25/01/2020, 22:33:26 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Homenaje a NUMERARIUS
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Hipótesis del continuo  (Leído 5742 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
argentinator
Consultar la FIRMAPEDIA __________________________________________________________________________________________________________________
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 7.283

Vean mis posts activos en mi página personal


Ver Perfil WWW
« : 18/03/2009, 02:25:56 am »

Paul Cohen probó que existe algún modelo de la teoría de conjuntos, con los axiomas ZFC, tal que la hipótesis del continuo es falsa en dicho sistema.

O sea que en ese modelo, existe un conjunto con cardinal intermedio entre los naturales y los reales.

La cuestión es que estoy demasiado acostumbrada a ver la teoría de conjuntos como una herramienta, y me cuesta entender el contexto, las reglas del juego en este terreno de los modelos y las diferentes axiomáticas.

Por otro lado, quisiera saber cuál es ese modelo en donde la HC es falsa, y en ese caso, cuál es ese dichoso conjunto (si es que puede darse uno) que cumple esa propiedad de cardinalidad intermedia entre N y R.

¿Puede esto explicarse de modo sencillo y natural para que los mortales lo entendamos?
¿Alguien sabe?


En línea

jonatan
Semi pleno
***

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Colombia Colombia

Mensajes: 86


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 18/03/2009, 02:31:34 am »

estoy totalmente de acuerdo.
En línea

Las matemáticas no mienten, lo que hay son muchos matemáticos mentirosos.
 Henry David Thoreau
argentinator
Consultar la FIRMAPEDIA __________________________________________________________________________________________________________________
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 7.283

Vean mis posts activos en mi página personal


Ver Perfil WWW
« Respuesta #2 : 18/03/2009, 02:36:53 am »

estoy totalmente deacuerdo

 :¿eh?:

En línea

Fernando Revilla
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 10.578


Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


Ver Perfil WWW
« Respuesta #3 : 18/03/2009, 16:10:44 pm »

Por otro lado, quisiera saber cuál es ese modelo en donde la HC es falsa, y en ese caso, cuál es ese dichoso conjunto (si es que puede darse uno) que cumple esa propiedad de cardinalidad intermedia entre N y R.

¿Puede esto explicarse de modo sencillo y natural para que los mortales lo entendamos?
¿Alguien sabe?

La cuestión es que un sistema formal es consistente si y solo sí, el sistema tiene un modelo. No sabemos si [texx]ZF[/texx] es consistente, solo lo intuimos. Dado que ni [texx]HC[/texx] ni [texx]\sim{(HC)}[/texx] son teoremas ni de [texx]ZF(C)[/texx] ni de [texx]ZF(\sim{C})[/texx] el hipotético modelo al que te refieres no  le conocemos, caso contrario estaría demostrado que [texx]ZF[/texx] es consistente.

Saludos.
En línea

Jabato
Visitante
« Respuesta #4 : 18/03/2009, 16:36:42 pm »

Eso, que nos lo expliquen, porque yo me acabo de enterar que ZF no es consistente. ¿Existe algún modelo de TC que sea consistente? Entre paradojas y axiomas, no sabe uno realmente por donde tirar.

Que lío con las teorías axiomáticas de conjuntos.

Saludos, Jabato. :¿eh?:
En línea
Fernando Revilla
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 10.578


Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


Ver Perfil WWW
« Respuesta #5 : 18/03/2009, 17:00:39 pm »

Eso, que nos lo expliquen, porque yo me acabo de enterar que ZF no es consistente.

No será porque lo he dicho yo. Nadie ha demostrado que [texx]ZF[/texx] es consistente, que no es lo mismo que no lo sea. De la misma manera que nadie ha demostrado que la aritmética de Peano lo sea, ni nadie lo demostrará dentro del propio sistema.

Saludos.
En línea

argentinator
Consultar la FIRMAPEDIA __________________________________________________________________________________________________________________
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 7.283

Vean mis posts activos en mi página personal


Ver Perfil WWW
« Respuesta #6 : 18/03/2009, 17:26:07 pm »


Será que no entiendo la teoría de modelos.
Porque resulta que supuestamente la metamatemática es tan simple que debiera convencer a cualquier matemático, pero cada vez que me pongo a leer sobre el tema, me enredo en las ristras de signos, y llega un momento que no entiendo más nada.
Como sea, culpar a otros de mi incapacidad no es en lo que me quiero enfocar...

La cuestión que quiero entender es esta.
Supongamos que una teoría T es consistente.
Supongamos que una afirmación A no es demostrable en T.
Supongamos que tanto A como no-A son compatibles con T, dando teorías consistentes T1 y T2.
¿Existen modelos de las teorías T1 y T2? Parece ser que la respuesta a esto es sí, porque una teoría es consistente si y sólo si tienen un modelo.

Ahora supongamos que no sabemos si T es consistente.
Supongamos que hemos mostrado un modelo tanto para T1 o para T2.
¿Esto prueba que T es consistente?
Yo creería que son cosas que no están relacionadas.

Nada impide que yo exhiba un modelo concreto que satisfaga ciertos axiomas.

Lo pongo más gráfico.
El axioma P de las paralelas es compatible con el resto de los axiomas de la geometría, que llamamos teoría G.
Pero no-P también es compatible con G.
De manera que P es indecidible en G.

Sin embargo, existen ejemplos bien concretos de G+P y de G+no-P, se trata de las variedades planas en el primer casa, y las variedades con curvatura en el segundo caso.
Eso no afecta nada a nuestro conocimiento sobre si los axiomas de la geometría son consistentes o no.

¿Por qué no ocurre lo mismo con la hipótesis del continuo?
¿No puedo pensarlo como un axioma del tipo ''de las paralelas'', y exhibir modelos que lo cumplan, y otros que no lo cumplan?
¿Por qué eso tiene que afectar a la consistencia de los axiomas de la teoría de conjuntos?
No le veo la relación.


En línea

topo23
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Argentina Argentina

Mensajes: 940


Ver Perfil
« Respuesta #7 : 18/03/2009, 17:39:56 pm »

Segun algunos links

http://www.ii.com/math/ch/
http://en.wikipedia.org/wiki/Continuum_hypothesis

argentinstor tiene razon, nada impide hacer otra TC que tenga HC o ~HC.
En línea

.
Fernando Revilla
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 10.578


Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


Ver Perfil WWW
« Respuesta #8 : 18/03/2009, 18:36:45 pm »

Supongamos que una teoría T es consistente.
Supongamos que una afirmación A no es demostrable en T.

Bien, si [texx]T[/texx] es un sistema de primer orden consistente y [texx]\mathcal{A}[/texx] es una fórmula bien formada y cerrada que no es un teorema de [texx]T[/texx], entonces, [texx]T^*[/texx] es consistente, siendo [texx]T^*[/texx] la extensión de [texx]T[/texx] obtenida incluyendo [texx]\sim{\mathcal{A}}[/texx] como axioma adicional.

Cita
Supongamos que tanto A como no-A son compatibles con T, dando teorías consistentes T1 y T2.
¿Existen modelos de las teorías T1 y T2? Parece ser que la respuesta a esto es sí, porque una teoría es consistente si y sólo si tienen un modelo.

Interpreto que quieres decir que [texx]\mathcal{A}[/texx] y  [texx]\sim{\mathcal{A}}[/texx] no son teoremas de [texx]T[/texx]. En tal caso, es cierto que  [texx]T_1[/texx] y [texx]T_2[/texx] serían consistentes.

Cita
Ahora supongamos que no sabemos si T es consistente.
Supongamos que hemos mostrado un modelo tanto para T1 o para T2.
¿Esto prueba que T es consistente?

Si, por ejemplo si [texx]T[/texx] fuera inconsistente, existiría fórmula bien formada  [texx]\mathcal{A}[/texx] tal que [texx]\mathcal{A}[/texx] y [texx]\sim{\mathcal{A}}[/texx] serian teoremas de [texx]T[/texx] y en consecuencia de [texx]T_1[/texx] al contener todos los axiomas de [texx]T[/texx], en contradicción con ser [texx]T_1[/texx] consistente.

Saludos.
En línea

argentinator
Consultar la FIRMAPEDIA __________________________________________________________________________________________________________________
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 7.283

Vean mis posts activos en mi página personal


Ver Perfil WWW
« Respuesta #9 : 19/03/2009, 00:51:53 am »

Eso, que nos lo expliquen, porque yo me acabo de enterar que ZF no es consistente. ¿Existe algún modelo de TC que sea consistente?

Ja, ja. ¿No te habías enterado? Hace más de 70 años que la matemática anda en bambalinas.  :malvado:

Godel demostró metamatemáticamente, que ninguna teoría que contenga a un sistema con las propiedades de los números naturales puede tener una prueba de consistencia.
Un sistema matemáticamente interesante debe incluir a los números naturales, me temo.  :sorprendido:

Si alguien diera una tal prueba de consistencia, llevaría a alguna contradicción, que probaría en realidad que el sistema era inconsistente.
Si alguien diera una prueba de inconsistencia... cerramos el telón y nos dedicamos a bailar rap en las esquinas, que es más divertido y no necesita axiomas.

De por vida estamos condenados a usar un sistema que nunca sabremos si encierra alguna contradicción,
y con el eventual temor de que alguna vez alguien encuentre una contradicción en el sistema y tire todo abajo.
Es una condena a la incertidumbre, lo cual, para un matemático, es una ironía gigantesca, insoportable.

Desde el punto de vista moral, es un llamado a la humildad...

En todo caso, según lo que leí en el primer link de topo, parece que Cohen construyó un modelo, a la fuerza, en el que se satisface la negación de la hipotesis del continuo, junto con los otros axiomas de ZFC.
Me gustaría ver esa construcción, a lo mejor es lo que estoy tratando de ver o entender.

Otra posibilidad es cambiar los axiomas de la teoría de conjuntos por algo menos ''defectuoso'', pero no sé si el problema está en estos axiomas de ZF, o en los mismos números naturales. Alguien tiene la culpa.
Lo que sí está claro (para los lógicos, no para mí), es que el axioma de elección no tiene culpa alguna de los defectos de la teoría.

Por ahora, sin embargo, ZFC es lo que usamos, y es lo mejorcito que tenemos, sin paradojas a la vista.

He visto por ahí que alguien procura dar una prueba de consistencia de la lógica, apelando a propiedades más débiles de los números naturales.
Recordemos que las propiedades de los números naturales mismos se usan en la codificación de Godel para probar sus teoremas de incompletitud. Todo puede ser cuestionado en este terreno, pero yo no puedo hacerlo sin antes entender bien de qué diablos se está hablando. Algún día...
Mi problema es que lo que se entiende por metamatemática, fórmulas, y todo eso, no me termina de convencer del modo en que se hace, no me cierra. No es tan simple como debiera ser, para que sirva de fundamento de la lógica.

Estuve leyendo el libro de Ivorra, y en muchas ocasiones hace las mismas objeciones a la metamatemática que hago yo, con la diferencia de que él habla desde el entendimiento pleno del tema. Pero por lo menos no me siento tan errado en mis dudas.
Ivorra recalca que la metamatemática debe regirse por leyes sencillas de razonamientos, que a todos nos parezcan obvias, y que así también lo estipuló Hilbert, como el único modo de confiar en un razonamiento que no tiene fundamentos.
Se necesita de procesos finitistas y que nos parezcan correctos, obvios, o algo por el estilo.
¿Y si uno no se convence? ¿Qué pasa?  :indeciso:  :lengua_afuera:
A mí me suena a un hueco muy grande en los fundamentos. Pero de nada sirve quejarse si no sé aportar nada mejor.
Aunque a menudo me encuentro buscando una solución. Pero como es trabajo metamatemático, ni sé qué es lo que hago o pienso cuando hago o pienso algo al respecto.  :BangHead:

Es una situación que me enoja un poco. Un matemático merece, por dignidad  :llorando: , tener reglas del juego claras con qué vivir. (Un poco de melodrama al final, je, je,  :risa:)
En línea

Jabato
Visitante
« Respuesta #10 : 19/03/2009, 05:23:53 am »

Bueno, yo lo de Godel si lo conocía, pero interpreté mal las palabras de Phidias, una cosa es la incertidumbre, que era lo que yo tenía entendido, y otra la certeza de la inconsistencia que es lo que yo creí que afirmaba Phidias. Es cierto lo que dices, sí, la matemática anda en bambalinas, pero no ha sido la primera vez, y supongo que no será la última. No entiendo mucho de teoría de modelos, ya me gustaría saber algo más, pero mi formación ha eludido sistemáticamente caer en los laberintos de la lógica y eso es un fuerte handicap, y aunque mis esfuerzos han sido muchos hasta el momento han dado pocos frutos. Si me interesa saber si efectivamente existe algun conjunto que incumpla la HC, pero como tampoco es posible al parecer conocerlo pues seguimos atascados en el lodo. Aún asi me pareció muy interesante el debate y por eso trate de intervenir pero no puedo aportar gran cosa, hasta el momento, la verdad.

Saludos, Jabato.  :sonrisa_amplia:
En línea
Carlos Ivorra
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 9.081


Ver Perfil WWW
« Respuesta #11 : 26/09/2012, 11:03:08 am »

He encontrado este hilo que es algo viejo, pero como creo que lo que se plantea "no pasa de moda", voy a tratar de responder, por si todavía interesa.

Paul Cohen probó que existe algún modelo de la teoría de conjuntos, con los axiomas ZFC, tal que la hipótesis del continuo es falsa en dicho sistema.

O sea que en ese modelo, existe un conjunto con cardinal intermedio entre los naturales y los reales.

La cuestión es que estoy demasiado acostumbrada a ver la teoría de conjuntos como una herramienta, y me cuesta entender el contexto, las reglas del juego en este terreno de los modelos y las diferentes axiomáticas.

Por otro lado, quisiera saber cuál es ese modelo en donde la HC es falsa, y en ese caso, cuál es ese dichoso conjunto (si es que puede darse uno) que cumple esa propiedad de cardinalidad intermedia entre N y R.

¿Puede esto explicarse de modo sencillo y natural para que los mortales lo entendamos?
¿Alguien sabe?

Vamos a intentarlo:

El axioma de regularidad de ZFC equivale a que la clase [texx]V[/texx] de todos los conjuntos puede estructurarse como sigue:

Definimos [texx]V_0=\emptyset[/texx], para cada ordinal [texx]\alpha[/texx] definimos [texx]V_{\alpha+1}=\mathcal PV_\alpha[/texx] y para cada ordinal límite [texx]\lambda[/texx] definimos [texx]V_\lambda =\bigcup\limits_{\delta<\lambda}V_\delta[/texx].

Entonces se demuestra (y, de hecho, esto es equivalente al axioma de regularidad) que [texx]V=\bigcup\limits_{\alpha\in \Omega}V_\alpha[/texx], donde [texx]\Omega[/texx] es la clase de todos los ordinales.

Aquí se demuestra
que los conjuntos [texx]V_\alpha[/texx] forman una sucesión creciente, es decir, que si [texx]\alpha\leq\beta[/texx] entonces [texx]V_\alpha\subset V_\beta[/texx], y en ella van apareciendo gradualmente todos los conjuntos. En suma: cada conjunto puede "generarse" a partir del conjunto vacío mediante sucesivas aplicaciones del operador "partes de".

Gödel refinó esta construcción sustituyendo [texx]\mathcal PX[/texx] (el conjunto de las partes de [texx]X[/texx]) por el conjunto [texx]\mathcal DX[/texx] de las partes definibles de [texx]X[/texx], formado por todos los subconjuntos de [texx]X[/texx] de la forma

[texx]A =\{x\in X\mid X\vDash \phi[x,x_1,\ldots, x_n]\}[/texx],

donde [texx]n\in \mathbb N[/texx], [texx]x_1,\ldots, x_n\in X[/texx] y [texx]\phi\in \mbox{Form}(\mathcal L)[/texx] es una fórmula del lenguaje de la teoría de conjuntos con [texx]n+1[/texx] variables libres. En pocas palabras, [texx]\mathcal DX[/texx] es el conjunto de todos los subconjuntos de [texx]X[/texx] definidos por una fórmula, pero ojo con la letra pequeña: una fórmula que sólo hace referencia a elementos de [texx]X[/texx], es decir, que cuando la fórmula dice "para todo", se ha de entender como "para todo elemento de X", cuando dice "existe" se ha de entender como "existe un elemento de X tal que", y que cuando la fórmula alude a un conjunto a modo de parámetro (uno de los [texx]x_1,\ldots, x_n[/texx]) dicho conjunto está en [texx]X[/texx]. No vale hacer referencia a nada externo a [texx]X[/texx].

Spoiler: Notas (click para mostrar u ocultar)

Así obtenemos la jerarquía constructible:

[texx]L_0=\emptyset,\qquad L_{\alpha+1}=\mathcal DL_\alpha,\qquad L_\lambda=\bigcup\limits_{\delta<\lambda}L_\delta[/texx]

que permite definir la clase de los conjuntos constructibles como [texx]L=\bigcup\limits_{\alpha<\Omega}L_\alpha[/texx].

En suma, un conjunto es constructible si puede obtenerse a partir del conjunto vacío mediante una sucesión de aplicaciones, no del operador [texx]\mathcal PX[/texx], sino del operador [texx]\mathcal DX[/texx], que exige que cada nuevo conjunto tenga una definición en términos de una fórmula concreta en la que pueden aparecer parámetros que sean conjuntos previamente definidos. No obstante, hay que resaltar que en la definición de los conjuntos constructibles intervienen también los ordinales, a los que no se les exige ninguna condición de definibilidad.

No debería sorprender que no pueda demostrarse que todo conjunto es constructible, ni tampoco lo contrario. No puede probarse que hay conjuntos no constructibles porque la clase [texx]L[/texx] de todos los conjuntos constructibles es un modelo de ZFC, es decir, que, aun suponiendo que existieran conjuntos no constructibles, si "nos olvidamos" de ellos y nos quedamos sólo con los constructibles, con ellos basta para que se cumplan los axiomas de la teoría de conjuntos. Por ejemplo, un axioma dice que dados dos conjuntos [texx]x,y[/texx] tiene que existir el conjunto [texx]\{x,y\}[/texx] y, en efecto, dados dos conjuntos constructibles [texx]x,y[/texx], el conjunto [texx]\{x,y\}[/texx] también es constructible, por lo que al eliminar los posibles conjuntos no constructibles no deja de cumplirse el axioma del par.

Dicho de otro modo: los axiomas de la teoría de conjuntos requieren, para ser ciertos, una clase de objetos que cumplan ciertas propiedades, y los conjuntos constructibles bastan por sí solos para cumplir esas propiedades.

Por otro lado, tampoco es raro que no pueda probarse que existen conjuntos no constructibles. Los axiomas de la teoría de conjuntos postulan la existencia de ciertos conjuntos, pero ninguno de ellos pone condiciones que obliguen a que esos conjuntos que deben existir para que se cumplan los axiomas deban ser definibles de ningún modo. Por ejemplo, el axioma de partes dice que dado un conjunto [texx]X[/texx] debe existir otro conjunto [texx]\mathcal PX[/texx] que contenga a "todos" los subconjuntos de [texx]X[/texx], pero no dice nada sobre cómo de complicados pueden ser esos subconjuntos. Podría pensarse que el axioma de elección tal vez podría probar la existencia de un conjunto no constructible, dada su "mala fama" de afirmar la existencia de objetos extraños, pero es justo lo contrario: aun sin suponer el axioma de elección, en ZF, se puede demostrar que el axioma de elección es verdadero en [texx]L[/texx]. La idea es que cada conjunto constructible tiene "a cuestas" una "definición", una lista de ordinales y fórmulas que lo determinan completamente, y tanto los ordinales como las fórmulas admiten buenos órdenes (aun sin el axioma de elección), y dichos buenos órdenes permiten ordenar bien las "construcciones" de conjuntos constructibles y, a través de ellas, ordenar bien a los conjuntos constructibles.

Visto de otro modo: la razón por la que el axioma de elección no se puede demostrar es porque postula la posibilidad de hacer elecciones en conjuntos de los que no sabemos nada, pero si sabemos que los conjuntos son constructibles, entonces sabemos lo suficiente de ellos (que admiten cierta construcción en términos de cosas bien ordenables, ordinales y fórmulas) y eso basta para dar criterios de elección sin necesidad de depender de un axioma que postule su existencia sin darlos explícitamente.

Pues bien, si suponemos que [texx]V=L[/texx], es decir, que todo conjunto es constructible, entonces se cumple que [texx]|\mathbb R|=\aleph_1[/texx]. Aunque en realidad es algo más sutil, la idea grosso modo es que si nos quedamos con los mínimos conjuntos imprescindibles para que se cumplan los axiomas de la teoría de conjuntos, entonces el cardinal del conjunto de los números reales se reduce al mínimo posible.

Sin embargo, puede probarse que también es consistente que [texx]|\mathbb R|=\aleph_2[/texx] y [texx]|\mathbb R^L|=\aleph_1[/texx], donde [texx]\mathbb R^L = \mathbb R\cap L[/texx] es el conjunto de los números reales constructibles.

Creo que esto responde a lo que pedías: un posible "conjunto dichoso" es [texx]\mathbb R^L[/texx], que es un conjunto que podemos definir (no tiene nada que ver con modelos) igual que se definen los números irracionales o los números trascendentes, y que, en ciertos modelos, tiene cardinal [texx]\aleph_1[/texx] aunque [texx]\mathbb R[/texx] tenga cardinal mayor.

Observemos que es un "dichoso conjunto" muy rico, pues es fácil probar que la suma y el producto de números reales constructibles es también constructible, por lo que [texx]\mathbb R^L[/texx] es un subcuerpo de [texx]\mathbb R[/texx].

Pero en realidad preguntas, no sólo cuál es (o puede ser) el conjunto que viola la hipótesis del continuo, sino  también cuál es el modelo en el que esto sucede. Eso ya es más delicado. Se obtiene mediante la teoría de extensiones genéricas de Cohen, que puede presentarse de varias formas que superficialmente pueden ser muy diferentes entre sí. Uno de los planteamientos más simples parte de un modelo numerable [texx]M[/texx] de ZFC, y permite construir lo que se llama una "extensión genérica" [texx]M[G][/texx], que es el menor modelo de ZFC que contiene a [texx]M[/texx] como subconjunto y tiene además como "nuevo conjunto" a un conjunto [texx]G[/texx] que no puede ser cualquier cosa. El caso más simple es el caso en que [texx]G[/texx] es una cierta clase de filtro en un cierto conjunto parcialmente ordenado, de forma que [texx]G[/texx] puede codificar ciertos conjuntos que se desea que pertenezcan a la extensión [texx]M[G][/texx].

Tecnicismos aparte, el modelo en cuestión es un modelo numerable [texx]M[G][/texx] obtenido a partir de un modelo numerable [texx]M[/texx]. Si el modelo inicial cumple [texx]V=L[/texx], entonces los conjuntos constructibles en el modelo [texx]M[G][/texx] son justo los conjuntos del modelo inicial [texx]M[/texx], y todos los conjuntos "nuevos" son no constructibles en el modelo extendido. De este modo, tanto [texx]\mathbb R^M[/texx] como [texx]\mathbb R^{M[G]}[/texx] son "en realidad" conjuntos numerables, pero la construcción permite hacer que [texx]\mathbb R^M[/texx] tenga cardinal [texx]\aleph_1[/texx] tanto en [texx]M[/texx] como en [texx]M[G][/texx], pero de modo que [texx]\mathbb R^M[/texx] (el conjunto de los números reales de [texx]M[/texx]) ya no sea el conjunto de los números reales en [texx]M[G][/texx], sino el conjunto [texx](\mathbb R^L)^{M[G]}[/texx]  de los números reales constructibles de [texx]M[G][/texx], mientras que el filtro [texx]G[/texx] permite definir nuevos números reales, de modo que [texx]\mathbb R^M\subsetneq \mathbb R^{M[G]}[/texx] y, más aún, el conjunto de los números reales en [texx]M[G][/texx] tenga cardinal mayor que [texx]\aleph_1[/texx] en el modelo [texx]M[G][/texx] (aunque visto desde fuera sólo estemos tratando con conjuntos numerables).

La cuestión es que un sistema formal es consistente si y solo sí, el sistema tiene un modelo. No sabemos si [texx]ZF[/texx] es consistente, solo lo intuimos. Dado que ni [texx]HC[/texx] ni [texx]\sim{(HC)}[/texx] son teoremas ni de [texx]ZF(C)[/texx] ni de [texx]ZF(\sim{C})[/texx] el hipotético modelo al que te refieres no  le conocemos, caso contrario estaría demostrado que [texx]ZF[/texx] es consistente.

El problema es que la primera frase que dices tiene una letra pequeña que permite muchas triquiñuelas de abogado. Para probar en ZFC que una teoría es consistente a partir de un modelo necesitamos que sea un "modelo modelo", es decir, un modelo cuyo universo sea un conjunto para que podamos definir el concepto de "verdad" en el modelo. Sin embargo, esto deja abierta la posibilidad de definir modelos que sean clases propias, como la clase [texx]L[/texx] de todos los conjuntos constructibles, que puede considerarse "bien conocida", pero para la cual no es posible demostrar (enunciar, de hecho) un teorema que diga que satisface todos los infinitos axiomas de ZFC, sino que, para cada axioma, podemos probar un teorema que dice que [texx]L[/texx] satisface dicho axioma, con lo que tenemos infinitos teoremas que, a lo sumo, podemos agrupar un conjunto finito de ellos en un teorema mayor que prueba que [texx]L[/texx] cumple cualquier cantidad finita de axiomas prefijada de ZFC. A su vez, esto nos permite obtener modelos que sean conjuntos y que cumplan cualquier cantidad finita de axiomas arbitrariamente grande de ZFC (todo esto está explicado en mi hilo sobre modelos).

Así, por ejemplo, cuando he dicho antes que la prueba de la independencia de la HC parte de un modelo numerable [texx]M[/texx] de ZFC, en realidad se parte de un modelo de una cantidad finita arbitrariamente grande de axiomas de ZFC, y así se prueba que [texx]M[G][/texx] satisface (además de los resultados indicados sobre el cardinal de [texx]\mathbb R[/texx] y [texx]\mathbb R^L[/texx]), cualquier cantidad finita de axiomas de ZFC. En realidad es un razonamiento [texx]\epsilon-\delta[/texx]: para todo conjunto finito [texx]E[/texx] de axiomas de ZFC existe un conjunto [texx]D[/texx] de axiomas de ZFC tal que si [texx]M[/texx] es un modelo de [texx]D[/texx] entonces [texx]M[G][/texx] es un modelo de [texx]E[/texx] en el que además pasa tal y tal.

Al final de este mensaje se explica cómo esto se traduce en pruebas constructivas de consistencia, es decir, en argumentos que nos permiten afirmar que podemos programar a un ordenador para que si le damos una prueba de la HC él construya a partir de ella una prueba de una contradicción en ZFC.

La cuestión que quiero entender es esta.
Supongamos que una teoría T es consistente.
Supongamos que una afirmación A no es demostrable en T.
Supongamos que tanto A como no-A son compatibles con T, dando teorías consistentes T1 y T2.
¿Existen modelos de las teorías T1 y T2? Parece ser que la respuesta a esto es sí, porque una teoría es consistente si y sólo si tienen un modelo.

La respuesta es sí, pero teniendo en cuenta que serás capaz de probar la existencia de un modelo en la medida en que seas capaz de probar tu supuesto de que la teoría T es consistente. Si no, suponer que es consistente es tanto como suponer que la teoría tiene un modelo. No puedes construir un modelo supuesto. Si lo que sabes demostrar es que si T es consistente entonces T1 y T2 son consistentes, tu argumento te permitirá construir un modelo de T1 y otro de T2 partiendo de un supuesto modelo de T.

Ahora supongamos que no sabemos si T es consistente.
Supongamos que hemos mostrado un modelo tanto para T1 o para T2.
¿Esto prueba que T es consistente?
Yo creería que son cosas que no están relacionadas.

Si has encontrado un modelo para T1 o para T2 has probado que tanto ellas como T son consistentes, al menos si tu construcción es admisible metamatemáticamente. Si es una construcción en ZFC, en realidad sólo has probado que en ZFC se demuestra la existencia de un modelo, lo cual no tendría valor alguno si ZFC fuera contradictorio, luego sólo has probado que si ZFC es consistente entonces tus teorías T1, T2 y T son consistentes.

Pero si lo que has probado en ZFC es que a partir de un hipotético modelo de T puedes construir modelos de T1 o T2, entonces no has probado siquiera la consistencia de T1 o T2, ni la de T. Lo que has probado es que si ZFC es consistente y T es consistente, entonces T1 y T2 son consistentes.

Nada impide que yo exhiba un modelo concreto que satisfaga ciertos axiomas.

Según qué axiomas.

Lo pongo más gráfico.
El axioma P de las paralelas es compatible con el resto de los axiomas de la geometría, que llamamos teoría G.
Pero no-P también es compatible con G.
De manera que P es indecidible en G.

Sin embargo, existen ejemplos bien concretos de G+P y de G+no-P, se trata de las variedades planas en el primer casa, y las variedades con curvatura en el segundo caso.
Eso no afecta nada a nuestro conocimiento sobre si los axiomas de la geometría son consistentes o no.

Esos modelos, construidos en ZFC, prueban que si ZFC es consistente, los axiomas de la geometría también lo son, puesto que si se pudiera probar una contradicción a partir de esos axiomas, en ZFC podrías demostrar que el modelo que has construido satisface propiedades contradictorias, y eso es una contradicción en ZFC.

¿Por qué no ocurre lo mismo con la hipótesis del continuo?
¿No puedo pensarlo como un axioma del tipo ''de las paralelas'', y exhibir modelos que lo cumplan, y otros que no lo cumplan?
¿Por qué eso tiene que afectar a la consistencia de los axiomas de la teoría de conjuntos?
No le veo la relación.

Es exactamente lo mismo. Puedes demostrar en ZFC que existen modelos que lo cumplan y modelos que no lo cumplan, lo que ZFC "se hace responsable" de la consistencia de la HC: si se pudiera probar que HC no es consistente, la prueba que has encontrado en ZFC de que tiene un modelo se traduciría en una contradicción en ZFC.

En todo caso, según lo que leí en el primer link de topo, parece que Cohen construyó un modelo, a la fuerza, en el que se satisface la negación de la hipotesis del continuo, junto con los otros axiomas de ZFC.
Me gustaría ver esa construcción, a lo mejor es lo que estoy tratando de ver o entender.

Supongo que lo de "a la fuerza" es una confusión por "by forcing". Forcing es el nombre que dan los ingleses a lo que yo llamo "teoría de extensiones genéricas". Es la teoría que permite construir lo que los ingleses llaman también extensiones genéricas [texx]M[G][/texx] a partir de modelos [texx]M[/texx]. Lo llaman forcing porque en la teoría se define una relación [texx]p\Vdash \phi[/texx] que se lee "[texx]p[/texx] fuerza [texx]\phi[/texx]" y que significa que el hecho [texx]p\in G[/texx] "fuerza", "obliga" a que el modelo [texx]M[G][/texx] cumpla la fórmula [texx]\phi[/texx]. Pero no tiene nada que ver con "fuerza". Una vez lo vi traducido por "compulsión", pero no creo que la idea haya cuajado. Prefiero "extensiones genéricas".

Explicar la idea que hay detrás de las extensiones genéricas no es tarea fácil. Quizá algún día me anime, pero tendría que planearlo bastante.
En línea
Fernando Revilla
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 10.578


Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


Ver Perfil WWW
« Respuesta #12 : 27/09/2012, 04:27:12 am »

La cuestión es que un sistema formal es consistente si y solo sí, el sistema tiene un modelo.
El problema es que la primera frase que dices tiene una letra pequeña que permite muchas triquiñuelas de abogado.

Bien, la primera frase es un conocido meta-teorema que se basa en asumir de forma clara e inequívoca el concepto de verdad en una determinada interpretación y por ende, el concepto de satisfacción de una fórmula bien formada. Pero claro, eso de verdad de forma clara e inequívoca roza ciertos círculos viciosos.
En línea

Carlos Ivorra
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 9.081


Ver Perfil WWW
« Respuesta #13 : 27/09/2012, 09:22:04 am »

La cuestión es que un sistema formal es consistente si y solo sí, el sistema tiene un modelo.
El problema es que la primera frase que dices tiene una letra pequeña que permite muchas triquiñuelas de abogado.

Bien, la primera frase es un conocido meta-teorema que se basa en asumir de forma clara e inequívoca el concepto de verdad en una determinada interpretación y por ende, el concepto de satisfacción de una fórmula bien formada. Pero claro, eso de verdad de forma clara e inequívoca roza ciertos círculos viciosos.

Sí, si. No era mi intención rectificar tu afirmación, sino sólo prevenir de las posibles confusiones que ese resultado puede generar en la línea de las dudas que planteaba argentinator. Concretamente, uno puede caer fácilmente en esta paradoja:

1) Una teoría es consistente si y sólo si tiene un modelo.
2) Gödel probó (en ZF) que la clase L de los conjuntos constructibles es un modelo de ZF (de ZFC, de hecho).
3) Por el teorema de incompletitud, si en una teoría aritmética recursiva (como ZF) se puede demostrar su propia consistencia es contradictoria.

Estos tres hechos se pueden ver enunciados tal cual en muchos libros, y uno podría deducir aplicando 1) a 2) que en ZF se puede demostrar la consistencia de ZF, y concluir por 3) que ZF es contradictorio.

Y el fallo está en que la palabra "modelo" empleada en 2) no significa exactamente lo mismo que en 1).
En línea
Fernando Revilla
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 10.578


Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


Ver Perfil WWW
« Respuesta #14 : 27/09/2012, 12:49:30 pm »

All right.
En línea

Raúl Aparicio Bustillo
Pleno*
*****

Karma: +0/-3
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 3.067


Ver Perfil
« Respuesta #15 : 27/09/2012, 19:20:56 pm »

Eso, que nos lo expliquen, porque yo me acabo de enterar que ZF no es consistente.

No será porque lo he dicho yo. Nadie ha demostrado que [texx]ZF[/texx] es consistente, que no es lo mismo que no lo sea. De la misma manera que nadie ha demostrado que la aritmética de Peano lo sea, ni nadie lo demostrará dentro del propio sistema.

Saludos.

Vale, pero aunque sea haciendo dibujitos, creo que los axiomas de la suma y la multiplicación, y lo de que todo número tiene un siguiente, es una idea tan metida en nuestra mente ( y la de que hay un número ( el 0) que es origen no tiene anterior), que podemos imaginarnosla tan claramente, que la negación de los axiomas de Peano me parece más un simple oportunismo que otra cosa.

Otra cosa ya es ZFC, muchos matemáticos la consideran tan obvia como la aritmética de Peano, yo creo que su obviedad queda muy lejos, pero como científico experimental ( que son aquellas ciencias donde todo es aceptable mientras no se demuestre lo contrario ) , sería cínico rechazar ZFC, las teorías físicas que se aplican al universo no tienen más prueba de su consistencia que el que nadie ha encontrado una contradicción en ellas,  si bien , creo que si podemos trabajar con[texx] \mathbb{R}[/texx] en la axiomática más debil posible, deberíamos hacerlo

Hay teorías más debiles que ZFC, ( NFA+AI+AE, por ejemplo) , y parece ser que para el análisis y la teoría de espacios de Hilbert nos devuelven los mismos resultados  ( esto es una conjetura de Carlos Ivorra que demostrada parece que no está, pero yo [no Carlos] creo en una noción intuitiva de conjunto que puede tratar los números rea¡es [ no me hagáis mucho caso, y refutadlo con él). De hecho, creo que el único problema de la infinitiud es cuando la comprobación de cierta hipótesis nos lleva a la comprobación  de la hipótesis ( como en la paradoja de Russell, como en la paradoja del mentiroso), que nos mete en una comprobación sin fin ( no acepto las secuencias infinitas de fórmulas , aunque los matemáticos trabajen sobre ellas)
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!