiento cíclico, pero este último dato resulta menos interesante).

Bueno pues el comportamiento caótico, cuando existe, se produce en torno a los puntos en que el periodo es extremadamente grande, digamos que el periodo es infinito, ya que en torno a esos puntos la gráfica se convierte en una nube de puntos que presenta una apariencia realmente caótica y si tratamos de realizar una predicción de cual será el valor obtenido en la siguiente iteración vemos que es habitualmente una ardua tarea de difícil pronóstico, realmente la serie iterada se comporta en esos casos de forma IMPREDECIBLE, tanto más impredecible cuanto más nos aproximamos a un punto de periodo infinito. Esos puntos son los que debemos considerar como puntos fractales, aquellos en que el periodo se hace enormemente grande y son estos puntos los que presentan el comportamiento caótico y no otros.

Basta ahora trasladar estos resultados al campo complejo, y más concretamente al conjunto de Julia, al de Mandelbrot ó al fractal que os dé la gana siempre que éste sea un fractal que se genere mediante una serie iterada, para ver con mucha claridad que es lo que habitualmente se entiende por "comportamiento caótico" de los fractales, cosa que tiene mucha relación con la Teoría del Caos y los sitemas dinámicos de parámetro discreto pero con algunos matices diferenciales que convierten el problema en un análisis muy interesante, sobretodo visto desde el punto de vista de la geometría fractal, ya que incluso este enfoque nos permite apuntar una posible definición de fractal como "lugar geométrico de los puntos en los que una serie iterada se comporta de forma caótica (cíclica de periodo muy grande, teóricamente infinito)".

Es una sencilla explicación, exenta de fórmulas y cálculos complicados, cierto, pero creo que con ella se entiende el concepto de una forma muy clara, ¿no?

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« Respuesta #18 : 15/05/2009, 03:53:01 pm »

Y ahora vendría la segunda parte, que es la de responder a la pregunta de como podríamos justificar que tal comportamiento se presenta en los conjuntos de Juliá. No tengo la respuesta pero yo diría que ahora parece menos complicado intentar buscar una justificación para demostrar la existencia de este comportamiento en dicho conjunto.

Si usamos la definición de conjunto de Julia de una función holomorfa:

Conjunto de Julia
De Wikipedia, la enciclopedia libre
 
Los conjuntos de Julia (así llamados por el matemático Gaston Julia) son una familia de conjuntos fractales, que se obtienen al estudiar el comportamiento de los números complejos al ser iterados por una función holomorfa, [texx]f(z)[/texx].

El conjunto de Julia de una función holomorfa [texx]f(z)[/texx] está constituido por aquellos puntos que bajo la iteración de [texx]f(z)[/texx] tienen un comportamiento 'caótico'. El conjunto se denota [texx]J(f)[/texx].

En el otro extremo se encuentra el conjunto de Fatou (en honor del matemático Pierre Fatou), que consiste de los puntos que tienen un comportamiento 'estable' al ser iterados. El conjunto de Fatou de una función holomorfa [texx]f(z)[/texx] se denota [texx]F(f)[/texx] y es el complemento de [texx]J(f)[/texx].


Si entendemos por comportamiento estable el de tender a una serie iterada cíclica de periodo finito, [texx]F(f)[/texx] y excluimos además los puntos de periodo nulo, es decir, aquellos para los que la serie diverge ya que dichos puntos no pertenecen al conjunto de Juliá por definición, el resultado es necesariamente [texx]J(f)[/texx] ya que no existen más posibilidades, lo que demuestra que efectivamente los conjuntos de Juliá tienen un comportamiento caótico (cíclico de periodo infinito). 

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« Respuesta #19 : 16/05/2009, 01:46:04 am »

Encontré un par de documentos muy interesantes que podrían facilitarnos la demostración que se anda buscando:

Este es verdaderamente interesante, y contiene una definición topológica de sistema dinámico caótico:

http://www.dma.fi.upm.es/docencia/segundociclo/sistdin/clase/3.sdcaoticos-06-07.pdf

y este otro completa con algunos conceptos elementales de sistemas dinámicos:

http://www.usp.edu.pe/~jc.gutierrez/IA_/Hopfield.pdf

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