Axiomas de la Teoría de Conjuntos

<< < (2/11) > >>

argentinator:
ZFC MK MK ;)  NBG

Teoría de Conjuntos NBG (Neumann-Bernays-Gödel)

Para completar la lista de sistemas estándar que establecen la teoría de conjuntos, listamos a continuación los Axiomas del sistema NBG, de von Neumann-Bernays-Gödel.

Al igual que en MK, se definen conjuntos como toda aquella clase que pertenece a alguna otra clase.
Se llaman clases propias a aquellas clases que no son conjuntos.
También se usa la convención de que las letras mayúsculas representan clases cualesquiera, mientras que las letras minúsculas denotan clases que son conjuntos.

Esta es la lista de Axiomas NBG:


Axioma de Extensión. Dos clases son iguales si a ambas pertenecen los mismos elementos.
Axioma de Intersección. Dadas dos clases cualesquiera, existe la clase de todos los elementos que pertenecen al mismo tiempo a ambas clases, que es su intersección.
La intersección de las clases e se denota .
Axioma de Complemento. Dada una clase cualquiera , existe la clase complemento , formada por todos aquellos conjuntos que no pertenecen a .
Se denota .
Axioma del Par. Para cualesquiera clases que también son conjuntos, existe la clase , tal que si y sólo si ó . Además es un conjunto, y se denota .
A partir de aquí tiene sentido definir el par ordenado de dos conjuntos , de la forma típica:



Esta definición satisface la propiedad de par ordenado: .
Axioma de Pertenencia. Existe la clase formada por todos los pares ordenados , de conjuntos tales que .
En símbolos:


Axioma del Dominio de una Relación. Dada una clase formada por pares ordenados de conjuntos , se puede formar una clase que contiene a todas las primeras componentes de dichos pares ordenados.
En símbolos, esto se escribe así:

Aquí no se dice de entrada que la clase está formada sólo por pares ordenados, sino que en realidad se toma una clase arbitraria , y se consideran todos los posibles pares ordenados que son elementos de .
Axioma del Producto Cartesiano. Dada una clase , se puede formar la clase que contiene todos los pares ordenados de conjuntos , donde es un elemento de , e es cualquier conjunto. En símbolos, está dicho así:


Al parecer, está definiendo una clase que contiene algo así como el "producto cartesiano" de por la "clase universal".
A partir de ahí, por medio de subclases, tendría sentido hablar del "producto cartesiano" de dos clases específicas , bastando para ello restringir las segundas componentes de los pares .
No obstante, aún no hemos probado que existe dichas clase universal o las subclases, etc.
Axioma de Relación Inversa. Dada una clase formada por pares ordenados de conjuntos , se puede formar la clase con los pares en orden invertido .
El enunciado preciso es semejante el Axioma del Dominio, en que no se supone que la clase de partida esté formada exclusivamente por pares ordenados, sino que se extraen de ella los elementos que son pares ordenados.
Axioma de Permutación de Ternas Ordenadas (1ra forma). Dada una clase formada por ternas ordenadas de conjuntos , se puede formar la clase de las correspondientes ternas permutadas .
Los detalles y aclaraciones son similares a lo dicho en el Axioma de Relación Inversa.
Axioma de Permutación de Ternas Ordenadas (2da forma). Dada una clase formada por ternas ordenadas de conjuntos , se puede formar la clase de las correspondientes ternas permutadas .
Los detalles y aclaraciones son similares a lo dicho en el Axioma de Relación Inversa.
Axioma del conjunto vacío. Existe una clase tal que para toda clase que también es conjunto ocurre que .
Además, la clase vacía es un conjunto, el conjunto vacío.
Axioma de la Unión. Para toda clase que también sea conjunto, existe la clase , formada por todos aquellos elementos tales que existe un tal que . Además, la clase es un conjunto.
Axioma de Reemplazo. Si es un conjunto, y es una clase "funcional", existe un conjunto , tal que siempre y cuando exista algún de manera que el par .
Lo que estamos diciendo es que la clase está formada por pares ordenados, que a su vez tienen la propiedad de unicidad de la imagen, es decir, si entonces .
Por lo tanto es una "función". No nos animamos a decirlo directamente, porque aún la teoría está en "formación", y el término "función" debe tener mayores precisiones.
Finalmente, el Axioma define la "imagen" que se obtiene al aplicar la "función" al "dominio" .
Más aún, dicha "imagen" es un conjunto.
Axioma del Conjunto Potencia. Dado un conjunto , existe el conjunto formado por todos los subconjuntos de , y se denota .
Axioma de Regularidad. Si es un conjunto no vacío, entonces existe un elemento tal que .
Axioma de Infinitud. En NBG existe un conjunto que contiene como elementos a los conjuntos etcétera.
Formalmente: , y .
La idea es introducir un conjunto infinito.
También puede hacerse admitiendo la existencia de una función biyectiva con una parte propia de algún conjunto no vacío.
Axioma de elección. Sea una clase que es un conjunto. Supongamos que además es una familia de conjuntos. Entonces existe una función de elección , que a cada elemento no vacío de la familia le asigna un elemento de .

Esta lista tiene una apariencia diferente a ZFC y MK.

argentinator:
ZFC MK MK ;)  NBG

Es importante destacar las relaciones entre los tres sistemas.

Podemos imaginarnos que ZFC es una "subteoría" de NBG, y asimismo que NBG es una "subteoría" de MK.

¿Qué diferencia hay entre los "objetos" de los que se habla en cada teoría?
Primero voy a dar una respuesta infantil, y después doy la versión más técnica.

Podríamos pensar algo como esto:

Todo objeto que está en ZFC es un conjunto.
Los conjuntos que "están" en ZFC,NBG y MK son los "mismos".
En NBG y MK hay clases propias que, por definición, no son conjuntos.Toda clase propia que "está" en NBG también "está" en MK.
Algunas clases propias que "están" en MK no "están" en NBG.

¿Por qué esa respuesta es "infantil?
Bueno, acá habría que entrar en ciertos detalles que me gustaría obviar sobre los Fundamentos de la Matemática, en los que aparecen Modelos asociados a teorías axiomáticas de conjuntos.

Intentaré explicar la situación sin entrar en tecnicismo alguno, mediante una analogía geométrica.
Imaginemos el concepto de "superficie curva bidimensional".
Podemos definir axiomáticamente lo que significa ser una superficie curva bidimensional, y demostrar diversos hechos sobre ella, como por ejemplo: que en cada punto tiene un plano tangente, o dar fórmulas para ciertas áreas o ángulos entre curvas sobre la superficie, etc.
Pero, dado una geodésica sobre la superficie, y un punto externo a ella, no podríamos asegurar si por dicho punto pasa una sola "paralela" a la geodésica dada.

Esto depende de cada superficie curva que tomemos como ejemplo.

Acá, decir "ejemplo" viene a ser sinónimo de "tomar un modelo específico en el que los axiomas de superficie curva se cumplen".
Hay propiedades que son particulares al ejemplo/modelo que se elija, y otras propiedades que son generales, pues valen para cualquier caso (en este caso, para toda superficie).

En la Teoría de Conjuntos pasa lo mismo.
Una lista de axiomas, como la de NBG, es una formulación axiomática abstracta, y luego habría que considerar diversos modelos que satisfacen (o no) esos axiomas.
Por ejemplo, hay modelos en donde vale la Hipótesis Generalizada del Continuo y modelos en los que no.

La cosa se complica si ahora estudiamos varios sistemas axiomáticos distintos al mismo tiempo: ZFC, NBG y MK. Hay "modelos" que servirán de "ejemplos" para unas teorías, y para otras no.

La relación entre las teorías dadas es la siguiente.

Dado un modelo que satisface los axiomas de ZFC, es posible ampliarlo agregándole clases propias, resultando un modelo que también satisface los axiomas de NBG.
Esta ampliación es necesaria porque en ningún modelo de ZFC hay clases propias, mientras que en NBG siempre tenemos al menos una clase propia: la universal.
Todo modelo que satisface los axiomas de MK también satisface los axiomas de NBG.
Sin embargo la recíproca no es cierta en general.
Todo teorema que se puede demostrar en ZFC, también se puede demostrar en NBG y en MK.
Lo recíproco no siempre se cumple.
Todo teorema que se puede demosrtar en NBG, también se puede demostrar en MK.
La recíproca no siempre se cumple.

En MK teníamos el Axioma de Formación de Clases.
En NBG no se tiene ese axioma, pero tenemos el siguiente teorema, que sirve al mismo propósito:

Teorema de Formación de Clases: Sea dada una propiedad aplicable a objetos de la teoría NBG.  Existe la clase de todos los tal que es un conjunto y es verdadera. Dicha clase se denota: . (Hay un detalle técnico que aclaramos abajo).

Lo enunciamos porque es un resultado importante.
Omito los detalles de la demostración, pues requieren que uno se inmiscuya en cuestiones más específicas de la teoría de lenguajes de primer orden, que por ahora deseo evitar.

Hay sutilezas técnicas que no se ven a simple vista.
Una de ellas se refiere al tipo de fórmulas del lenguaje de primer orden que pueden utilizarse en el Teorema de Formación de Clases.
En NBG, las variables cuantificadas que aparezcan en la fórmula, tienen que referirse sólo a conjuntos, mientras que en MK no existe dicha restricción.

Si bien esto no agrega ni resta nada a la capacidad de construir o definir conjuntos, tendrá consecuencias en aspectos sutiles de la teoría: aparición de algunas nuevas clases propias en MK, o bien la posibilidad de demostrar teoremas sobre conjuntos en MK que en NBG o en ZFC no es posible demostrar.

Otro aspecto técnico es el siguiente:

Las teorías de conjuntos no pueden demostrar su propia consistencia, debido a que entran dentro del llamado Teorema de Gödel. Por lo tanto, siempre hay que "suponer" que tal o cual teoría es consistente (no contradictoria), y estudiar en todo caso la "consistencia relativa" entre sistemas, o sea: si suponemos que una teoría axiomática T1 es consistente podemos demostrar que otra teoría T2 también lo es.

Se puede decir, en tal sentido, que NBG tiene el mismo "riesgo de inconsistencia" que ZFC, vale decir, ambas teorías son igual de "consistentes", o bien la consistencia de una implica la de la otra.
Esto es llamativo, pues NBG tiene un universo de discurso más amplio que ZFC, ya que agrega clases propias.

Sin embargo, MK tiene un "riesgo de inconsistencia" estrictamente mayor que las otras dos teorías.
Esto echaría por tierra las recomendaciones que hice en el post anterior, en que sugería usar esta teoría para el trabajo cotidiano de la matemática.
El poder demostrativo de MK es mayor.

Es importante no enunciar teorías con demasiado "poder" porque caeríamos en el error de Frege, cuyo resultado fue una teoría profunda y audaz, pero lamentablemente inconsistente.

Tanto en NBG como en MK, el Axioma/Teorema de Formación de Clases es lo que simplifica la teoría, pues a partir de allí puede desarrollarse con gran comodidad el cálculo de clases. Luego, aclarar qué clases son o no conjuntos, es más fácil de indicar o visualizar.

Por ahora no entraré en más detalles sobre todo esto.



Anexo: Comentario hecho por Carlos Ivorra ((Correcciones varias))

Pese a su parecido con MK, la teoría NBG no es equivalente a ella, sino a ZFC y la diferencia en la Propiedad de Formación de Clases es precisamente lo que hay que quitarle a  MK para que resulte equivalente a  ZFC. La equivalencia consiste en que se puede demostrar que toda afirmación que haga referencia únicamente a conjuntos (sin mencionar clases propias) puede demostrarse en  ZFC si y sólo si puede demostrarse en  NBG, mientras que existen afirmaciones sobre conjuntos (sobre números naturales, incluso) que pueden demostrarse en  MK y, por el contrario, no pueden probarse en  NBG (supuesto que sea consistente).

héctor manuel:
Muy a grandes rasgos, sabemos que un sistema axiomático debe tener, entre otras cosas, los llamados términos indefinidos y relaciones indefinidas.  Por ejemplo, en la geometría neutral, Hilbert mantiene como términos indefinidos a punto, recta y plano, y entre los tres aximas de incidencia, usa como relación indefinida la relación "el punto A incide con la recta L", que intuitivamente entendemos como "el punto A está sobre la recta L", aunque repito, la relación de incidencia, o de orden cuando se dan los axiomas de orden en esa misma geometrìa, son relaciones indefinidas entre los objetos del sistema.

Como MK, lo que sucede es:  Los términos indefinidos serán llamadas clases, mientras que la relación indefinida será la relación de pertenencia denotada por . Así, el símbolo significa "la clase pertenece a la clase "

Diremos que la clase es un conjunto si y solo si existe una clase tal que .  A la clase que no contiene ninguna otra clase se le llama clase nula, denotada por .

Poco a poco, esta teoría enlista cerca de 11 axiomas que permiten establecer la teoria de conjuntos, y evita así la aparición de paradojas.

argentinator:
ZFC MK MK ;)  NBG

Investigando un poco en la axiomática MK, que al parecer es una versión algo simplificada de la NBG, me doy cuenta que el conjunto vacío aparece tanto como una definición como en un axioma.
Si nos fijamos, pareciera que la clase vacía es algo que puede definirse sin más herramienta que el Axioma de Formación de Clases.
Pero después necesitamos establecer que dicha clase vacía es, en verdad, un conjunto.
Para eso se agrega el axioma del vacío.

Sin embargo, en dicho axioma del vacío, se vuelve a definir lo que significa conjunto vacío, y de una manera distinta a la clase vacía.
Ese axioma establece la existencia de una clase que no contiene elementos, y que a su vez, se decreta que es un conjunto.

Da la casualidad que la clase vacía coincide con esta clase sin elementos, debido al Axioma de Extensión.
Y en ese caso, como la clase sin elementos es un conjunto, la clase vacía es también un conjunto.
Y ambas cosas son lo mismo, y todos felices.

Sutilezas como esa aparecen en los axiomas de MK, y hay que andarse con cuidado.

Otro ejemplo es el Axioma de la Unión.
El Axioma sólo permite definir la unión para una familia de conjuntos pertenecientes a un gran conjunto dado.
El resultado es, claro, un conjunto.

Pero ese no es el problema. ¿Qué pasa si pretendo definir la unión de los elementos de una clase?
Si pudiera, muy posiblemente el resultado de la operación no sería un conjunto...
Pero antes de hacer la operación tengo que estar autorizado a hacerla. ¿Puedo?
El Axioma de la Unión no me dice nada acerca del operador de Unión definido sobre clases que no sean conjuntos.
Sin embargo, se puede definir la clase ''unión'' usando el Axioma de Formación de Clases.
Luego, ambos operadores de unión, en principio serían diferentes.
Sin embargo, cuando aplico sendos operadores de unión a conjuntos, la unión definida desde el Axioma de Formación de Clases me da el mismo resultado que la unión de conjuntos aceptada en el Axioma de la Unión.

Estos detalles me parecen algo molestos, y fuente de confusiones.
A lo mejor sean inevitables.
Pero en todo caso es bueno que tengamos en cuenta estas sutilezas que muchas veces no aparecen explicadas.
Porque los lógicos se han acostumbrado tanto a los objetos de su teoría, que se olvidan del resto de los mortales que no estamos habituados a usar ese lenguaje en forma cotidiana.
A la mayoría de nosotros nos cuesta digerir ese lenguaje.

Yo, por ejemplo, por más que leo y releo, no logro acostumbrarme.
Al final, con esfuerzo, y explicaciones, e investigación, uno termina comprendiendo.
Pero de ahí a captar todas las sutilezas del lenguaje de la lógica, hay un salto no menor.

En cuanto pueda he de agregar los Axiomas según NBG. (Ya están agregados)
Son similares en su filosofía al sistema MK, así que no nos estaríamos perdiendo de mucho.

Pero es importante conocerlo, entre otras cosas, por ser Godel uno de sus fundadores.

Saludos

LauLuna:
Argentinator,

te felicito por la idea de exponer los axiomas de las axiomáticas de conjuntos así como por el resultado de la iniciativa; muy buen trabajo.

Permíteme unos comentarios.

En la respuesta 2, al definir la relación de inclusión, dices "necesariamente ocurre" y creo que deberías decir simplemente "ocurre". El "necesariamente" conlleva demasiada filosofía y es inútil para la definición.

Ya lo he corregido. Gracias LauLuna.
Argentinator


En la respuesta 2, al exponer el axioma de elección, hablas de un conjunto que contenga "al menos un elemento" y creo que deberías decir "exactamente un elemento"; creo que en algunos usos del axioma de elección la diferencia puede ser relevante, por ejemplo, al deducir el lema de Zorn a partir del axioma de eleción, PERO NO ESTOY SEGURO AHORA MISMO.

En la respuesta 3 al enunciar el axioma de formación de clases deberías advertir que los objetos a los que se refiere no son clases cualesquiera sino conjuntos. Así la clase universal contiene a todos los conjuntos y sólo a ellos.

Finalmente, en lo referente a la filosofía que hay detrás de ZF frente a NBG/MK, me gustaría señalar el coste que conlleva el aceptar las clases propias (las que no son conjuntos) como objetos individuales: hay que prohibir porque sí la construcción de una clase que contenga alguna de ellas. Esto no es filosóficamente muy coherente: dejamos que el axioma de formación de clases (comprehensión) opere (más o menos) libremente (al contrario que en ZF) para darnos ciertos objetos individuales que luego resultan no ser objetos individuales porque no pueden ser elementos de clases; por ejemplo, no existe una clase unitaria que contenga a la clase universal. Entonces la libertad añadida con respecto a ZF resulta al final ilusoria, porque las paradojas no perdonan.

La idea de ZF me parece más coherente: sabemos por las paradojas que no es el caso que para cada propiedad de conjuntos exista el conjunto de todos los conjuntos que la poseen; restrinjamos entonces el axioma de comprehensión ingenuo y convirtámoslo en un axioma de separación o especificación: dada una propiedad P y un conjunto C, existe el conjunto de todos los elementos de C que poseen P. En realidad, esta idea es una versión de la tesis de teoría de modelos de que siempre que cuantificamos nuestros cuantificadores operan sobre un conjunto, nunca sobre un universo que no pueda ser un conjunto. Avances recientes en lógica sugieren que esa es la idea clave para la comprensión y evitación de las paradojas.

Pero reconozco que es posible que NBG/MK sean mejores para la práctica matemática en algunos aspectos. El axioma de formación de clases de MK es muy práctico pero también muy potente, hace a MK estrictamente más potente que NBG (creo que lo demostró Mostowski) y, por tanto, aumenta el riesgo de inconsistencia. Pero es cierto que uno sigue teniendo la poderosa impresión de que ZF, ZFC, NBG y MK son todas teorías consistentes.

Saludos.

Navegación

[0] Índice de Mensajes

[#] Página Siguiente

[*] Página Anterior