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Autor Tema: Ley de composición interna  (Leído 12301 veces)
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puntocom
Junior
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« : 20/03/2009, 12:32:51 pm »

hola, ayer empece a ver este tema y la verdad que no lo entendi muy bien, por eso les dejo un ejercicio que ya está resuelto (por mi profesora, no por mi) a ver si me lo pueden explicar por qué se hace cada paso, aca se los dejo:
En el conjunto de los reales y dado LCI (*)       a*b=a+b-4
¿Goza de la propiedad asociativa?
Propiedad asociativa: a*(b*c)= (a*b)*c
a*(b+c-4)= (a+b-4)*c
a+b+c-4-4=a+b-4+c-4

la verdad de este ejercicio no entiendo de donde salen tantos cuatros jeje, va, en realidad no entiendo casi nada, si me pueden dejar una explicacion de cada paso por favor
¿habra existencia de elemento neutro? (e)
a*e=a
a+e-4=a
e-4=0
e=4

y de este no entiendo una cosa: por qué elige para para sacar el elemento neutro la suma? podria haber tomado la multiplicacion?
eso es todo, gracias por su tiempo
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Jjjuan
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« Respuesta #1 : 20/03/2009, 01:03:40 pm »

¿Qué tal?
Uno está acostumbrado a una forma del producto en particular, pero eso no significa que no puedan considerarse otras diferentes.
Lo que dice tu profesora ahí es: "Vamos a ver si este tipo de operación llamada * y definida según a*b=a+b-4 cumple con la propiedad asociativa: a*(b*c)=(a*b)*c"
Pues bien, la demostración no es dificil pues, segun esa definición de la operación (absolutamente arbitraria) es  a*(b*c)=a+(b+c-4)-4 y el otro lado de la igualdad es (a*b)*c = (a+b-4)+c-4. Como ambas cosas a las que llegamos son iguales (los paréntesis pueden sacarse si se considera la asociatividad de la suma - pensar eso), la igualdad queda probada.
Conclusión: 1) la nueva operacion * es asociativa. 2) Hay tantos cuatros porque la definición de la operacion tenía un -4, se ve eso?

La otra parte:
Los elementos neutros son aquellos que dejan invariante algo, por ejemplo a+0=a, el 0 deja invariante al a, es el elemento neutro de la suma.
La pregunta es: ¿La operación inventada de arriba a*b=a+b-4, tendrá un elemento de este tipo? Pues veamos: debe ocurrir que a*neutro=a ,no? Bueno, aplicando la definicion de nuestro * queda: a+neutro-4=a, debe ser neutro-4=0, y por lo tanto: neutro=4 (es decir que acá el 4 equivaldría al 0 de la suma o al 1 del producto)

Conclusion general: Lo que creo que no habías entendido (ahora no si si eso cambió), es que tu operación * no es la operación producto "trivial" o "común" que solemos usar. No se elije la suma para sacar el elemento neutro, lo que sucede es que la suma forma parte de la definición de nuestro *: a*b=a+b-4, se ve?

Espero haber ayudado, un saludo
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« Respuesta #2 : 20/03/2009, 01:29:31 pm »

Bueno, primero: muchas gracias por responder.

Sin embargo, no me explicas lo que quiero saber, o sea yo lo que no entiendo son los pasos que realizas hasta llegar al resultado final, es decir cómo vas del 1er paso al 2do, despues al 3er paso y así... ¿podrias explicarmelo por favor?

Gracias!
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héctor manuel
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« Respuesta #3 : 20/03/2009, 05:28:32 pm »

Primero vamos a familiarizarnos con la operación * . Por ejemplo 2*7=2+7-4=5, o también (3*2)*1=(3+2-4)*1=1*1=1+1-4=-2, mientras que 3*(2*1)=3*(2+1-4)=3*(-1)=3+(-1)-4=3-1-4=-2.  Estos dos últimos nos hacen ver que por lo menos para los reales 1,2 y 3 se tiene que (3*2)*1=3*(2*1).  Si esta operación cumple tal igualdad para cualesquiera reales a,b y c , es decir, a*(b*c)=(a*b)*c, entonces * es asociativa.  Calculemos cada lado de esa igualdad por separado:

a*(b*c)=a*(b+c-4)  pues solo aplicamos la operación * a lo que está dentro del paréntesis.  Si llamamos d al real d=b+c-4, entonces
a*(b*c)=a*(b+c-4)=a*d=a+d-4=a+(b+c-4)-4=a+b+c-4-4=a+b+c-8  (nota el paso en que aplicamos el cambio de nombre d=b+c-4 y el paso en el que lo deshacemos)

Pero el otro lado es (a*b)*c=(a+b-4)*c=m*c=m+c-4=(a+b-4)+c-4=a+b+c-4-4=a+b+c-8 donde hemos llamado m al real a+b-4. 

De ahí tenemos que ambas expresiones son iguales, por lo que * es en efecto asociativa.
Espero que haya quedado más claro, y ahora intenta hacer tú la otra parte.

Saludos
           
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« Respuesta #4 : 20/03/2009, 11:43:15 pm »

La verdad amigo, agradezco mucho la ayuda, pero la verdad es que  no entiendo ni jota,  o sea tuve una sola clase del tema este y no me explicaron casi nada. Si pudieras darme tu mail o el de  alguien que  pueda explicarme por messenger, me serviria mucho, porque en serio que no cazo una. Muchas gracias amigo

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« Respuesta #5 : 21/03/2009, 12:13:58 am »

Ah, ahora entendi, mil disculpas.
Por otra parte, ¿podrían pasarme algún mail para consultar mis dudas? La verdad que me vendria muy bien, si no es posible no importa, igualmente agradezco su colaboración
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aladan
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« Respuesta #6 : 21/03/2009, 12:56:46 am »

Cita
Ah, ahora entendi, mil disculpas.
Si lo has entendido, corrige tus mensajes.

Cita
Por otra parte, ¿podrían pasarme algún mail para consultar mis dudas?

Te puedo asegurar que el mejor e-mail que podemos facilitarte es este foro en el que multitud de estudiantes reciben colaboración de todo tipo.

Con relación al problema que has presentado, a la vista de las explicaciones recibidas, entiendo que te resulta un poco difícil interpretar una Ley de composición interna como una operación distinta de las clásicas conocidas, suma, resta, producto y división.

Tu profesor te ha definido dentro de los números reales esta operación

Cita
En el conjunto de los reales y dado LCI (*)       a*b=a+b-4

Te voy a dar una interpretación práctica. Tu profesora va a hacer un examen, ha preparado suficientes pruebas diferentes, numeradas del 1 hasta el que sea necesario, para que cada alumno realice una distinta, en una bolsa ha metido bolas numeradas del 2 hasta el número necesario, cada alumno extrae 2 bolas, numeradas con a y b, y le asigna la prueba numerada con p, de forma que

                       

esto es lo que representa la operación *

                         

Como comprobamos si esa operación es asociativa, verificando si cumple la igualdad:

                                 
Hagamos por partes cada uno de los dos miembros de esta igualdad:

Primero
                           
Ahora
                         
sustituimos q
                        (1)
(1) es el primer miembro desarrollado conforme a la definición de *

En el segundo hacemos primero

                     
completamos
                     
sustituimos t
                      (2)
(2) es el 2º miembro, ¿son iguales?, SI, por tanto la operación * es asociativa.


Dime si entiendes esto o que parte no captas.

Saludos

Saludos

               
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« Respuesta #7 : 21/03/2009, 01:14:51 am »

la verdad, valoro mucho el esfuerzo, pero hay cosas que no logro entender, y en este punto comprenderia (en serio) si renuncias a explicarmelo..
pero bueno, por si seguis con ganas de explicarpe, te presento mis dudas:
1) no entiendo por qué (b*c) es igual a (b+c-4).
2)no entiendo por que cuando nos queda  a*(b+c-4), en el siguiente paso tenemos   a+b+c-4-4, es decir, por que va el signo "mas" despues de "a", y por que al final se agrega otro "-4".
3) del lado derecho de la igualdad, no comprendo por qué esto:  (a+b-4)*c, luego se traduce a esto: a+b-4+c-4, es decir, es el mismo problema que cité en el punto 2): ¿Por qué se suma (a+b-4) a (c-4)?

Bueno eso es todo por ahora, jaja, perdón si hay errores en la redacción, y como ya dije, mil gracias por ayudarme desinteresadamente. Hasta luego.
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Don Equis
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« Respuesta #8 : 21/03/2009, 02:43:06 am »

1) no entiendo por qué (b*c) es igual a (b+c-4).

Porque esta es la forma en que se definió la operación. Así como se hizo que , también se podría haber inventado otra operación que fuera ó . Es una operación nueva que la inventó tu profesora de forma arbitraria y la denotó con el símbolo . No hay que confundirla con otras operaciones como la suma "" o la multiplicación "", que ya existían desde antes, acá se inventa una operación nueva. ¿Por qué ? No sé, a tu profesora le habrá gustado como ejemplo.
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« Respuesta #9 : 21/03/2009, 03:43:07 am »

no, pero el unico dato que me da la profesora es que a*b=a+b-4, ¿el resto no forma parte de la resolucion?, o sea me parece que en una evaluacion, por ejemplo, ella me daria:
En el conjunto de los reales y dado LCI (*)       a*b=a+b-4
¿Goza de la propiedad asociativa?

¿Y de ahi en adelante no tengo que resolver yo? si es asi, es por eso que preguntaba por qué (b*c) es igual a (b+c-4). ¿Eso está incluido en la resolución, no es un dato?, ¿o sí?
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Fernando Revilla
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« Respuesta #10 : 21/03/2009, 08:08:57 am »

    Aunque ya se ha respondido correctamente, quizás te pueda ayudar una forma más coloquial. Dados dos números reales en un determinado orden, se define la operación asterisco de la siguiente manera: "El primer número asterisco el segundo número es igual al primer número más el segundo menos cuatro".

    Según tal definición, es igual al primer número (), mas el segundo () menos , o bien .

Saludos.
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I have sometimes thought that the profound mystery which envelops our conceptions relative to prime numbers depends upon the limitations of our faculties in regard to time, which like space may be in essence poly-dimensional (J.J. Sylvester)

Dynamic processes associated with natural numbers characterize at least one arithmetic statement with temporal singularity (Fernando Revilla)
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« Respuesta #11 : 21/03/2009, 11:03:46 am »

Hola puntocom

A la vista de las dudas que expones, vamos a enfocar el tema por otro camino para ello es necesario contestes a las siguientes preguntas:

1.- ¿Que entiendes por ley de composición interna en un conjunto, A?

2.- ¿Que significa que dicha ley cumple la propiedad asociativa?

3.- ¿Que significa que en el conjunto A existe un elemento neutro e para esa ley?

En función de tus respuestas seguro encontraremos el método adecuado para que puedas comprender este tipo de ejercicios.

Saludos
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« Respuesta #12 : 21/03/2009, 02:07:12 pm »

Hola de nuevo, aca te dejo las respuestas a tus preguntas:
1) Es una operación entre dos numeros del conjunto A cuyo resultado tambien pertenece a ese conjunto.
2) La verdad no se, osea sé cual es la propiedad asociativa, pero no sabria contestar la pregunta.
3) He aquí otro problema, ya que no se por qué para comprobar lo del e, usa la suma y no la multiplicación, pero igual que en el punto 2), tampoco te sabria responder.
Bueno, espero que me puedan orientar un poquito jaja, y gracias por la paciencia.
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Jorge klan
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« Respuesta #13 : 21/03/2009, 07:38:09 pm »

Hola

Veo que te cuesta algo de trabajo entender las excelentes explicaciones de los amigos del foro, eso debe ser por una mala base de los conceptos. Voy a intentar algo a ver si comprendes:

Una ley de composición interna también conocida como producto, es una función en la cual su dominio es el conjunto y su codominio es , donde es un conjunto no vacío, por ejemplo llamemosla , entonces



donde puede ser definida de diversas maneras, una que talves conozcas es (muy elemental), en fin puede ser definda como la multiplicación, división, etc... Ahora llevemos todo esto a tu ejercicio, tomemos , entonces la ley de composición interna o producto sería

 


donde , es decir si tomamos dos elementos cuales sean en su producto es el descrito anteriormente según , si tomamos entonces (según se definió ).

te piden demostrar que es asociativa. Veamoslo en general, una ley de composición es asociativa si y solo si cumple lo siguiente para cuales sean .


Ahora si lo llevamos a tu ejercicio la demostración es como sigue




Lo cual prueba que es asociativa. Algunas veces un estudiante mira muy en menos esta propiedad por que ya está acostumbrado a trabajar con LCI que son asociativas por ejemplo la suma en; los reales, racionales, complejos, naturales, o talves la multiplicación en los nombrados anteriormente. Fíjate acá te doy un ejemplo clásico que no siempre todas las LCI son asociativas. Si definimos en la LCI (resta) vemos que no siempre se cumple


para cuales sean

Ejemplo concreto:



Lo que se quiere es demostrar que   posee un elemento neutro, es decir, existe un elemento tal que para todo se tiene


Esta definición no creo que sea nueva en tu vida, por ejemplo los reales con la LCI <<suma>> tiene como neutro o identidad el elemento , ya que para todo


Ahora llevemos este ejemplo a la operación . Para la demostración debemos encontrar tal neutro, entonces aprovechamos que debe cumplir cierta propiedad y luego concluimos cual es el que buscamos. Abstractamente llamemos el elemento neutro de , luego este cumple que


Para todo . Ahora por definición de se tiene que


Despejando para conocerlo en su forma de <<carne y hueso>> tenemos que


Cancelando los tenemos que


Así concluimos que es elemento neutro de . En efecto, nótese que para todo se tiene que


y por el otro lado


Espero te ayude algo para entender tu problema

Saludos
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« Respuesta #14 : 21/03/2009, 08:57:21 pm »

Bueno, algo entiendo, pero lo que no logro comprender es lo siguiente:
Tenemos que (a*b)*c= (a+b-4)*c     esto lo entiendo, solo reemplazamos a*b por lo que nos daba el planteo.
Pero luego, no entiendo por que (a+b-4)*c=(a+b-4)+c-4
O sea, ¿siempre que tengamos algo, el asterisco y otro "algo" por asi decirlo, vamos a agregar el "-4"? ¿Por qué?
Agradezco tu ayuda, veo que te tomaste tu tiempo para explicármelo, y yo que sigo sin comprender  :BangHead:. Quizás si me explican eso que estoy preguntando logre por fin entender, gracias! Saludos (ah y voy a recomendar la página a varios amigos jeje). :guiño:
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« Respuesta #15 : 21/03/2009, 09:07:57 pm »

Hola de nuevo, aca te dejo las respuestas a tus preguntas:
1) Es una operación entre dos numeros del conjunto A cuyo resultado tambien pertenece a ese conjunto.
2) La verdad no se, osea sé cual es la propiedad asociativa, pero no sabria contestar la pregunta.
3) He aquí otro problema, ya que no se por qué para comprobar lo del e, usa la suma y no la multiplicación, pero igual que en el punto 2), tampoco te sabria responder.
Bueno, espero que me puedan orientar un poquito jaja, y gracias por la paciencia.
No es extraño que no entendieras nada de nada, visto la debilidad de tus conceptos, Jorge klan te ha hecho una larga y correcta explicación que me temo va a chocar con tu falta de conceptos claros.
Punto 1.- Lo que dices ahí es bastante correcto, te falta amplitud en lo que significa la operación definida, * para generalizar, es cualquiera de las conocidas o inventada para el caso,incluso debes añadir que se ha generado un par (A,*), sobre el que vamos a trabajar

Punto 2.- Creo que para este punto necesitas una aclaración de mucho detalle, todos nosotros como tu profesor escribiendo ecuaciones y tu no captas su significado. Cuando decimos que en el par (A,*) se cumple la propiedad asociativa queremos decir lo siguiente:
Tomados 3 elementos cualequiera  y aplicamos sobre ellos la LCI *  cualquiera que sea la forma en que los agrupemos, asociemos, es decir podemos hacer

a.- Operamos 1º y 2º con * y su resultado con el 3º              (1)

b.- Operamos 1º con el  resultado de el 2º y 3º                    (2)

Si probamos que (1) = (2)   (A, *) tiene la propiedad asociativa

Para hacer esa demostración no tiene sentido preguntarse porque usar la suma +, el producto x, la resta -, o la división :, tiene que usarse exclusivamente la operación definida por *, tal y como te la han definido, ¿lo entiendes?

Jorge klan te ha explicado como la pareja no tiene la propiedad asociativa, lo mismo puede decirse del par

Sean , hagamos las asociaciones anteriores:

(1)

(2)       




¿ Te ayuda esto a entender ?

Saludos




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Jorge klan
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« Respuesta #16 : 21/03/2009, 09:14:50 pm »

Hola


Casi comprendes lo que es; veo que tu problema es en asumir que es un nuevo número lo puedes llamar por ejemplo (solo para efectos prácticos), entonces hagamos el cual es un número real (sin importar la cantidad de elementos y sumas que veas ahí, esto sigue siendo un número real). Vamos de nuevo con el ejercicio


Hasta ahí estamos bien?

Ahora aplicamos la LCI   a los elementos los cuales son unos números reales. Según la definición de sería


Cierto?

Ahora, cambiemos (Que es solo el cambio que nos dimos más arriba, reemplazamos por ). Tenemos


Luego se sigue como lo expliqué en el mensaje anterior

Saludos



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aladan
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« Respuesta #17 : 21/03/2009, 09:15:45 pm »

Bueno, algo entiendo, pero lo que no logro comprender es lo siguiente:
Tenemos que (a*b)*c= (a+b-4)*c     esto lo entiendo, solo reemplazamos a*b por lo que nos daba el planteo.
Pero luego, no entiendo por que (a+b-4)*c=(a+b-4)+c-4
O sea, ¿siempre que tengamos algo, el asterisco y otro "algo" por asi decirlo, vamos a agregar el "-4"? ¿Por qué?
¿ Como te lo reexplicamos?

La LCI definida * significa la obtención de un elemento, p, a partir de otros dos, a y b, el valor de p es p=a+b-4
Ahora lo que tienes que componer son los elementos p y c para obtener q, el valor de q será tambien q=p+c-4 de manera que sustituyendo p por su valor y operando tenemos

                                q=p+c-4=a+b-4+c-4=a+b+c-8

¿ Vale?
Disculpa Jorge, ya lo tenía escrito y ..
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« Respuesta #18 : 21/03/2009, 10:05:18 pm »

Mmm creo (y solo creo jaja) que estoy entendiendo, ¿os ea que no importa que no sean las letras a y b, siempre va a ser -4? ¿Si entre pareéntesis tuviera t*c, se descomponería en t+c-4? Por favor diganme que si jaja
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« Respuesta #19 : 21/03/2009, 10:12:13 pm »

Mmm creo (y solo creo jaja) que estoy entendiendo, ¿os ea que no importa que no sean las letras a y b, siempre va a ser -4? ¿Si entre pareéntesis tuviera t*c, se descomponería en t+c-4? Por favor diganme que si jaja

¡SI!

Sustituyendo despues tanto t como c por su valor si lo conoces.
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