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edge

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grupos y subgrupos

« : 21/02/2009, 07:00:40 pm »

Les agradecería si me ayudan con este ejercicio:

Si G es el grupo en el cual para tres enteros consecutivos i , pruébese que G es abeliano.


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J. H. Stgo

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Quid, me anxius sum?

Re: grupos y subgrupos

« Respuesta #1 : 23/02/2009, 01:42:47 pm »

Supongamos que

son los tres enteros consecutivos en cuestión y consideremos para $a, b \in G$ , arbitrarios, la igualdad,

$\begin{eqnarray} ab = (ab)^{-(i+1)}(ab)^{(i+2)}. \end{eqnarray}$

Como

$\begin{eqnarray*}(ab)^{-(i+1)}(ab)^{(i+2)} = ((ab)^{-1})^{i+1}a^{i+2}b^{i+2} = (b^{-1})^{i+1}(a^{-1})^{i+1}a^{i+2}b^{i+2} = (b^{-1})^{i+1}ab^{i+2},\end{eqnarray*}$

se sigue de

que:

$b^{i+1}ab = ab^{i+2}.$

Luego, $b^{i}ba = b^{i+1}a = ab^{i+1} = abb^{i}$ . El resultado se obtiene ahora de las igualdades previas. En efecto:

$\begin{eqnarray*} ab &=& b^{i}bab^{-i}\\ &=& b^{i+1}ab^{-i}\\ &=& b^{i+1}a^{i+1}a^{-i}b^{-i}\\ &=& (ba)^{i+1}(a^{-1})^{i}(b^{-1})^{i}\\ &=& (ba)^{i+1}(a^{-1}b^{-1})^{i}\\ &=& (ba)^{i+1}((ba)^{-1})^{i}\\ &=& ba \end{eqnarray*}$

y sería.

Espero que esto te sea de ayuda. Hasta pronto... :guiño:


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Re: grupos y subgrupos

« Respuesta #2 : 23/02/2009, 10:39:53 pm »

gracias hermano creo que era lo que necesitaba


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alejandra

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Re: grupos y subgrupos

« Respuesta #3 : 21/08/2012, 08:59:27 pm »

Cita de: J. H. Stgo en 23/02/2009, 01:42:47 pm

$\begin{eqnarray*}(ab)^{-(i+1)}(ab)^{(i+2)} = ((ab)^{-1})^{i+1}a^{i+2}b^{i+2} = (b^{-1})^{i+1}(a^{-1})^{i+1}a^{i+2}b^{i+2} = (b^{-1})^{i+1}ab^{i+2},\end{eqnarray*}$

Cómo te aseguras que $((ab)^{-1})= (b^{-1})(a^{-1})$ ?

Gracias


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Tanius

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Re: grupos y subgrupos

« Respuesta #4 : 21/08/2012, 09:14:26 pm »

Eso es porque $ab(b^{-1}a^{-1})=e$ , luego como el inverso de un elemento es único, tenemos $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ .

Un saludo


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alejandra

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Re: grupos y subgrupos

« Respuesta #5 : 21/08/2012, 09:16:02 pm »

gracias!


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