Curvas ortogonales

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gaston:
Que tal queria ver si me pueden ayudar con este ejercicio, dice así:

Demostrar que la familia de curva dada es ortogonal a si misma
[texx]Y^2=4Cx+4(C^2)[/texx]


Hice lo siguiente:

derive:   [texx]2yy'=4C[/texx]

despeje C:   [texx]C=yy'/2[/texx]

reemplace en la ecuación inicial:   [texx]y^2=2yy'.x+y^2y'^2[/texx]


Ahora no se como seguir, intenté despejar y' pero no pude, que debo hacer?
Gracias




























Jabato:
Dos familias de curvas ortogonales satisfacen en cada punto la condición:

[texx]y_1'\cdot y_2'=-1[/texx]

Cuando es el mismo haz el que es ortogonal a si mismo entonces, si la ecuación del haz es:

[texx]F(x,y,y')=0[/texx]

entonces al substituir [texx]y'[/texx] por [texx]-\displaystyle\frac{1}{y'}[/texx] obtenemos en general la ecuación de familia ortogonal, que debe coincidir con el propio haz resultando:

[texx]F(x,y,-\displaystyle\frac{1}{y'})=0\qquad\longrightarrow{}\qquad F(x,y,y')=0[/texx]

En el caso que nos ocupa la ecuación del haz original es:

[texx]y^2=2xyy'+y^2y'^2[/texx]

que tu mismo obtuviste correctamente y al realizar la substitución [texx]y' \longrightarrow{} -\displaystyle\frac{1}{y'}[/texx] obtenemos:

[texx]y^2=-\displaystyle\frac{2xy}{y'}+\displaystyle\frac{y^2}{y'^2}[/texx]       ó bien multiplicando por [texx]y'^2[/texx] y reordenando términos resulta      [texx]y^2=2xyy'+y^2y'^2[/texx]

que es el haz ortogonal al primero, pero se observa que su ecuación vuelve a coincidir con la del haz original al ser sus ecuaciones idénticas. Por lo que deducimos que la familia original es ortogonal a si misma.


Saludos, Jabato.

gaston:
Muchas gracias por tu ayuda Jabato, estaba intentando despejar y', pero veo que no hacia falta.
Un saludo grande














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