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Autor Tema: Ejercicio de geometría  (Leído 5400 veces)
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beatle1980
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« : 11/12/2005, 05:26:22 pm »

tengo un ejercicio medio difícil

tengo un triángulo ABC

y tengo que hallar D y E,

D sobre  AC

E sobre BC

tal que AD = DE = BE




gracias

Luis

* ejercicio.GIF (5.89 KB - descargado 317 veces.)
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sebasuy
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« Respuesta #1 : 12/12/2005, 12:04:52 am »

Sugerencias (y algo más...)

Hola. Me he tomado el atrevimiento  :malvado: de agregarle algunas partes a tu problema, de este modo me practico para cuando tenga que ponerle ejercicios a mis futuros alumnos. La respuesta al original está en la parte c) -sólo espero no haber pifiado en los cálculos-

En el [texx]\triangle ABC[/texx] consideramos [texx]F\in[A,B][/texx] y [texx]E\in[C,A][/texx] tales que [texx]x=\overline{BF}=\overline{FE}=\overline{CE}[/texx].
Sea [texx]I [/texx] el incentro del [texx]\triangle ABC[/texx]. Supongamos que las bisectrices interiores de [texx]\angle BFE [/texx] y [texx]\angle CEF [/texx] se corten en [texx]K[/texx]. LLamemos [texx]O[/texx] al circuncentro del [texx]\triangle FKE[/texx] y sea [texx]H[/texx] su ortocentro.
(a) Prueba que los puntos [texx]O[/texx], [texx]I[/texx] y [texx]K[/texx] están alineados.
(b) Demuestra que los puntos [texx]B[/texx], [texx]H[/texx], [texx]I[/texx] y [texx]C[/texx] son concíclicos.
(c) Comprueba que, si hay solución, como en el caso de la figura, que

[texx](b^2+c^2-bc-a^2)\cdot x^2+(b+c)(a^2+2\:bc-b^2-c^2)\cdot x+a^2bc=0[/texx]

(d) Analiza los casos en que [texx]\angle BAC\leq 90^{\circle}[/texx]; en particular cuando
[texx]\angle BAC=60^{\circle}[/texx].

Que lo disfrutes,

SebasUy  :sonrisa_amplia:



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« Respuesta #2 : 12/12/2005, 12:56:41 pm »

Me resulta un lindo problema -y se ve que a Sebastián lo entusiasmó/inspiró también :)

Agrego que si te interesa solamente la construcción geométrica (con regla y compás), podés tratar de fabricarte de cualquier manera que se te ocurra tres segmentos consecutivos de la misma longitud (cualquier longitud), el pimero paralelo a AB y el tercero a AC.  [Me faltó: para que esta idea sirva es necesario que el primer segmento empiece y el tercero termine en la recta BC -o una paralela]. Errata: en la aclaración decía por error AC donde ahora puse BC, que es lo que va.
Una vez que los tengas, te falta trasladarlos y 'escalarlos' para apoyarlos sobre el triángulo original.
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« Respuesta #3 : 12/12/2005, 02:36:58 pm »


No estoy seguro de haber "visto" la solucion en sus comentarios (sebasuy, leon).

Leon: Me parece que aun tienes un angulo con el que puedes "jugar".
O dicho de otro modo:
El hecho de que encuentres tres segmentos consecutivos de igual magnitud, siendo dos de ellos paraleos a los lados del triangulo, no garantiza que puedas escalarlos para ponerlos en el triangulo original.

Sigo pensando...
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Estas son solo palabras, lo que importa son las conexiones que implican. Pero solo eso puedo enviar.
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« Respuesta #4 : 12/12/2005, 03:06:56 pm »

Si, hace un ratito agregué una aclaración entre corchetes, porque si no lo que decía no se entiende del todo. Seguro que leiste mi mensaje antes el cambio. Es el corchete que dice: "[Me faltó: para que esta idea sirva es necesario que el primer segmento empiece y el tercero termine en la recta BC -o una paralela]" :P

Pongo una construcción posible:

1) Cortar la semirrecta BA con el círculo de radio AC centrado en B. Ese punto es D'
2) Trazar la recta paralela a BC que pasa por A, llamémosla L'
3) Cortar L' con el círculo de radio AC y centro D'. De ahí tomamos E' (de los dos puntos posibles, E' es el que hace que BD'E' debe sea un angulo menor a llano -¿hay una manera normal de decir eso?).
4) [Este paso no hace falta en el problema original, pero es para completar la construcción] Trasladar el segmento AC tal que el trasladado de A quede sobre E'. El trasladado de C, se puede llamar C'. Ahora BD' , D'E', E'C'  y  son segmentos como los que proponía.

(En lugar del paso cuatro, puede construirse directamente E en el punto de corte entre BE' y AC y terminar la construcción por ahí. La 'escalación' en este caso es una homotecia de centro B).
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« Respuesta #5 : 12/12/2005, 08:00:18 pm »

No estoy seguro de haber "visto" la solución en sus comentarios (sebasuy, leon).

Sigo pensando...

Hola. El mensaje fue movido de lugar, creo que estaba en problemas, ya ni me acuerdo. Al menos eso creí, y por eso no puse explícitamente la solución. Igualmente sugerí, quizás muy discretamente, que la parte (c), en caso de probarla, demuestra que, en efecto, tal construcción es plausible. Las otras partes muestran qué pasa en algunos casos particulares. Por ejemplo, cuando el ángulo vale 60º la ec. pasa a ser de primer grado y tiene una sola raíz. Luego, el caso de 90º lo puse porque me resultó bonito y sirve para ver qué pasa si el ángulo en A es obtuso.
Todo lo otro es un divague, aunque cierto, pero me pareció interesante (como dice León, me entusiasmé) y así lo sumo completo a mi mini-colección de problemitas de geometría euclideana elemental. Puedo adjuntar la solución, si alguien le interesa, después del jueves, porque ando encerrado en casa, pero intentando estudiar otra cosa y no quiero desconcetrarme mucho más.

Un saludo,

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« Respuesta #6 : 12/12/2005, 08:09:12 pm »


Pongo una construcción posible:

1) Cortar la semirrecta BA con el círculo de radio AC centrado en B. Ese punto es D'
2) Trazar la recta paralela a BC que pasa por A, llamémosla L'
3) Cortar L' con el círculo de radio BC y centro D'. De ahí tomamos E' (de los dos puntos posibles, E' es el que hace que BD'E' debe sea un ángulo menor a llano -¿hay una manera normal de decir eso?).
4) [Este paso no hace falta en el problema original, pero es para completar la construcción] Trasladar el segmento AC tal que el trasladado de A quede sobre E'. El trasladado de C, se puede llamar C'. Ahora BD' , D'E', E'C'  y  son segmentos como los que proponía.


Hola León. Si tuvieras tiempo y ganas, estaría bueno que adjuntes un dibujo porque intenté seguir tu receta para hacer "pan dulce" (ya es diciembre) y me salió "ensalada rusa". No tengo mucho tiempo para detectar mi fallo o...

Gracias,

SebasUy
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« Respuesta #7 : 13/12/2005, 01:37:01 am »

Ahí va.


Las construcciones geométricas de otros son una porquería de leer (para mi, al menos)...

El triángulo ABC es dato. El orden de construcción es,

1) D' (tal que BD' mida lo que CA)
2) La recta L', paralela a BC y que pasa por A
3) El punto E', en la intersección de esa recta, y el círculo que le toca, tal que D'E' mida también lo mismo que CA.
4) El punto C' (realmente inncesario, trasladando el segmento AC).

Esto era de lo que hablaba, los tres segmentos verdes miden lo mismo, el primero es paralelo a BA, el tercero es paralelo a AC y termina sobre la recta BC (AE'C'C es un paralelogramo).

5) Ahora hay que achicar las cosas. Con E' se obtiene E. Con E se obtiene D (tal que ED sea paralela a E'D'). La figura BDEC es semejante a BD'E'C' así que las tres zancadas miden lo mismo.


* tres_zancadas.JPG (22.59 KB - descargado 158 veces.)
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« Respuesta #8 : 13/12/2005, 09:19:55 am »

Pongo una construcción posible:
1) Cortar la semirrecta BA con el círculo de radio AC centrado en B. Ese punto es D'
2) Trazar la recta paralela a BC que pasa por A, llamémosla L'
3) Cortar L' con el círculo de radio BC y centro D'. De ahí tomamos E' (de los dos puntos posibles, E' es el que hace que BD'E' debe sea un angulo menor a llano -¿hay una manera normal de decir eso?).

Hola León. Justamente, le pifiaste en una letra y por eso me daba cualquier cosa. En 3) debería decir pues "Cortar L' con el círculo de radio AC..."

¡Excelente! Un saludo,

SebasUy
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« Respuesta #9 : 13/12/2005, 01:10:27 pm »

Hola León. Justamente, le pifiaste en una letra y por eso me daba cualquier cosa. En 3) debería decir pues "Cortar L' con el círculo de radio AC..."

Uy, cierto. Y eso que lo releí un par de veces. Perdón, che (ya lo corregí arriba).
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« Respuesta #10 : 14/12/2005, 04:35:21 am »

tengo un ejercicio medio difícil

tengo un triángulo ABC

y tengo que hallar D y E,

D sobre  AC

E sobre BC

tal que AD = DE = BE


AD = DE = BE como es D sobre AC y E sobre BC? .... :¿eh?:

...

* GEO.jpg (19.87 KB - descargado 494 veces.)
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« Respuesta #11 : 14/12/2005, 11:51:51 am »

Si, es que el esquema que posteó Luis con el ejercicio tiene las letras rotadas (A es B, B es C y C es A :P) pero  es el mismo problema -a mi me mareó un poco también.

El dibujo que hacés vos es de otro problema parecido (si fuera para el problema de Luis D debería estar por donde está E y E debería estar sobre la recta BC -aunque quizás fuera del segmento BC).
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