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Autor Tema: Hallar área y perímetro de un paralelogramo  (Leído 2860 veces)
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lipman
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« : 30/01/2009, 07:54:51 am »

El enunciado dice así:
Las diagonales de un paralelogramo miden 20 y 16 cm, respectivamente, y uno de los ángulos que forman al cortarse mide 120º. Halla el área y perímetro del mismo.

Adjunto un dibujo que hice a paint en el que lo tengo mas o menos bien colocado y creo que se entiende.

Del enunciado he podido deducir los otros dos ángulos que se forman al cortar las diagonales (60º cada uno)

Pero no veo como sacar los lados, ni los ángulos a partir de esos datos. Teorema del seno y coseno, descartados hasta que tenga más datos. Creo que si pudiera saber la longitud de las diagonales al ser cortadas podría hacer un sistema para sacar una altura, y más tarde con ella hayar un lado. Pero no lo veo nada claro....

Un saludo y gracias.

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« Respuesta #1 : 30/01/2009, 10:48:09 am »

Hola lipman


Repasa la definición de paralelogramo, tu dibujo es cualquier cosa menos eso ahí tienes la clave para resolver tu problema.

Ah! para hacer dibujos tenemos en el foro una herramienta muy útil Geogebra.

Saludos
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lipman
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« Respuesta #2 : 30/01/2009, 02:29:37 pm »

Vale, el problema era ese, que no sabia muy bien que era, y además me he leido las propiedades para que se me queden en la cabeza, que se me olvidaron.

Sin embargo me da de resultado una cosa curiosa, que no se si es normal o no.

Al dividir el paralelogramo en 4 partes (por culpa de las dos diagonales) me sale que el área de cada parte es igual en los cuatro. Suponia que fuera igual 2 a 2 pero me ha salido que las cuatro tienen el mismo área. ¿Es posible?

DISCULPE, LA APLICACIÓN EMBEBIDA GeoGebra NO PUDO INICIARSE. POR FAVOR, ASEGÚRESE DE TENER INSTALADO Y ACTIVADO EN SU NAVEGADOR JAVA 1.4.2 (o posterior) (Toque aquí para instalar Java ahora.)

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« Respuesta #3 : 30/01/2009, 10:26:54 pm »

Hola

Tienes que repasar un poco la geometria elemental, ese resultado no deberia haberte sorprendido, en el paralelogramo, que puedes ver bajo el Spoiler, ABCD, en el que tienes las diagonalesAC y BD así como dos ejes uno horizontal, h, paralelo a los lados AD y BC y otro inclinado,p, paralelo a los lados AB y CD; vamos a comparar los triángulos BOC y AOB.
Nota que cada uno de ellos es suma de otros dos, así

                   BOC=CFO+FOB       y            AOB=AOG+GOB
Es fácil demostrar que

                    CFO=AOG (1)            y             FOB=GOB (2)

Los indicados en (1) tienen:

CF=OG  y CO = AO  además y
con dos lados y dos ángulos iguales, los triángulos son iguales.

La demostración de (2) es más evidente, si observas cada uno de esos triángulos son la mitad del paralelogramo OGBF.

Demostrados (1) y (2) podemos concluir que los triángulos

                             BOC= AOB
Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Saludos

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« Respuesta #4 : 31/01/2009, 05:52:51 am »

Hay otra forma para verificar que el área de los 4 triángulos es la misma. Piensa que el área de cada uno de ellos puede calcularse como el semiproducto de dos cualesquiera de sus lados multiplicado por el seno del ángulo que forman:

         por ser         

entonces resulta que el área de los 4 triángulos es la misma, e igual a la cuarta parte del área del paralelogramo, que vale:




Y ahora puedes aplicar el teorema del coseno para determinar los lados y del paralelogramo:


                 


datos que te permiten calcular su perímetro:



Saludos, Jabato.
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« Respuesta #5 : 11/02/2009, 03:04:06 pm »

Muchas gracias a ambos, ya lo entiendo bastante mejor  :cara_de_queso:, aunque me ha costado pillar toda la demostración pero la he entendido ^^
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