¿Cuantas soluciones tiene la ecuación? (combinatoria)

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rulo44:
¿Cuantas soluciones tiene la ecuacion

[texx]x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 29,[/texx]

donde [texx]x_i[/texx], son enteros no negativos tales que

a) [texx]x_i > 1[/texx] para [texx]i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 [/texx]

b) [texx]x_1 \geq{} 1, x_2 \geq{} 2, x_3 \geq{} 3, x_4 \geq{} 4, x_5 \geq{} 5, x_6 \geq{} 6 [/texx]?

c) [texx]x_1 \leq{} 5 [/texx]?

d) [texx]x_1 < 8[/texx] y [texx]x_2 > 8[/texx] ?

el_manco:
Hola

 En general el número de soluciones enteras no negativas de la ecuación:

[texx] x_1+x_2+\ldots+x_n=m[/texx]

 es el número de combinaciones con repetición de [texx]n[/texx] elementos tomados de [texx]m[/texx] en [texx]m[/texx] (forma de repartir las [texx]m[/texx] unidades totales entre las [texx]n[/texx] variables):

[texx]\displaystyle\binom{m+n-1}{m}[/texx]

 Ahora ten en cuenta que tus problemas pueden reformularse así:

 a) Tomando [texx]y_i=x_i-2[/texx], número de soluciones enteras no negativas de la ecuación:

[texx] y_1+y_2+y_3+y_4+y_5+y_6=29-2\cdot 12[/texx]

 b) Tomando [texx]y_k=x_k-k[/texx], número de soluciones enteras no negativas de la ecuación:

[texx] y_1+y_2+y_3+y_4+y_5+y_6=29-1-2-3-4-5-6[/texx]

 c) Soluciones enteras no negativas de la ecuación:

[texx]x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 29,[/texx]

 menos soluciones enteras no negativas de la ecuación:

[texx]x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 29,[/texx]

[texx] con x_1\geq 6.[/texx]

 Continúa...

 d) Inténtalo...

Saludos.

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