Foros de matemática
12/02/2016, 01:06:24 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Hector ofrece un minicurso de Integral de Riemann. Clic aquí
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Problema de divisibilidad, pequeño teorema de Fermat, congruencia  (Leído 2580 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
laejl
Junior
**

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Mensajes: 20


Ver Perfil Email
« : 13/11/2008, 12:16:08 pm »

Hola a todos.
Necesito resolver el ejercicio siguiente.

Probar que para todo [texx]a \in{Z}[/texx]
[texx]728 \, | \, a^{27} - a^3[/texx]

Bueno, luego se me ocurre descomponer el 728 en primos, lo que es [texx]728 = 2^3* 7* 13[/texx]
Entonces digo que [texx]728 \, | \, a^{27} - a^3 \; \Longleftrightarrow{}\begin{Bmatrix} a^{27}\equiv{a^3} \pmod 2^3 \\ a^{27}\equiv{a^3} \pmod 7 \\ a^{27}\equiv{a^3} (mod 13) \end{matrix}[/texx]

Entonces usando el Pequeño teorema de Fermat no tuve problemas en probar los casos mod 7 y 13, pues si [texx]7 | a[/texx] entonces sale, y si 7 no divide "a" entonces vale el PTF, ídem para el caso 13.
Mis dudas son dos:
1- ¿Está bien mi idea para probar eso?
2- ¿Qué hago con el 2^3, alguien tiene alguna idea para probar que [texx]a^{27} \equiv a^3  \mod{2^3}[/texx]
En línea
Don Equis
Aprendiendo de a poco...
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 1.061

e^{i\pi}+1=0

don_equis@live.com.ar
Ver Perfil Email
« Respuesta #1 : 13/11/2008, 03:17:36 pm »

En lugar de utilizar el pequeño teorema de Fermat, puedes tomar que si [texx]a[/texx] es par es cierto y demostrarlo para los cuatro distintos casos cuando es impar.

Utliza que [texx]a^p\equiv{}1 (m) \Longrightarrow{} (a^p)^q\equiv{}1 (m)[/texx]
En línea

I believe a leaf of grass is no less than the journey-work of the stars.

 [texx]e^{i\pi}+1=0[/texx]
wx69yz
Nuevo
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
El Salvador El Salvador

Mensajes: 1


Ver Perfil Email
« Respuesta #2 : 20/11/2008, 07:04:35 pm »

Si [texx]a[/texx] es par entonces la congruencia mod 8 es cierta

Si es impar yo te sugeriria que utilizaras el Teorema de Euler

Si el [texx]MCD(a,n)=1 \Rightarrow{a^{\phi (n)} \equiv{1}} [/texx] mod[texx]n[/texx]

Como [texx]\phi (8)=4 [/texx] tenemos que la congruencia se cumple

 :rodando_los_ojos:
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.1 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!