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Autor Tema: Dimensión fractal de un conjunto  (Leído 4869 veces)
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« : 13/11/2008, 06:54:42 pm »

Hola a todos, por favir ayudenme, estoy leyendo el libro Fractals Everywhere de Barnsley, y estoy leyendo la parte de dimensión fractal, resumiendo dice asi:

Sea [texx](X,d)[/texx] un espacio métrico completo, sea [texx]A\in{H(X)}[/texx] un subconjunto compacto no vacio de [texx]X[/texx]. Sea [texx]\epsilon>0[/texx], y la bola cerrada de radio [texx]\epsilon[/texx] con centro en el punto [texx]x\in{X}[/texx] definamos el numero [texx]N(A,\epsilon)[/texx] como el menor numero de bolas cerradas de radio [texx]\epsilon[/texx] necesarias para cubrir al conjunto [texx]A[/texx], esto es:
[texx]N(A,\epsilon)=[/texx]el menor entero positivo [texx]M[/texx] talque [texx]A\subseteq{\displaystyle\bigcup_{n=1}^{M}{B[x_n,\epsilon]}}[/texx].

Me dice que el conjunto [texx]A[/texx] tiene dimensión fractal [texx]D[/texx] si:
[texx]\boxed{N(A,\epsilon)\approx{C\epsilon^{-D}}\,\, para \,\,alguna\,\, constante\,\, positiva\,\, C}[/texx]
.....(*)

Donde si [texx]f(\epsilon)[/texx] y [texx]g(\epsilon)[/texx] son funciones reales de la variable positiva [texx]\epsilon[/texx], [texx]f(\epsilon)\approx{g(\epsilon)}[/texx] quiere decir que
[texx]\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\left\{{\displaystyle\frac{ln(f(\epsilon))}{ln(g(\epsilon))}}\right\}}=1[/texx]
Y dice, de (*), obtenemos que [texx]D\approx{\displaystyle\frac{ln(N(A,\epsilon))-lnC}{ln(1/\epsilon)}}[/texx], y no se como sale esto.

Suponiendo que [texx]\approx{}[/texx] como la igualdad, si puede despejar, y obtener precisamente eso, ¿pero es asi? o  sea que si [texx]f(x)\approx{g(x)-h(x)}[/texx], entonces [texx]f(x)+h(x)\approx{g(x)}[/texx], pero eso no se cumple siempre, tambien intente por la definicion de límite, pero no obtengo resultados útiles, por favor ayudenme, muchas gracias.

PD:Un ejemplo que no entiendo, si [texx]A=[0,1][/texx], ¿cómo pruebo que [texx]N(A,\epsilon)=-[-1/\epsilon][/texx], donde [texx]
  • [/tex]denota el maximo entero de [texx]x[/texx]?
    No sé como hacerlo, otra vez muchas gracias.
[/texx]
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Llovizna queriendo ser lluvia de verano
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« Respuesta #1 : 13/11/2008, 07:52:09 pm »

De la equivalencia entre las dos expresiones:

[texx]\boxed{N(A,\epsilon)\approx{C\epsilon^{-D}}\,\, para \,\,alguna\,\, constante\,\, positiva\,\, C}[/texx]

se deduce esta otra igualdad, por propia definición:

[texx]\displaystyle\lim_{\epsilon \to 0}{}N(A,\epsilon)=\displaystyle\lim_{\epsilon \to 0}C\epsilon^{-D}}[/texx]

y de ésta, tomando logaritmos y despejando [texx]D[/texx], se deduce esta otra:

[texx]D=\displaystyle\lim_{\epsilon \to 0}\displaystyle\frac{ln(N(A,\epsilon))-lnC}{ln(1/\epsilon)}[/texx]

ó bien, rehaciendo la equivalencia:

[texx]D\approx{\displaystyle\frac{ln(N(A,\epsilon))-lnC}{ln(1/\epsilon)}}[/texx]

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #2 : 13/11/2008, 08:19:27 pm »

Hola, muchas gracias Jabato, a ver te sigo, tu me corriges porfa:

estoy aca [texx]D=\displaystyle\lim_{\epsilon \to 0}\displaystyle\frac{ln(N(A,\epsilon))-lnC}{ln(1/\epsilon)}[/texx], tomo logaritmo natural a ambos lados,
[texx]lnD=ln\left\{{\displaystyle\lim_{\epsilon \to 0}\displaystyle\frac{ln(N(A,\epsilon))-lnC}{ln(1/\epsilon)}}\right\}[/texx], en el lado derecho entra el logaritmo y tengo

[texx]lnD=\displaystyle\lim_{\epsilon \to 0}ln\left\{{\displaystyle\frac{ln(N(A,\epsilon))-lnC}{ln(1/\epsilon)}}\right\}[/texx], tomo limite cuando [texx]\epsilon\rightarrow{0}[/texx] a ambos lados
[texx]\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{lnD}=\displaystyle\lim_{\epsilon \to 0}ln\left\{{\displaystyle\frac{ln(N(A,\epsilon))-lnC}{ln(1/\epsilon)}}\right\}[/texx], como los limites existen, hago la division.

[texx]\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\left\{{\displaystyle\frac{lnD}{ln\left\{{\displaystyle\frac{ln(N(A,\epsilon))-lnC}{ln(1/\epsilon)}}\right\}}}\right\}}[/texx] y por la definicion de [texx]\approx{}[/texx] esto nos dice que:
[texx]D\approx{\displaystyle\frac{ln(N(A,\epsilon))-lnC}{ln(1/\epsilon)}}[/texx]


pucha que muchas gracias, no estaba tan dificil despues de todo jejeje, abusando de tus conocimientos, me ayudas en el ejemplo que no entiendo porfa, gracias, cuidateeeeee
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Llovizna queriendo ser lluvia de verano
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« Respuesta #3 : 13/11/2008, 08:36:21 pm »

Esta noche ya es tarde, que mañana me levanto pronto. Quizás mañana lo intente.

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #4 : 13/11/2008, 11:22:27 pm »


se deduce esta otra igualdad, por propia definición:

[texx]\displaystyle\lim_{\epsilon \to 0}{}N(A,\epsilon)=\displaystyle\lim_{\epsilon \to 0}C\epsilon^{-D}}[/texx]

Esa expresión de límites no es correcta...
Lo que sigue después de esa línea en tu post sí sería lo correcto.
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« Respuesta #5 : 14/11/2008, 12:18:55 am »

UYYY, a ver, en primer lugar muchas gracias argentinator por tu ayuda, de la definicion tengo:
como [texx]N(A,\epsilon)\approx{C\epsilon^{-D}}[/texx], entonces por definicion tengo:
[texx]\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\left\{{\displaystyle\frac{ln(N(A,\epsilon))}{ln(C\epsilon^{-D})}}\right\}}=1[/texx], luego asumiendo que los límites existen

[texx]\displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}ln(N(A,\epsilon))}{\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}ln(C\epsilon^{-D})}=1[/texx]
 pasando al otro lado, tengo

[texx]\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{{ln(N(A,\epsilon))=\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{{ln(C\epsilon^{-D})}[/texx]

[texx]\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{{ln(N(A,\epsilon))=\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{{ln(C)}+D\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\epsilon^{-1}[/texx]

[texx]\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{{ln(N(A,\epsilon))-\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{{ln(C)}=D\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\epsilon^{-1}[/texx]

[texx]\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{{ln(N(A,\epsilon)-ln(C))=D\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{{ln(\epsilon^{-1})}[/texx]

 de donde despejo D y tengo


[texx]D=\displaystyle\lim_{\epsilon \to 0}\displaystyle\frac{ln(N(A,\epsilon))-lnC}{ln(1/\epsilon)}[/texx], tomo logaritmo natural a ambos lados,
[texx]lnD=ln\left\{{\displaystyle\lim_{\epsilon \to 0}\displaystyle\frac{ln(N(A,\epsilon))-lnC}{ln(1/\epsilon)}}\right\}[/texx], en el lado derecho entra el logaritmo y tengo

[texx]lnD=\displaystyle\lim_{\epsilon \to 0}ln\left\{{\displaystyle\frac{ln(N(A,\epsilon))-lnC}{ln(1/\epsilon)}}\right\}[/texx], tomo limite cuando [texx]\epsilon\rightarrow{0}[/texx] a ambos lados
[texx]\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{lnD}=\displaystyle\lim_{\epsilon \to 0}ln\left\{{\displaystyle\frac{ln(N(A,\epsilon))-lnC}{ln(1/\epsilon)}}\right\}[/texx], como los limites existen, hago la division.

[texx]\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\left\{{\displaystyle\frac{lnD}{ln\left\{{\displaystyle\frac{ln(N(A,\epsilon))-lnC}{ln(1/\epsilon)}}\right\}}}\right\}}[/texx] y por la definicion de [texx]\approx{}[/texx] esto nos dice que:
[texx]D\approx{\displaystyle\frac{ln(N(A,\epsilon))-lnC}{ln(1/\epsilon)}}[/texx]


pucha que muchas gracias, no estaba tan dificil despues de todo jejeje, abusando de tus conocimientos, me ayudas en el ejemplo que no entiendo porfa, gracias, cuidateeeeee
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Llovizna queriendo ser lluvia de verano
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« Respuesta #6 : 14/11/2008, 01:57:30 am »

Argentinator ¿Puedes explicar porqué consideras que esta expresión no es correcta?

[texx]\displaystyle\lim_{\epsilon \to 0}{}N(A,\epsilon)=\displaystyle\lim_{\epsilon \to 0}C\epsilon^{-D}}[/texx]


Saludos, Jabato.
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« Respuesta #7 : 14/11/2008, 02:28:45 am »

El límite del lado derecho tiende a infinito.
Esto implicaría que el lado izquierdo también.
Si ahora en vez de poner el exponente D pongo D', para algún D'>D, también obtengo límite infinito.
Y entonces no veo cómo deducir que el número de dimensión es único.
Si esos límites son ciertos para dos valores distintos D y D', ¿cuál de los dos números es la dimensión del conjunto?

Si lo que viene después fuera consecuencia de esa igualdad de límites que has puesto, entonces sería cierto que D = blablabla, y también que D' = blablabla.

Creo que lo correcto es decir que el signo [texx]\approx{}[/texx] significa que el cociente entre las cantidades que figuran a ambos lados tiende a 1, y manejarse siempre con cocientes, para evitar que aparezcan infinitos.

O sea, la igualdad de límites que pusiste era ''cierta en sí misma'', pero me parece incoherente con la noción de dimensión, o sea, no es correcta en el contexto, ni como parte de una inferencia donde se pretenda hallar D.

Saludos
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« Respuesta #8 : 14/11/2008, 02:37:10 am »

UYYY, a ver, en primer lugar muchas gracias argentinator por tu ayuda, de la definicion tengo:
como [texx]N(A,\epsilon)\approx{C\epsilon^{-D}}[/texx], entonces por definicion tengo:
[texx]\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\left\{{\displaystyle\frac{ln(N(A,\epsilon))}{ln(C\epsilon^{-D})}}\right\}}=1[/texx], luego asumiendo que los límites existen

[texx]\displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}ln(N(A,\epsilon))}{\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}ln(C\epsilon^{-D})}=1[/texx]
 pasando al otro lado, tengo

[texx]\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{{ln(N(A,\epsilon))=\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{{ln(C\epsilon^{-D})}[/texx]

[texx]\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{{ln(N(A,\epsilon))=\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{{ln(C)}+D\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\epsilon^{-1}[/texx]

[texx]\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{{ln(N(A,\epsilon))-\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{{ln(C)}=D\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\epsilon^{-1}[/texx]

[texx]\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{{ln(N(A,\epsilon)-ln(C))=D\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{{ln(\epsilon^{-1})}[/texx]

 de donde despejo D y tengo


Esta serie de deducciones no cuadra, porque al separar el límite en el cociente de dos límites se introducen infinitos y se está operando con cosas que no son números, o sea que todo se vuelve falso.
El límite de la definición de dimensión debe manejarse adecuadamente.
Si se va a hacer alguna separación del límite de un cociente, deberá usarse algún criterio, tal como la regla de Lhopital, que en estos casos me parece difícil que sea de utilidad.

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« Respuesta #9 : 14/11/2008, 02:57:20 am »

Hola argentinator, yo tambien tuve esas dudas por eso puse asumiendo que existen,y me falto decir y que tambien sean finitos, a ver si nos das una mano porfa, muchas gracias
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Llovizna queriendo ser lluvia de verano
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« Respuesta #10 : 14/11/2008, 02:59:07 am »

Según la definición de más arriba [texx]N(A,\epsilon)\approx{C\epsilon^{-D}}[/texx] significa que:
[texx]\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\displaystyle\frac{\log(N(A,\epsilon))}{\log(C\epsilon^{-D})}}=1[/texx]
Esto claramente equivale a escribir
[texx]\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\displaystyle\frac{\log(N(A,\epsilon))}{log(C)+D \log(\epsilon^{-1)}}=1[/texx]
También se puede escribir esto ''al revés'', tomando recíprocos:
[texx]\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\displaystyle\frac{log(C)+D \log(\epsilon^{-1)}}{\log(N(A,\epsilon))}=1[/texx]
Distribuimos respecto el cociente:
[texx]\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}\Bigg({\displaystyle\frac{log(C)}{\log(N(A,\epsilon))}+D \frac{\log(\epsilon^{-1})}{\log(N(A,\epsilon))}\Bigg)=1[/texx]

Ahora bien, [texx]\log(N(A,\epsilon)[/texx] es una función no creciente respecto de [texx]\epsilon[/texx], debido a que cuanto más pequeño es el radio [texx]\epsilon[/texx] de las bolas, más grande es el número de bolas necesarias para cubrir el conjunto A (analizarlo con calma).

Por lo tanto [texx]\log(N(A,\epsilon)[/texx] tiende, o bien a un número finito que acota a la función para todo [texx]\epsilon[/texx], o bien tiende a [texx]+\infty[/texx].
En el primer caso, la cantidad [texx]\displaystyle\frac{log(C)}{\log(N(A,\epsilon))}[/texx] tiende a un número finito porque C es contante, y en el segundo caso tiende a 0.
En cualquiera de los dos casos el límite es finito, y por lo tanto es válido separar ese término, escribiendo límites separadamente, así:

[texx]\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\displaystyle\frac{log(C)}{\log(N(A,\epsilon))}+D \displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}\frac{\log(\epsilon^{-1})}{\log(N(A,\epsilon))}=1[/texx].

De aquí sí que puede despejarse D. No sé si da lo que se supone que tiene que dar, pero bueno...

Sigo un poco más.

Paso el término izquierdo a la derecha de la igualdad y reacomodo:

[texx]D \displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}\frac{\log(\epsilon^{-1})}{\log(N(A,\epsilon))}=1-\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\displaystyle\frac{log(C)}{\log(N(A,\epsilon))}=\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\displaystyle\frac{\log(N(A,\epsilon))-\log(C)}{\log(N(A,\epsilon))}[/texx]


Asumamos por el momento que D > 0.

Observemos que el lado derecho es el mismo término que habíamos probado que tenía límite finito.
Esto quiere decir que el lado izquierdo también es finito, y en particular el límite de [texx] \displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}\frac{\log(\epsilon^{-1})}{\log(N(A,\epsilon))}[/texx] existe y debe ser finito.
Recordemos esta conclusión.

Ahora podemos multiplicar y dividir por [texx]{\log(\epsilon^{-1})}[/texx], y nos quedaría:
[texx]D \displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}\frac{\log(\epsilon^{-1})}{\log(N(A,\epsilon))}=\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\displaystyle\frac{\log(\epsilon^{-1})}{\log(\epsilon^{-1})}\displaystyle\frac{\log(N(A,\epsilon))-\log(C)}{\log(N(A,\epsilon))}=\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\displaystyle\frac{\log(N(A,\epsilon))-\log(C)}{\log(\epsilon^{-1})}\cdot\displaystyle\frac{{\log(\epsilon^{-1})}}{\log(N(A,\epsilon))}[/texx]

Como el factor de más a la derecha tiene límite finito, podemos separar los límites del producto, escribiendo:
[texx]D \displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}\frac{\log(\epsilon^{-1})}{\log(N(A,\epsilon))}=\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\displaystyle\frac{\log(N(A,\epsilon))-\log(C)}{\log(\epsilon^{-1})}\cdot\displaystyle\lim_{\epsilon\to0}\displaystyle\frac{{\log(\epsilon^{-1})}}{\log(N(A,\epsilon))}[/texx]

Si el susodicho límite del factor de más a la derecha fuera no nulo, podríamos simplificar, y obtendríamos la igualdad buscada.
¿Será cierto que es distinto de 0?

¿Y si no, qué pasa?

A lo mejor en algún paso cometí el mismo error que me paso criticando... ojo
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« Respuesta #11 : 14/11/2008, 03:39:38 am »

Observemos que

[texx]\displaystyle\lim_{\epsilon\to0}\displaystyle\frac{\log(C)}{\log(\epsilon^{-1})}=0[/texx].

De modo que

[texx]\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\displaystyle\frac{\log(N(A,\epsilon))-\log(C)}{\log(\epsilon^{-1})}\cdot\displaystyle\frac{\log(\epsilon^{-1})}{\log(N(A,\epsilon))}=\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\displaystyle\frac{\log(N(A,\epsilon))}{\log(\epsilon^{-1})}\cdot\displaystyle\frac{\log(\epsilon^{-1})}{\log(N(A,\epsilon))}=1[/texx].

Esto implica que
[texx]D\displaystyle\lim_{\epsilon\to0}\displaystyle\frac{\log(\epsilon^{-1})}{\log(N(A,\epsilon))}=1[/texx].

Como asumimos que D > 0, esto solo puede ocurrir si
[texx]\displaystyle\lim_{\epsilon\to0}\displaystyle\frac{\log(\epsilon^{-1})}{\log(N(A,\epsilon))}[/texx]
es una cantidad finita y positiva,  que era la duda que nos quedaba pendiente.

Restaría analizar la posibilidad de que D = 0.
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« Respuesta #12 : 15/11/2008, 01:14:28 pm »

Bacan tu desarrollo, a ver veamos si D es 0.entonces en la expresion
[texx]\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\left\{{\displaystyle\frac{ln(N(A,\epsilon))}{ln(C\epsilon^{-D})}}\right\}}=1[/texx]

tenemos

[texx]\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{\left\{{\displaystyle\frac{ln(N(A,\epsilon))}{ln(C)}}\right\}}=1[/texx], luego

[texx]\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{ln(N(A,\epsilon))}}=ln(C)[/texx], luego
[texx]ln\left\{{\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{N(A,\epsilon)}}}\right\}=ln(C)[/texx]
[texx]\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{N(A,\epsilon)}}=C[/texx]
Como [texx]C[/texx] es una constante positiva y [texx]N(A,\epsilon)[/texx] es el menor numero de bolas de radio [texx]\epsilon[/texx], entonces [texx]N(A,\epsilon)[/texx] es decreciente y conforme [texx]\epsilon[/texx] sea mas pequeño, [texx]N(A,\epsilon)[/texx] tiende a [texx]+\infty[/texx], luego [texx]C=+\infty[/texx], lo cual no puede pasar puesto que por deifinicion C es una constante positiva. Por tanto [texx]D\neq{0}[/texx].
Intuitivamente, pienso que si un objeto tiene dimension 0, este debe constar de un solo punto, quiere decir que esa definicion de dimension vale para objetos de dimensiones mayores a 0, y en el caso de ser un solo punto, define su dimension 0, estoy bien???, a ver si todos me ayudan a ver eso, muchas graciasaaaaa
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« Respuesta #13 : 15/11/2008, 02:09:41 pm »

No entiendo por qué [texx]N(A,\epsilon)[/texx] tiene que tender a [texx]\infty[/texx].

Partiendo de la definición, y usando que D = 0, se obtiene, como bien dijiste:

[texx]\displaystyle\lim_{\epsilon \to{0}}{N(A,\epsilon)}}=C[/texx]

Sabemos que  [texx]N(A,\epsilon)[/texx] es no creciente, lo cual significa que, a medida que [texx]\epsilon[/texx] decrece hacia 0, la cantidad [texx]N(A,\epsilon)[/texx] va creciendo, pero no necesariamente lo hace hacia [texx]\infty[/texx].

Yo creo que podemos aceptar que la fórmula del límite sigue siendo válida con D = 0.

Lo que significa ese último límite, es que el número [texx]N(A,\epsilon)[/texx] de bolas de radio [texx]\epsilon[/texx] que cubre al conjunto, comienza a estabilizarse, para cierta constante C.
Como [texx]N(A,\epsilon)[/texx] es una función de [texx]\epsilon[/texx] que toma sólo valores enteros, el límite C debe ser un número entero.

Por definición de límite, existiría un valor [texx]\epsilon_0[/texx] tal que si [texx]\epsilon<\epsilon_0[/texx] entonces [texx]|{N(A,\epsilon)-C}|<0.5[/texx].
Pero como [texx]N(A,\epsilon)[/texx] va tomando valores enteros, esto querrá decir que para [texx]\epsilon<\epsilon_0[/texx] el número [texx]N(A,\epsilon)[/texx] es igual a C.
O sea, se vuelve constante a partir de cierto [texx]\epsilon[/texx] bastante pequeño.

Creo que, analizando las cosas con detalle, se debería poder probar que el conjunto A tiene, a fin de cuentas, un número finito de puntos, y que la cantidad de puntos es C. Habría que ver cómo armar una sucesión de cubrimientos adecuados, con radio tendiendo a 0.
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