Curvas ortogonales

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gaston:
Que tal queria ver si me pueden ayudar con este ejercicio, dice así:

Demostrar que la familia de curva dada es ortogonal a si misma



Hice lo siguiente:

derive:   

despeje C:   

reemplace en la ecuación inicial:   


Ahora no se como seguir, intenté despejar y' pero no pude, que debo hacer?
Gracias




























Jabato:
Dos familias de curvas ortogonales satisfacen en cada punto la condición:



Cuando es el mismo haz el que es ortogonal a si mismo entonces, si la ecuación del haz es:



entonces al substituir por obtenemos en general la ecuación de familia ortogonal, que debe coincidir con el propio haz resultando:



En el caso que nos ocupa la ecuación del haz original es:



que tu mismo obtuviste correctamente y al realizar la substitución obtenemos:

       ó bien multiplicando por y reordenando términos resulta     

que es el haz ortogonal al primero, pero se observa que su ecuación vuelve a coincidir con la del haz original al ser sus ecuaciones idénticas. Por lo que deducimos que la familia original es ortogonal a si misma.


Saludos, Jabato.

gaston:
Muchas gracias por tu ayuda Jabato, estaba intentando despejar y', pero veo que no hacia falta.
Un saludo grande














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