¿Existe alguna función continua e inyectiva de R^2 a R?

[Champion9999]

Existe f:R^2->R que sea continua e inyectiva?

Saludos

[argentinator]

Busca información sobre la curva de Peano, que lleva el segmento unidad en forma biyectiva sobre el cudrado unidad en forma continua. Podrias adapatarlo a todo R^2.

[León]

La curva de Peano no sirve porque no es abierta -su inversa no es contínua. Te debés haber confundido con el otro desafío que puso Champion...

En este la respuesta es no (no existe). ¿Alguien arrima una demostración?

[el_manco]

Hola.
 Vaya por delante: me encantan las matemáticas.

 NO existe ninguna función continua e inyectiva de R^2 a R. Se puede demostrar elegantemente por conexión.

P.D. Respecto a porqué no vale la inversa de la aplicación de Peano, remito al otro problema que propuso Champion, sobre la existencia de una aplicación sobreyectiva de R en R^2.

Saludos.

[sebasuy]

Hola el_manco

Voy copiar tu argumento para tenerlo como referencia, si se me permite.

Supongamos que existe una función f:IR2-->IR continua e inyectiva.
Sea y un pto. cualquiera de IR. La imagen inversa f-1(y) es un único pto de IR por ser inyectiva.

Ahora IR2-{x} es un conjunto conexo, pero su imagen f(IR2-{x})=IR-{y} no es conexa.

Pero la imagen continua de un conexo ha de ser conexa: CONTRADICCIóN.

Lo que yo no entiendo porqué f(IR2-{x})=IR-{y} pues no sabemos nada de la sobreyectividad.

SebasUy

[el_manco]

Hola

  Tengo poco tiempo ahora. Pero buena critica SebasUy, aunque la arreglamos fácil.

 Restringimos la aplicacion a una bola cerrada de R^2. La imagen es un compacto conexo que no puede ser un punto. Es por tanto un intervalo cerrado [a,b].

 Tenemos la aplicación restricción:

Bola cerrada ------>[a,b]

que ahora es continua y biyectiva. Ahora si podemos alpicar el argumento de conexion que explique en el PDF.

Saludos.