Factoriales, potenciación, y series numéricas

[Licpolu]

Saludos, este es mi primer post en la comunidad. Soy un estudiante pre-universitario, y he terminado la educación secundaria el año pasado.

Siento quizás que no me explaye demasiado en mi presentación, pero desde hace dos años vengo trayendo esta inquietante duda.

El punto es el siguiente: Cierto día en clase de Álgebra estaba sentado muy aburrido... no tenía ganas de atender la clase. Lo que sí es verdad es que había una idea que rondaba por mi cabeza: "Los números cuadrados son muy difíciles de hallar cuando son grandes", pensaba en ese tiempo.

Fue cuando cogí el lapiz, el cuaderno, y decidí jugar con los números cuadrados. Los coloqué en columna (aquí los pondré en fila por comodidad) y fui buscando una razón para la sucesión de cuadrados, algo como lo siguiente:

0  1   4   9  16   25
  1  3   5   7    9 
    2   2   2   2

Para ese entonces yo aún no conocía la propiedad que dictaba que la suma de los números impares consecutivos tenían la forma de por lo que me pareció muy bonito encontrar el número como razón de segundo orden en la sucesión de cuadrados.

Mi objetivo de "alquimista" matemático era encontrar una manera no multiplicativa para elevar un número al cuadrado (ahora sé que es imposible no ligar lo uno con lo otro, pero no viene al caso), sin embargo me pareció divertido hacer sucesiones y empecé a hacerlo con las otras potencias:




0     1     8    27   64   125
   1     7    16    37   61
       6   12    18   24
           6    6    6




0   1      16    81      256      625
   1   15     65     175     369
    14   50     110     194
       36     60     84
           24    24


Intenté llegar a pero eran muchos números y cometía errores de suma y resta, por lo que tuve que hacerlo en excel. Para esta serie el último número era (Y si no me creen pueden comprobarlo ustedes mismos haciendo sucesiones).

Lo cierto es que llegué a tres conclusiones importantes

Primero:  Todas las potencias son realmente sumas como solía decirme mi profesor, y además pueden ser descritas como series numéricas.

Segundo: El número de sucesiones para llegar a una razón constante en cada potencia es igual al valor del exponente (cuenten las filas en los ejemplos de arriba).

Segundo: Se cumple que las razones para las potencias 2 ; 3 ; 4 y 5 la razón sería 2 ; 6 ; 24 y 120 respectivamente.

Yo cursaba el cuarto año de secundaria y me sentía bien filosofando con ésta curiosidad. Quería encontrar más cosas en esto. Lo que me llamaba la atención era la segunda conclusión a la que llegué, pero lo que no entendía era qué tenian de especial los números 2 ; 6 ; 24 y 120, las razones a las que había llegado desmenuzando las sucesiones de potencias.

Un par de días después le pregunté a una compañera que se había metido a una academia:

- Disculpa Meli, tú que estás en academia, ¿qué de especial tienen los números 2 ; 6 ; 24 y 120?
- Hmm.... a ver.... ¡Claro! Son los números factoriales.

...


Factoriales...

¡Factoriales! Me habían enseñado sobre ellos un año antes. Pero los había olvidado. ¡Me resulto en sobremanera increíble! ¡Me sentía Einstein al demostrar la teoría de la Relatividad General!

Estaba claro....

Para potencias al cuadrado: 2! = 2
Para potencias al cubo      : 3! = 6
Para potencias a la cuarta : 4! = 24
Para potencias a la quinta : 5! = 120

Era demasiado maravilloso. A mis quince años había logrado descubrir una de las tantas facetas de la belleza matemática. Estaba seguro que no era el primero en haber descubierto esta curiosidad, daba por hecho que eso seguramente se estudiaba en la universidad, o en alguna institución matemática.

Pero descubrirlo me fascinó.

Intenté seguir jugando con eso. Hice polinomios a raíz de eso, buscando propiedades o similitudes con algo aprendido quizás anteriormente.

En quinto de secundaria descubrí que hay una estrecha relación entre un polinomio de grado y el orden de una sucesión.

Pero buscando en internet no he encontrado algún postulado matemático o curiosidad sobre lo que descubrí aquella vez.

¿Podrían comentarme si saben de quizás algún matemático estudioso de las sucesiones numéricas que haya mostrado a la comunidad esta curiosidad? ¿Qué significado profundo, matemáticamente hablando tiene esta relación entre una sucesión numérica, la potenciación, y los números factoriales?

[el_manco]

Hola

 mmmm... te puede interesar este hilo:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=6543.0

 En general piensa que si tienes un polinomio de grado se cumple que:



 es un polinomio de grado .

 Además puedes comprobar (utiliza el binomio de Newton) que el coeficiente de mayor grado de es multiplicado por el coeficiente de mayor grado de

 Reptiendo el proceso veces, es decir,




 llegamos a un polinomio cuyo coeficiente de mayor grado es .

Saludos.

P.D. De todas formas es genial que llegues por ti mismo a esas conclusiones. ¡Bravo!.

[zonurb1]

Hola 

Yo tambien he andado por esos caminos , hay una relacion  interesante entre  la multiplicación y la suma  como entre la división y la resta,
y te sorprendería todo lo que se puede fallar, es algo así como, que la suma forma una especie de túneles , pero creo que se debe a que en el fondo  la suma  representa la dimensión  básica  de una potencia por ejemplo.

1     4     9      16    25
   3     5     7       9
      2      2     2
 
expresa lo mismo que



pues a medida que la multiplicación aumenta   la cantidad mínima que es 1 lo hace en dos dimensiones  y se suman entonces es 2

si fuera n^3 entonces la cantidad mínima lo hace  en tres dimensiones  siendo la dimensión 1 por 2  por  3  que es la nueva a  dimensión  entonces seria  6 y así sucesiva mente.

 Viene a representar de alguna forma .


=2=2
=2*3=6
=2*3*4=24


Yo creo personalmente que las formulas son el fruto de un razonamiento.

[Licpolu]

Encontrar personas que aprecien la gran hermosura de la matemática me llena de felicidad (matemáticamente hablando).

Realmente ambos aportes me han abierto aún mas los ojos y me fascina todo este mundo.

Y así es, me parece increíble conocer el máximo grado polinómico por medio del binomio de newton y fascinante relacionar el grado de un polinomio con dimensiones.

Es definitivamente deleitable toda esta catarsis entre los números y nuestras mentes.

Repito que empecé buscando una forma más fácil de hallar números cuadrados (sin tener que multiplicar por ejemplo para hallar ). Lo curioso es que al hacer esos descubrimientos a veces me desalentaba pensar que no me serviriían para nada, pero no fue así, una de las cosas que descubrí fue que:




Generalizando con otros cuadrados llegué a que:



¡Vaya! ¡Redescubrí la fórmula de diferencia de cuadrados!



Hasta el día de hoy esa propiedad me sirve para hallar más rápidamente los cuadrados de ciertos números de dos cifras, aprendiendo previamente algunos conocidos como

Interesante, ¿cierto? xD

[zonurb1]

Hola Licpolu

Recuerdo en este foro cuando llego una persona extraña a referirse a la matemáticas de un modo no habitual, en cierta forma como lo hacemos nosotros  después de una larga discusion,el susodicho salio del foro molesto ,infringió reglas del foro y finalmente fue expulsado y desde entonces como que se evita hablar con recién llegados al foro que hablen cosas raras.
La conclusión fue vienen a molestar y no contribuyen en nada , pero aveces las personas no vienen a molestar descubren una forma distinta de ver las cosas y encontrar de alguna forma experiencias similares o  creen haber descubierto algo importante ,y es licito creo yo se lees conteste para salir de dudas.

Como puedes ver ,hay quienes no creen tanto en la teoría matemática !están demás¡ ,hay otros como yo que la consideran fundamental,como tu señalas con desanimo " de que me servirá esto",bueno a mi me ha servido toda la vida, pues si no entendía algo ala primera en clases definitiva mente no entendía,y tenia que recurrir a hacer todo tipo de divagaciones teóricas hasta llegar finalmente a entender.tal cosa me permitia a su ves aodar en nuevas situaciones y proyectarme en problematicas nuevas.

Si de verdad te interesa todo este mundo, sigue ,tal vez puedas encontrar algo nuevo , pero tienes que aprender que no todo el mundo te va a contestar y no todos de buena manera (no es un jardín de rosas).
si te sirve de aliciente e encontrado varias  cosas como esta y no se si existen.
 la suma de  la formula es pequeña no la puedo poner aqui.

Por experiencia en los foros que he estado ,se que si lanzas una formula irrevatible aunque no sea una gran formula el silencio es abrumador ,si dices una tontería no tarda en ser contestada. 
 
Si la forma fueran las formulas y el fondo el camino para llegar a las fórmulas, entonces se aplica.

-  esta es una cuestion de forma y no de fondo . 

Hasta cierto punto es licito, las matemáticas son fórmulas. las teorías solo pueden ser aplicadas sino a través de fórmulas.

[el_manco]

Hola

 Me descolola un poco tu última intervención zonurb1.

Recuerdo en este foro cuando llego una persona extraña a referirse a la matemáticas de un modo no habitual, en cierta forma como lo hacemos nosotros  después de una larga discusion,el susodicho salio del foro molesto ,infringió reglas
del foro y finalmente fue expulsado y desde entonces como que se evita hablar con recién llegados al foro que hablen cosas raras.

No se ha expulsado a nadie del foro si no es por un muy, muy, muy, muy, muy, muy, muy, muy buen motivo. Yo diría que en general la paciencia de los que tienen la potestas de expulsar a alguien de aquí es proverbial.

La conclusión fue vienen a molestar y no contribuyen en nada , pero aveces las personas no vienen a molestar descubren una forma distinta de ver las cosas y encontrar de alguna forma experiencias similares o  creen haber descubierto algo importante ,y es licito creo yo se lees conteste para salir de dudas.

Es este foro se intenta contestar a casi todo lo que se puede. A veces no se contesta porque no se sabe. Otras por simple despiste. Otras porque no hay nada más que añadir a lo ya dicho.

En cuanto a las aproximaciones no standard a las matemáticas se intenta contestar en la medida que se entiende lo que se nos quiere decir; en otro caso, si no hay entendimiento, poco se pude hacer.

Por experiencia en los foros que he estado ,se que si lanzas una formula irrevatible aunque no sea una gran formula el silencio es abrumador ,si dices una tontería no tarda en ser contestada. 

 

Respecto a esto, es genial que uno obtenga fórmulas, relaciones, por uno mismo; que uno investigue: ¡bravo! así es como se aprende. Ahora muchas veces los resultados obtenidos son fórmulas correctas, pero desde un punto de vista matemático "profesional", irrelevantes, es decir ya conocidas o esencialmente "triviales". Esto no quita mérito al hallazgo, pero es que muchas veces no cabe más que decir al respecto que: si, está bien. Entiendo el entusiasmo del que ha alcanzado el logro, pero insisto, emotividad aparte, puede que el descubrimiento sea algo conocido de sobra o poco interesante.

En fin, insito zonrub1 que no sé muy bien que quisiste decir con tu último post. Pero me pareció oportuno puntualizar estas cosas. Sea como sea (por si hay duda) tus intervenciones han sido, son y serán siempre muy bienvenidas.

En cuanto a Licpolu, insisto en que me parece genial que haya llegado a todo eso por si mismo, pero con las referencias dadas simplemente quiero hacer ver que lo que el ha investigado es parte de una teoría conocida (sucesiones polinómicas, ecuaciones en diferencias y puede haber otros puntos de vista).

Saludos.

[Fernando Revilla]

Zoburn1: estás total, absoluta y radicalmente equivocado en tu pensamiento acerca de la filosofía de este foro. Para muestra basta un botón:

En general a mi no me interesa la formación de cada uno. Me interesan los argumentos matemáticos que se pongan sobre la mesa. No son más o menos ciertos porque los diga Euler o el panadero de la esquina. Su veracidad matemática ha de ser simplemente discutida dentro de las matemáticas. (Cita de el_manco en el hilo Euler)

1.- Añado que en esa cita está resumido lo que debe ser una condición necesaria para todo debate científico: la ausencia del principio de autoridad. Esta última se debe reflejar en el propio debate, y no en forma a priori. En el hilo donde está extraída dicha cita, el moderador mencionado muestra una paciencia infinita incluso después de haber sido insultado.

2.- Cualquier intento honesto de investigación matemática por parte de una persona es ya digna de elogio independientemente del resultado de la investigación, incluso si se hubiera llegado a un resultado falso.

3.- La mejor prueba de respeto hacia una persona es darle un veredicto sincero del resultado de su investigación, la felicitación ya la tiene ganada de acuerdo al punto 2.-.

4.- Date por seguro que si alguien ha sido expulsado de este foro ha sido mucho después de haberse significado no por el contenido matemático de sus mensajes, sino por sus insultos, su mala educación, su prepotencia, no seguir las reglas del foro, etc.

Saludos.   

[zonurb1]

Hola.

Yo general mente cuando soy insultado de alguna forma  directa o indirectamente evito contestar,para no caer en el juego.
Sobre el caso expuesto se que no es culpa del foro,también se que el error es del forero recién llegado, pues tomo represalias excesivas con su conducta posterior que atentaban contra el foro mismo y desde luego debía ser expulsado.

 Cuando me refiero a la ausencia de opiniones  ante  una fórmula trivial o no  trivial,me refiero a  los sujetos que son parte de un foro ,no alas políticas de un foro, que por lo demás, no viene al caso pues son  mis experiencias, que no tienen que ver con este foro en particular.

Tu EL- manco , que decir siempre una persona muy correcta, al igual que Phidias.

Si alguien me dice que retire lo expuesto lo retiro

 Repito ,en general el foro me parece excelente , he tenido dudas y me las han contestado y estoy muy agradecido.

[Fernando Revilla]

Si alguien me dice que retire lo expuesto lo retiro

En absoluto, encantado de compartir ideas contigo y con los demás amigos del foro.

Saludos.

[Licpolu]

como tu señalas con desanimo " de que me servirá esto",bueno a mi me ha servido toda la vida

Señalaba en un principio, hace mucho tiempo, ya no. Además, al pensar eso, lo hacía un poco deprimido, pensando que me sería difícil llegar a un descubrimiento que satisfazca mis deseos de saber.

El_manco, sé bien que mis descubrimientos juveniles obviamente habrían sido perfectamente encontrados antes, soy conciente de que puedan no ser tan sorprendentes para los de experiencia en el tema, pero lo único que he querido hacer con este hilo era compartir estos hallazgos quizás infantiles, pero que visto de un punto de vista netamente matemático, podemos deleitarnos con la hermosura de las relaciones entre los números.

Estaba seguro que no era el primero en haber descubierto esta curiosidad, daba por hecho que eso seguramente se estudiaba en la universidad, o en alguna institución matemática.

Independientemente de la pequeña polémica, suscitada aquí, me sería gratificante no desvirtuar el tema del hilo, y continuar adelante con las proposiciones matemáticas ya mencionadas.

Saludos 

[zonurb1]

Hola Licpolu

 Respecto a tu trabajo ,me parece interesante, es interesante el planteamiento en general ,porque apunta a la relación entre la suma y la multiplicación
 Para mi  esta esta relación es como la de un edificio lo podemos ver y comceptualizar como tal pero es una estructura formada de  otros componente ladrillos ,vidrios etc.Cada uno de estos componentes da forma a su estructura general
 
  A mi entender las operaciones  básicas(suma resta ,división y multiplicación  )forman parte de la estructura básica de las matemáticas en general .Son por decirlo así , algo que no se pude alterar,  todo cuanto se quiera averiguar o alterar pasara por respetar el orden que estas operaciones permitan.

Si tienes
 es una relación que es así porque estas operaciones lo permiten

En mi búsqueda  por saber que papel desempeñan  las operaciones básicas y porque, la suma y resta  son solo  aplicables a una dimensión por decirlo así ,no así la multiplicación , aplicable a . bueno esto parece obvio,pero cuando uno intenta hacer algo distinto termina convirtiendo multiplicación en suma y tal cosa no es posible .

 Hay una infinidad de problemáticas en matemáticas , pero según yo ninguno puede ni debe escapar a esta estructura básica porque en el fondo es una problemática de espacio
 Una de estas problemáticas  con que me encontré es si (Teorema de Fermat no se si enfocado del mismo modo)  de esta relación se desprende que

equivale  a
 desde donde deduje que al tener un   , el tro  tendría que ser 2x+1  ,   buscado
  Y de acuerdo a la gráfica y tomando como modelo     

 De ahí extraje la siguiente relación 9 no lo consideramos porque es un cuadrado  , pero como la formula x=3  entonces 3 debe ser reemplazado en 2x+1 
  quedando
9+2.3+1=7
   2.3 +1=7
         +2=2
            =16
   Si lo tomo como modelo queda 4+4x, entonces todo numero descompuesto por 4+4x daría el   buscado
ejemplo

  36-4/4=8   entonces     

hay números que no responden como    pues 25-4/4=5.25

entonces hago lo siguiente 5 se multiplica por 2 =10  y =100-4/4=24 

24/2 =12 y este si es el numero buscado 
 todos responden  pero menos el numero 37  aun no se por que. .
 .

Pero al meterme en el mundo de los cubos , si  bien  se ajusta a tendencia del triangulo de Pascal.
 que etaria determinado de la siguiente forma




 Extraer una formula que me permita extraer los que permitan la suma  , se presenta la suigente dificultad
 Como en el caso anterior  ,buscarse igual a  cosa creo no es posible , porque un no puedes ser reemplazado por un ,porque un cubo no puede ser la raíz de un cubo,y ser un cuadrado a la vez de un numero inferior . . asu vezpero entonces  8 en ningun caso seria no hay secuencia .que si ocurre   que pueden ocupar el lugar de  

por ejemplo=
 
  entonces no sera igual a 

de la suma, nunca permitirá una igualdad con

De ser posible obliga que un cubo sea igual a un cuadrado o reenplasable  , cosa que  me párese imposible

cosa diferente sucede entre y un x cualquiera , esto porque un x cuadrado   esta formado de un x  y di siversa .
según el triangulo de pascal  la suma de
serian
tampoco es posible pues el    nuevamente  provoca la misma situación.

 
No si pueda estar equivocado pero no logro ver una salida .

[zonurb1]

Continuo con mi exposición.

En la siguiente gráfica expongo ,lo que creo yo es el recorrido de

me quedo grade pero es para poder ver los números
En el se puede apreciar los números que van en diagonal los pares en verde y los impares en negro.
 Si bien es cierto que en    ,cual quier x puede sumarse a un y ,par o no par, y que también pude ser al azar, cosa que yo no creo pues las progresiones  tienden a tener un ritmo de crecimiento por lo tanto un orden.

Al analizar el ritmo de crecimiento de los números impares ,esta era una suma  de 1+2+3+4 etc pero cada numero a su vez multiplicado por 4. lo que se ajusta a la siguiente expresión .



Entonces esta expresión sirve para  allar  los x impares(modificada)
 después me quedaba la interrogante existe algún limite para una combinación ,era posible que por ejemplo    se pudiera combinar con cualquier número  y si era posible .¿cuales serian? . x= 1 asta  x=14 era posible pero desde x=15 no era posible  porque   porque es inferior a 114^2  entonces el limite para 15 era 112   y para números mayores a x=15  se da la misma circunstancias.

Bajo el numero x=15  solo queda esperar que para que x sea entero x a de ser divisible por otro numero entero , como por ejemplo  entonces multiplicamos por 3  quedando queda que no es el limite para x=15  si no 
de lo expuesto puedo extraer las  siguientes formulas.


Para allar los impares(recordando que es y el valor a buscar)


y=-*4

para pares

y=


En el triángulo formado debajo de la diagonal  van quedado todos los números múltiplos de los números que van en la diagonal  y estos se consiguen multiplicando por ejemplo*3  da lo puse en rojo en la gráfica  el caso contrario
no lo expuse porque no es factible 12 si se divide pero 5 no
Yo creo que todo esto va encadenado con el triángulo de Pascal , binomio de Newton,los logaritmos ,Teorema de Fermant .y que lo trivial depende, aveces lo trivial es parte de un todo mayor.

interesante

[Licpolu]

Sip, zonurb... ¡muy interesante!  Me gusta mucho el tema de la obtención de números de la forma:


Por estar tan estrechamente vinculado con los números pitagóricos y los triángulos rectángulos.

Por eso amo a la matemática.

Pero estoy en desacuerdo con que la multiplicacion no se pueda convertir en una suma.

Creo que la multiplicación es una suma desarrollada repetidas veces (definición básica).

Pero lógicamente si la potenciación es una multiplicación, y la multiplicación es una suma, entonces la potenciación puede ser interpretada con una suma, y creo que me lo he demostrado al menos, a mí mismo.

Obviamente no se puede usar este método para todo (como por ejemplo para la potenciación con exponentes negativos) pero se puede dar una interpretación colateral.

Quiero decir con esto, además, que por ejemplo, es difiícil concebir a la división como una suma/resta, pero si se la puede concebir como una "involución" de lo que es la multiplicación.

Pues, la resta, no es más que una suma con al menos un número negativo:




Y la división, es una multiplicación con al menos un número elevado al negativo de la unidad:



Esto nos puede llevar a pensar que la relación entre la multiplicación y la división está dada por la inversa geométrica de un número, al igual que la resta está relacionada con la inversa aritmética de un número.

En cualquier caso, en lo que estoy de acuerdo es que la multiplicación lleva a los números a otra dimensión operativa, pero hay que reconocer que esa "nueva dimensión" sienta sus bases en la suma o la repetición de sumas:


Del mismo modo sucede con la potenciación, que viene a ser una multiplicación o la repetición de multiplicaciones:



Sin embargo, efectivamente como dices, la multiplicación tiene sus propias leyes.

Lo interpretaré, en conclusión como que la suma tiene sus leyes, y al formar la multiplicación, ésta última crea sus propias nuevas leyes.

Es como si la suma fuera "la madre" de la multiplicación. Son diferentes, pero uno se origina del otro, y guarda rasgos "genéticos" que los relacionan 

[zonurb1]

Hola Licpolu.

Lo que sucede es que yo veo las cosas desde una perspectiva un poco  distinta y tengo mis aprehensiones respecto a varias cosas .
A menudo cuando  leo cosa sobre matemáticas  me  encuentro con perspectivas distintas de lo que son las matemáticas, para algunos no existe un universo matemático paralelo al nuestro ,para otro son una herramienta nacida  de la necesidad en los albores de la humanidad .
.Preguntas como ¿cual el en comienzo y fin ,en el universo real ,donde cero seria nuestro punto de inicio ?.Si bien los números negativos y el cero se pueden aplicar a muchas cosas, no dejan de ser ,esas aplicaciones, una visión egocéntrica,

-cero grados  centígrados ,punto de congelación del agua .

Los números negativos son muy útiles, vivir sin ellos seria como vivir en una ciudad sin calles,recordando que las calles no les sirven ni a los peces ni a la avez.
Es por ellos que prefiero tomar como base matemática la geometría euclidiana.y su concepto de espacio  como piedra angular.
 Lo que dice relación con la suma y la multiplicación ,tal relación la consivo como una relación de espacio, cada cuadrado es para mi una unidad  ¿porque cuadrado?
-si pudiera fijar un punto en el espacio real,como seria tal punto,¿redondo, triangular?.No podría fijar nada en el espacio real sin que tuviera un alto y un ancho,por muy pequeño que fuera ,así la linea no podría ser parte del universo real. Por tal motivo asumo como base lógica para construir  las matemáticas , un cuadrado,este cuadrado podría ser infinitamente pequeño o infinitamente grande,

Si sumo 5 cuadrados ,tengo 5  si multiplico 5x5 obtengo 25,ahora bien ,puedo sumar uno por uno 25 veces ,esto seria una suma

Pero el problema es el siguiente,y por ello recalco que para mi los números siguen siendo una cuestión de espacio,y  la realidad ultima de  las matemática tendría que  pasar por la noción de espacio euclidiano , el espacio impone y actúa como la ultima  estructura por la cual todo proceso matemático tiene que ser validado  de  lo contrario el  proceso matemático invalidaría nuestra noción de espacio.(dejo fuera la noción de conjunto ,y combinatoria )

Y porque digo esto porque  por ejemplo sumar para mi es  representar una dimensión ,¿como se puede representar una dimensión ?,a través de una hilera ,agregando,sumando
.también es licito que alguien diga  bueno 5*5 =25 y lo pongo en una hilera  y obtengo una dimensión si, pero no puedes representar la noción de una dimensión y de dos dimensiones usando el mismo numero o signo, es una cuestión de lenguaje .
Entonces 5 o 1+1+1+1+1=5 sera igual a una dimensión y 5*5 =25 a dos dimensiones o área. aquí hay una cuestión practica, porque si te trasladas a al espacio real construyes 1 cuadrado de cemento de 1*1 y te preguntas cuantos necesitaras para construir uno mayor que tenga un lado de 5 ...
¿ porque el cuadrado de cemento ordenado en en 5*5 =25 calza en el espacio real ?.

 En definitiva la multiplicación viene a ser una herramienta predictiva de gran alcance, no así la suma.aunque claro no existe multiplicación sin suma .
Cuando me refiero a leyes y hago mención a la relación entre multiplicación y suma ,por ejemplo si se desea obtener un cuadrado a través de otro cuadrado,este nuevo cuadrado tiene un crecimiento bidimensional que depende de su forma ,y por lo tanto la multiplicación determinara su forma.