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Autor Tema: Definición de fractal  (Leído 19576 veces)
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Jabato
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« Respuesta #20 : 15/11/2008, 09:25:47 pm »

Analicemos un poco más despacio el concepto de diferenciabilidad, que es un concepto matemático que en mi opinión está mal explicado ó no se suele comprender. Para mi la idea de diferenciabilidad de una propiedad cualquiera de un conjunto en un punto viene a establecer que la variación de dicha propiedad puede aproximarse por una función lineal en un entorno suficientemente pequeño del punto considerado.

Esto traducido al lenguaje de conjuntos vendría a decir que un conjunto cualquiera sería diferenciable en un punto cualquiera si puede ser substituido por una varidad lineal en un entorno suficientemente pequeño de dicho punto. 

¿Estais de acuerdo con este enfoque?

Saludos, Jabato.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #21 : 16/11/2008, 07:08:25 am »

Hola

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Esto traducido al lenguaje de conjuntos vendría a decir que un conjunto cualquiera sería diferenciable en un punto cualquiera si puede ser substituido por una varidad lineal en un entorno suficientemente pequeño de dicho punto.
 

Hay que darle un significado preciso a "poder ser substituido". No es nada claro lo que significa.

Saludos.
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Jabato
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« Respuesta #22 : 16/11/2008, 07:44:48 am »

Sí, es cierto, yo también lo pensé, debe definirse con precisión "puede ser substituido", aunque no lo resolví. No sé si fuera mas correcto expresarlo como:

Un subconjunto cualquiera de Rn es diferenciable en un punto si puede ser aproximado por una varidad lineal en su entorno. 

Aunque es cierto que a estas palabras también debe asignarseles un significado preciso. Hay que meditar el asunto.

Saludos, Jabato.
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Jabato
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« Respuesta #23 : 18/11/2008, 03:47:37 pm »

¿Podríamos hablar de homeomorfismos quizás? Es decir la definición sería:

Un subconjunto cualquiera de Rn es diferenciable en un punto si es homeomorfo a una varidad lineal en su entorno. 

Saludos, Jabato.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #24 : 19/11/2008, 03:48:53 am »

Hola

 Pero un "pico" de un cuadrado es homeomorfo a un segmento recto.

 El ser homeomorfo es una propiedad estrictamente topológica, no dice nada en principio sobre la diferenciabilidad.

Saludos.
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Jabato
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« Respuesta #25 : 19/11/2008, 04:12:06 am »

Pues no sé, en principio debería ser una propiedad que caracterizara a todas las variedades diferenciables tangentes en un punto, por ejemplo todas las superficies diferenciables tangentes a un determinado plano en un punto dado, todas esas superficies deberán cumplir alguna propiedad conjuntista o topológica, digo yo, aunque no sé muy bien decir de que propiedad se trata. Parece que al menos está identificada la propiedad que buscamos, lo que no sé es si es algo conocido ó nadie la ha definido hasta el momento. Veamos me explico:

Todas las variedades contenidas en Rn, diferenciables en un punto determinado y que compartan el mismo diferencial deberían presentar una propiedad ó bien CONJUNTISTA ó bien TOPOLOÓGICA que las caracterice y que por lo tanto solo sea satisfecha por ellas. Mi problema es saber de que propiedad estamos hablando pero no tengo dudas de que dicha propiedad debe poderse expresar en uno de esos dos lenguajes, es decir sin usar el lenguaje analítico.

Saludos, Jabato.
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Jabato
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« Respuesta #26 : 23/11/2008, 05:24:35 pm »

Le he dado algunas vueltas al tema y creo que tengo una idea que puede valer. Hace uso del concepto de distancia por lo tanto estamos hablando de espacios métricos. Utilizaré la distancia euclidea para simpificar, y supondré un conjunto de infinitos puntos conexo, C, ubicado en un Rn cualquiera, preferentemente R² ó R³.

En estas condiciones podemos ubicar dos puntos del conjunto que denominaré [texx]P_0[/texx] y [texx]P[/texx] y voy a determinar la mínima distancia entre ambos siguiendo, en un primer caso, la distancia más corta entre ellos, [texx]d_e[/texx], es decir la distancia euclidea, y en un segundo caso, la distancia más corta entre ellos, [texx]d_g[/texx], pero según una geodésica de C. El límite:

[texx]\gamma=\displaystyle\lim_{\quad P \to P_0}\ \displaystyle\frac{d_g}{d_e}=1[/texx]

debería ser equivalente a la condición de diferenciabilidad de C en [texx]P_0[/texx], aunque no tengo la demostración. Cualquier otro valor distinto a 1, ó incluso la inexistencia de dicho límite, supondría que el conjunto no es diferenciable en ese punto.

En ese sentido los fractales serían conjuntos "no diferenciables" en ninguno de sus puntos.

Algunos comentarios: Los conjuntos inconexos quedarían fuera de esta definición, tales como el Polvo de cantor y otros similares.

¿Voy bien encaminado?

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #27 : 23/11/2008, 05:29:29 pm »

Hola

 Y exactamente como definimos geodésica en un conjunto que a priori no tiene estrucutura de variedad diferenciable (de hecho, en cierto modo, no está claro que estructura tiene).

Saludos.
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Jabato
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« Respuesta #28 : 23/11/2008, 05:34:56 pm »

Hombre, llamala geodésica ó si prefieres, la distancia más corta entre ambos puntos siguiendo una trayectoria contenida en C. Como C es conexo debe existir una tal trayectoria. Digo yo.

Saludos, Jabato.
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Jabato
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« Respuesta #29 : 23/11/2008, 06:29:22 pm »

Aunque si consideramos que C no tiene porqué ser conexo, entonces lo único que cambia es que ahora pueden incluirse fractales no conexos, y entonces ocurrirá que cuando ambos puntos elegidos no estén conectados el límite no existirá. Lo que nos permite incluir al Polvo de Cantor y otros similares en la definición.

La primera consecuencia de una definición como ésta es que los fractales serían estructuras en las que cualquier punto no puede conectarse con al menos otro de su entorno con un segmento contenido en C lo que obliga a que su estructura contenga "detalle infinito", que es una de las caraterísticas principales de los fractales.

Un caso extremo podría venir representado por un conjunto compacto, para el que [texx]\gamma=1[/texx] en todos los casos. ¿Supone algun problema considerar "diferenciable" a un conjunto compacto?

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #30 : 24/11/2008, 12:06:42 am »

Lo que pasa es que si C es un conjunto conexo, y suponiendo que has podido definir una noción de longitud de trayectorias en C, no queda clara que entre dos puntos exista una trayectoria que sea la más corta...

Imagino que, bajo ciertas condiciones de regularidad, imagino que la longitud más corta entre dos puntos A y B es un número que puede existir sin problemas, definido como el ínfimo s de las longitudes de las trayectorias entre A y B.
Pero sabemos que el ínfimo no siempre es un mínimo, para un conjunto dado, luego no sabemos si existe una trayectoria con longitud s.

 Por otro lado, existe  una noción de diferenciabilidad de conjuntos, y es simplemente el concepto de variedad. Una variedad es lo que se entiende por conjunto ''suave''. Cada entorno pequeño de cada punto de la variedad está asociado a un subconjunto de [texx]R^n[/texx] mediante un HOMEOMORFISMO, que a su vez tiene propiedades de diferenciabilidad, específicamente, se pide diferenciabilidad a la composición de cartas, como se explica por ejemplo en este enlace de Wikipedia:

http://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_diferenciable

En ese enlace al parecer define lo que sería una variedad con diferenciabilidad de orden r,
lo cual ayuda a distinguir bien el concepto de dimensión de la variedad, del concepto de orden de derivación.

En estas condiciones podemos ubicar dos puntos del conjunto que denominaré [texx]P_0[/texx] y [texx]P[/texx] y voy a determinar la mínima distancia entre ambos siguiendo, en un primer caso, la distancia más corta entre ellos, [texx]d_e[/texx], es decir la distancia euclidea, y en un segundo caso, la distancia más corta entre ellos, [texx]d_g[/texx], pero según una geodésica de C. El límite:

[texx]\gamma=\displaystyle\lim_{\quad P \to P_0}\ \displaystyle\frac{d_g}{d_e}=1[/texx]

debería ser equivalente a la condición de diferenciabilidad de C en [texx]P_0[/texx], aunque no tengo la demostración. Cualquier otro valor distinto a 1, ó incluso la inexistencia de dicho límite, supondría que el conjunto no es diferenciable en ese punto.

Intuitivamente, esto parece ser cierto en una variedad diferenciable, porque las distancias medidas sobre la variedad cerca de un punto, se parecen cada vez más a las distancias euclidianas sobre los hiperplanos tangentes asociados, o sobre las cartas coordenadas, y esta distancia es muy parecida en el límite a la distancia euclidiana entre ambos puntos considerados.

Sin embargo, aunque parece cierto que diferenciabilidad implica [texx]\gamma=1[/texx], la recíproca no necesariamente debe ser cierta.
No se me ocurren contraejemplos, pero estoy seguro que los hay.

Me parece que no se puede reemplazar la noción de diferenciabilidad de las cartas de una variedad con un simple coeficiente o indicador.

Aunque parece cierto que si [texx]\gamma[/texx] no es 1, entonces no estamos frente a una variedad diferenciable.

¿Supone algun problema considerar "diferenciable" a un conjunto compacto?

A lo mejor estás imaginando una variedad con la frontera incluida en el conjunto.

Si imaginamos un conjunto acotado con la frontera ''abierta'', al tomar su clausura topológica obtenemos un conjunto compacto, el cual no creo que haya problemas en decir que es una variedad diferenciable.

A lo mejor la frontera tenga que ser también una variedad diferenciable (de dimensión más pequeña que la parte interior del conjunto).

No obstante hay ejemplos de variedades compactas de otro tipo, por ejemplo, una circunferencia en el plano, el toro n-dimensional, etc.


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Jabato
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« Respuesta #31 : 24/11/2008, 12:37:47 am »

Hombre, es que si fuera cierta la recíproca estabamos ante un evento de cierta envergadura matemática:

[texx]\gamma =1\Longleftrightarrow{} \tex{conjunto\ diferenciable}[/texx]

es decir ambas proposiciones serían equivalentes, y eso debería tener bastantes consecuencias en matemática, creo.

Será dificil encontrar ejemplos que tiren abajo esto aunque no niego que pueda haberlos, incluso si me apurais, estoy dispuesto a cambiar la palabra diferenciable por otra sin significación previa, por ejemplo "conjunto liso" (por contraposición a la rugosidad de los fractales), pero está claro, al menos a primera vista lo parece, que si un conjunto cumple esta condición ([texx]\gamma = 1[/texx]) no es un fractal, no puede serlo, y que si el conjunto es un fractal no puede cumplirse esta condición, por lo tanto si parece adecuado definir los fractales como conjuntos en los que [texx]\gamma \neq{1}[/texx] ó no existe. La definición afectaría al punto considerado más que al conjunto, serían puntos fractales aquellos en los que no se cumple la condición, el vértice de un cono ó de un cuadrado son puntos lisos, cumplen la condición [texx]\gamma = 1[/texx] pero la variedad no es diferenciable en esos puntos. Parece que ya salió el contraejemplo que buscábamos, aunque eso no cambia lo último, dichos puntos son puntos lisos en los que la variedad no es diferenciable, pero eso no afecta creo a la definición propuesta de conjunto fractal, a no ser que a alguien se le ocurra la forma de construir un fractal usando solo puntos lisos.

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #32 : 24/11/2008, 04:44:20 am »

Hola

 Un vértice de un cuadrado cumple que ese cociente es uno (de hecho la distancia por la geodésica y la euclídea coinciden).

Saludos.

P.D. Upsa.... perdonad si esto lo acaba de poner Jabato. Estoy tonto.
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« Respuesta #33 : 24/11/2008, 06:35:26 am »

Sí, pero coincido con Jabato en que el cuadrado es, intuitivamente, algo ''liso''.

Jabato al principio quería aproximarse a conjuntos por un límite de objetos ''diferenciables''.
Eso me huele a deformaciones ''homotópicas'', o algo por el estilo, y el cuadrado se puede ver como un límite de este tipo, con las puntas redondeadas, hasta que se vuelven vértices puntiagudos en el límite.

Los conjuntos ''lisos'' podrían ser aquellos que se obtienen por deformaciones homotópicas de variedades, y a lo mejor a la homotopía habría que pedirle alguna condición de diferenciabilidad en los pasos ''intermedios''.
Me pregunto qué nombre tenía eso...

Aún así, el [texx]\gamma=1[/texx] no debiera coincidir plenamente con esta clase más amplia de conjuntos.

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« Respuesta #34 : 24/11/2008, 06:41:13 am »

Hola

 No estoy seguro que tipo de intuición os lleva a decir que el cuadrao es "liso". Su vértices es el ejemplo de no lisitud por excelencia.

 Por otra parte, se pueden definir sin problemas fractales como límites de curvas diferenciables. Entonces tampoco en eso se diferencian del cuadrado.

Saludos.
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« Respuesta #35 : 24/11/2008, 06:59:55 am »

Bueno, yo no he dicho que el cuadrado sea liso, solo he dicho que podemos llamar "puntos lisos" a los que cumplen la condición, y el vértice del cuadrado la cumple, ahora bien no sé si el nombre es poco adecuado. Se me ocurrió asi de pronto, entonces analizando más despacio el asunto vemos que un punto del que partan infinidad de segmentos rectilineos sería también un punto liso y quizás sería conveniente modificar el nombre.

Por otro lado un conjunto que estuviera formado por ... digamos una infinidad de puntos y que contuviera a todos los segmentos que los unen dos a dos, tambien cumpliría con esa propiedad, por lo que parece que el nombre para esa propiedad está mal seleccionado.

Si os parece bien y hasta que encontremos un nombre adecuado mejor hablar de "la condición", por no implicar conceptos ya predefinidos o inadecuados ya que éste parece ser un tipo nuevo de conjunto.

Me recuerda esto una definición que se vió en examenes de estudiantes principiante en el que se definia el cuadrado como una circunferencia con picos. Pues eso.

La propiedad es clara:

[texx]\gamma=\displaystyle\lim_{\quad P \to P_0}\ \displaystyle\frac{d_g}{d_e}=1[/texx]

lo que no es tan claro es el nombre que debe asignarsele. Ya pensaremos uno adecuado. De todas forma la palabra liso deseaba hacer alusión a la ausencia de pliegues, de arrugas, en el mismo sentido en que un fractal los presenta, y desde luego los picos de un cuadrado ó las aristas de un poliedro son lisos, sin lugar a dudas que lo son ya que no contienen arrugas de ningun tipo. Nadie diría que la raya del pantalón es una arruga, ¿verdad?


Saludos, Jabato.
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« Respuesta #36 : 24/11/2008, 08:33:25 am »

Pero si un conjunto A es homeomorfo a una variedad de dimensión n, ¿no debería ser A un conjunto de dimensión fractal n?

No sé qué clase de intuición me dejó aceptar que un cuadrado es ''liso''... a lo mejor simplemente porque es un conexo de dimensión ''fractal'' 1.

Igual, debe haber un modo de distinguir un cuadrado de un conjunto de dimensión fraccionaria, a través de una deformación adecuada de variedades. Me voy a tener que poner a investigar, porque no me acuerdo.

Y en todo caso, ¿cuáles son los conjuntos CONEXOS de dimensión 1 que no son variedades de dimensión 1? ¿Y los no conexos? (Esta última parece fácil: una unión de Cantors' disjuntos de dimensiónes menor que 1, que tienden a 1).
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« Respuesta #37 : 24/11/2008, 08:42:49 am »

Hola

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Y en todo caso, ¿cuáles son los conjuntos CONEXOS de dimensión 1 que no son variedades de dimensión 1?


Pues muchos. Una rejilla, no es una variedad en los puntos de intersección de las rectas que la componen.

O por ejemplo: [texx]R\times Q\cup \{0\}\times R[/texx].

Saludos.

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Jabato
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« Respuesta #38 : 24/11/2008, 08:49:12 am »

Pues tal y como lo veo yo un homeomorfismo no debería variar la dimensión de un conjunto, aunque ya me asaltan las dudas de si eso es asi, yo diría que sí, ó dicho de otra forma, la dimensión de un conjunto es una propiedad topológica y por lo tanto queda invariante frente a homomorfismos. Vosotros sabeis mas que yo de eso, sin duda.

Ya he dicho que un cuadrado puede considerarse una figura lisa, siempre que se acepte que dicha figura no tiene arrugas, pliegues y repliegues de longitud infinita entre dos puntos. Lo que caracteriza más propiamente a un fractal es que para ir de un punto a otro del conjunto siguiendo una trayectoria contenida en el propio conjunto la distancia es infinita en todos los casos, esa parece que es la idea fundamental de todo el asunto.

Saludos, Jabato.

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« Respuesta #39 : 24/11/2008, 11:02:32 am »

Según mi difusa memoria, la situación es ésta: si un conjunto es homeomorfo a una variedad de dimensión n, entonces el conjunto tiene dimensión fractal (en sentido de Hausdorff) igual a n.

Sin embargo, no pasa lo mismo con los fractales de dimensión fraccionaria.
Si mal no recuerdo, todos los Cantor tienen la misma topología, y distinta dimensión.

La dimensión fractal no es un invariante topológico, salvo que haya inmiscuidas variedades.


Cita
Y en todo caso, ¿cuáles son los conjuntos CONEXOS de dimensión 1 que no son variedades de dimensión 1?


Pues muchos. Una rejilla, no es una variedad en los puntos de intersección de las rectas que la componen.

Y sí, está correcto, pero no alcanza a rascar lo que me pica.
El ejemplo que has puesto es una unión de variedades de dimensión 1.
¿Y sin ese truquillo qué hay?

Igual todo esto me muestra que voy a tener que ir a estudiar el tema antes de seguir opinando.
Hay muchas cosas que tengo en el aire, que no me gusta seguir teniendo así.

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