Clasificación de una Integral impropia.

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nico:
Hola quiero clasificar a las siguientes impropias.

1. [texx]\displaystyle\int_{0}^{+\infty}(e^{-t})^2 sen(t^{\alpha})t^{\alpha}[/texx]

2. [texx]\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\displaystyle\frac{cos(t)}{log(t)} dt[/texx]



Gracias desde yá saludos.


Fernando Revilla:
Para la segunda: [texx]\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\displaystyle\frac{\cos t}{\log t} dt=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}{u_n}\;(*)[/texx] siendo [texx]u_n=\displaystyle\int_{(n+1)\pi/2}^{(n+2)\pi/2}f(t)\;dt[/texx] con [texx]f(t)=\displaystyle\frac{\cos t}{\log t}[/texx]. Es facil verificar que la serie [texx](*)[/texx] es alternada, que [texx]\left(\left |{u_n}\right |\right)_{n\geq{1}}[/texx] es monótona decreciente y que [texx]\lim_{n \to{+}\infty}{\left |{u_n}\right |}=0[/texx]. Aplicando el criterio de Leibnitz, obtendrás que la integral es convergente.

Saludos.


Fernando Revilla:
Para la primera. Llamemos [texx]I=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}(e^{-t})^2 \sen (t^{\alpha})t^{\alpha}\;dt[/texx]. El cambio [texx]x=2t[/texx] transforma la integral en [texx]I=\displaystyle\frac{1}{2^{\alpha +1}}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}(e^{-x} \sen ((x/2)^{\alpha})x^{\alpha}\;dx[/texx]. Por otra parte, [texx]\left |{I}\right |\leq{\displaystyle\frac{1}{2^{\alpha +1}}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-x}\left |{\sen ((x/2)^{\alpha})}\right |x^{\alpha}\;dx}\leq \displaystyle\frac{1}{2^{\alpha +1}}\Gamma (\alpha +1)[/texx]. Aplicando el conocido resultado acerca de la convergencia de la integral gamma, la integral dada es absolutamente convergente para [texx]\alpha >-1[/texx].

Saludos.

P.D. Intuyo que en el problema te restringian los valores del parámetro [texx]\alpha[/texx]. Caso contrario, confírmalo y estudiamos los restantes casos.

nico:
Hola .

Si alfa es myor a cero , entonces quiere decir que la integral converge para todo alfa mayor a cero.

Gracias.

Saludos...

Fernando Revilla:
Cita de: nico en 21/11/2008, 12:04:05 pm

Si alfa es myor a cero , entonces quiere decir que la integral converge para todo alfa mayor a cero.


Si, converge para todo [texx]\alpha >0[/texx]. Me alegra saber que mi sospecha era cierta.

Saludos.

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