Como probar el resultado de esta suma?

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Paul Erdos:
Hola , la siguiente suma sé que el resultado es cero , pero como se prueba?
 :banghead:
[texx]\displaystyle\lim_{N\to{+}\infty}{\displaystyle\frac{1}{2N+1}\displaystyle\sum_{n=-N}^N{cos(\displaystyle\frac{\pi n }{2})}}[/texx]

Fernando Revilla:
Puedes determinar la suma [texx]S_1[/texx] que aparece considerando la paridad de la función coseno e igualando partes reales en la expresión [texx]\displaystyle\sum_{k=1}^n{e^{(k\pi/2)i}}=S_1+S_2i[/texx].

Saludos.

Paul Erdos:
Pero como , con la suma geométrica no se puede ya que [texx]\left |{e^{(k\pi/2)j}}}\right |=1[/texx]  ?¿

Fernando Revilla:
Cita de: Paul Erdos en 13/02/2009, 11:56:54 am

Pero como , con la suma geométrica no se puede ya que [texx]\left |{e^{(k\pi/2)j}}}\right |=1[/texx]  ?¿


La razón es [texx]e^{i\pi/2}=i\neq{1}[/texx]. Si aplicas la formula de la suma de los términos de una progresión geométrica te saldrá [texx]\displaystyle\sum_{k=1}^n{e^{(k\pi/2)i}}=\ldots=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\cos (\pi(n-1)/2) +i\sen ( \pi(n-1)/2)-1\right][/texx].
Entonces, [texx]\displaystyle\sum_{k=-n}^n{\cos \displaystyle\frac{k\pi  }{2}}}=1+2\displaystyle\sum_{k=1}^n{\cos \displaystyle\frac{k\pi  }{2}}}=\cos \displaystyle\frac{\pi(n-1)}{2}[/texx]. Ahora es facil demostrar que el límite es [texx]0[/texx].

Saludos.

Editado: hay un error de operación, hay que cambiar el [texx]1/2[/texx] por [texx](1-i)/2[/texx]. No corrijo el resto pues el esquema es el mismo. Phidias.

Paul Erdos:
Hola , hay algo que no me cierra , vos pusiste:
[texx]\displaystyle\sum_{k=1}^n{e^{(k\pi/2)i}}=\ldots=\displaystyle\frac{1-i}{2}\left[\cos (\pi(n-1)/2) +i\sen ( \pi(n-1)/2)-1\right][/texx]

Traté de verificar la igualdad que vos pusiste en el Mathematica y no dá , además en una serie geométrica el módulo de la razón debe ser menor que uno , en este caso es igual a uno por eso no converge .

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