Raíz de un polinomio

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Jabato:
Pues que yo sepa no existe un método para resolver este tipo de problemas, algo así como el "metodo de fulano", no existe, solo es conocer las propiedades de los polinomios y aplicarlas.

Tienes razón, se me coló un error tonto al multiplicar los polinomios, eso me pasa por hacer las operaciones de cabeza aprisa y corriendo, pero bueno no fué grave creo.

Respecto a la conjugada de un polinomio que yo sepa tampoco existe, pero el sentido en que yo usé la palabra conjugada no fué ese sino el de la conjugada de una expresión irreacional, en el mismo sentido en que se suele hacer al racionalizar fracciones irracionales con la parte irracional en el denominador, ya me entiendes.

Respecto a tu última pregunta quizás el método que apuntó leviatán sea el más efectivo como método general, aunque el mío, a base de multiplicar por los "conjugados irracionales" tampoco es manco.

Saludos, Jabato. ;D

leviatan:
Me parece que es posible encontrar un método general....

1) Podemos observar que una raiz () del polinomio es la suma de radicales (N = número de radicales)..., luego, todas las conjudas serán también raíces...!  (NOTA: )

2) Entonces, si "contamos" dicha raiz más todas las conjugadas que encontremos... Ese número nos indicará el grado del polinomio mínimo...!

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Por ejemplo: Sea: una raíz. Entonces se podrán encontrar 7 (siete) conjugadas, haciendo un total de 8 (ocho raíces)...! . Estas raíces tendrán una distribución de signos siguiente:

                                           +   +   +
                                           +   +   -
                                           +   -   +
                                           +   -   -
                                           -   +   +
                                           -   +   -
                                           -   -   +
                                           -   -   -

Además, las ocho raices indican que el polinomio mínimo será de octavo grado...!!!


3) Por existir radicales el polinomio encontrado P(x) será par: P(x) = P(-x)

4) En consecuencia, se podrá escribir en la forma: .  Donde y donde N = número de radicales (ver 1)
y donde son cualesquiera "k" raices de P(x) (siempre que )...!
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Ejemplo: Si    . Entonces basta tomar una conjuda. Por ejemplo: (Ya que sólo se necesita... raíces (cuyos cuadrados son distintos entre sí))

Entonces podemos escribir:



Que al desarrollar se obtiene:


P.D.: Empleando el método indicado arriba, encuentro que:

a) Para el polinomio es:

b) Para , el polinomio es:

Un par de propiedades interesantes:

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1) P(0)  es un número cuadrado perfecto (En el caso a) P(0) = 9 y en el caso b) P(0) = 576)

2) El cambio de variable: reduce el grado de la ecuación a la mitad

Ejemplo:  Para el caso en que tenemos Donde

y para el caso : , tenemos: Donde: [/b]

Saludos...!!!

bepro:
Para calcular el grado del polinomio miinimo de una ecuación se utiliza generalmente las extensiones de un campo en la teoria de Galois...... si el campo tiene sólamente dos elementos como es el caso utilizamos lo siguiente: como el polinomio tiene como raiz Lo elevamos al cuadrado y obtenemos, volvemos a elevar al cuadrado y obtenemos y como entonces el polinomio minimo sobre Q es: y es de grado 4. No existe un método general para determinar el polinomio mínimo. Podemos utilizar la ley de la torre de la teoria de Galois, para calcular en Q el grado del polinomio minimo de
Saludos

Jabato:
Creo que resolver el problema de forma general puede ser bastante complicado, ya que, por ejemplo, no existe un tal polinomio que presente como raíz a números tan conocidos como los números ó . Estos números no son algebraicos (son transcendentes) y no pueden ser raíces de un polinomio con coeficientes enteros, eso de entrada.

Saludos, Jabato.

yoyontzin:
Si, el método general sale usando el grupo de Galois de tal elemento que ha de ser algebraico, tomando en cuenta que el polinomio mínimo de dicho elemento tiene como raices los conjugados bajo el grupo de galois.

En este caso particular tenemosque . Como automorfismos de   que fijan   tenemos es el que manda y fija al resto, y fija al resto, y la identidad.

Entonces otras raíces del polinomio mímimo de son . 

Este es el método general:  Encontrar una extensión en donde el elemento viva, y entonces aplicarle a este elemento todos los automorfismos de ese campo que fijan a los racionales para obtener todas las raíces del polinomio, luego se encuentra el polinomio.

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