Hola.
Consideremos el triedro [texx]OABC[/texx], supongamos que [texx]m\angle BOC=\alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2}[/texx], [texx]m\angle AOC=\beta[/texx] y [texx]m\angle AOB=\theta[/texx] como se muestra en la siguiente figura
Mostremos por ejemplo que [texx]\alpha<\beta+\theta[/texx], observa que bastara mostrar que [texx]\alpha_{1}<\beta[/texx], pues análogamente se puede mostrar que [texx]\alpha_{2}<\theta[/texx] y sumando se obtiene lo que queremos.
Notemos también que si [texx]\beta\geq90^{\circ}[/texx] la desigualdad que queremos es clara pues siempre [texx]\alpha_{1}<90^{\circ}[/texx]. Supongamos entonces que [texx]r=OP[/texx] y [texx]\beta<90^{\circ}[/texx], entonces [texx]OC=r\cos\alpha_{1}[/texx], luego [texx]OA=\dfrac{OC}{\cos\beta}=r\dfrac{\cos\alpha_{1}}{\cos\beta}[/texx], entonces en el triángulo rectángulo [texx]OAP[/texx] tenemos que
[texx]1<\dfrac{OA}{OP}=\dfrac{r\dfrac{\cos\alpha_{1}}{\cos\beta}}{r}=\dfrac{\cos\alpha_{1}}{\cos\beta}[/texx],
de donde deducimos que [texx]\cos\beta<\cos\alpha_{1}[/texx] y por tanto [texx]\alpha_{1}<\beta[/texx] como queríamos mostrar.
Saludos.
