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Autor Tema: Definición de fractal  (Leído 19575 veces)
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Jabato
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« : 12/11/2008, 07:18:30 am »

¿Podríamos definir fractal como una variedad no diferenciable en ninguno de sus puntos? Parece que esta definición se aproxima mucho al hecho de que un objeto no diferenciable en ninguno de sus puntos debe presentar infinito detalle en todos ellos, es decir no puede ser suave en ninguno de sus puntos, pero tambien es cierta la recíproca, una variedad que presente infinito detalle en todos sus puntos no puede ser diferenciable en ninguno de ellos.

¿Que opinais?

Saludos, Jabato.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 12/11/2008, 08:17:54 am »

Hola

 ¿Exactamente qué estamos entendiendo por variedad?

 ¿Y exactamente qué entendemos por no diferenciable en un punto?.

 Me explico.

 Por ejemplo a un cuadrado (sus lados, como curva) se le puede dar estructura de variedad diferenciable incluso en sus vértices. Ahora bien esa estuctura no es compatible con la estructura diferenciable del cuadrado inmerso como subvariedad del plano.

 Entonces entiendo a que te refieres diferenciable como subvariedad del plano (o quizá de un [texx]R^n[/texx] de dimensión superior).

 Por tanto necesitamos también considerar la estrucutra de variedad (topológica) de los fractales como subconjuntos del plano. Y no tengo claro que (algunos) fractales tengan una estructura de variedad topológica (localmente homemorfos a un intervalo si nos referimos a curvas) compatible con su inmersión en el plano.

 Para los fractales que puedan darse como la imagen de una función continua de [texx]R[/texx] en [texx]R[/texx], entonces quizá si podría valer esa caracterización. El ejemplo típico es la función de Weierstrass.

 Pero en general, no veo claro como manejar esa idea.

Saludos.
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Jabato
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« Respuesta #2 : 12/11/2008, 05:49:14 pm »

Tus argmentos resultan algo confusos para mi, probablemente porque no tenga el nivel adecuado para entenderlos. Si pudieras ser un poco más claro quizás, pero no te entiendo manco. Me refiero a subvariedades de R² y de R³ (ó de Rn si prefieres) aunque quizas se ajuste mejor a la idea que trato de expresar el concepto de campo escalar que el de variedad, y por no diferenciable entiendo aquellas en las que no son diferenciables en ningún punto. No sé si es confuso esto para ti, yo creo que lo entiendo, al menos sé en lo que estoy pensando, lo que no sé es si mi forma de expresarlo es la adecuada, es casi seguro que no, me temo. De todas formas solo intento plantear una idea a la que debería darse forma para convertirla en un concepto matemático, no estoy tratando de dar una definición formal de fractal, estoy tan solo tratando de expresar la idea de forma sencilla.

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #3 : 13/11/2008, 05:25:44 am »

Hola

 Lo que me refiero es que no veo una forma sencilla de formalizar la idea.

 Cuando tenemos una curva del plano dada por una función es fácil entender a que nos referimos con diferenciable.

 Pero cuando nos referimos a un subconjunto, sin más, del plano no es tan claro.

 ¿Un punto sin más es diferenciable? ¿Un círculo lleno es diferenciable?

 Normalmente lo que uno hace es definir una aplicación local (en un trocito) de un intervalo (para objetos de dimensión uno) sobre el subconjunto, que nos la parametrice y la diferenciabilidad en esos puntos sea equivalente a la diferenciabilidad de esa aplicación.

 Pero no está claro como definir esa aplicación; ni siquiera está claro que los fractales sean "objetos de dimensión uno" (de hecho no lo son).

 No sé. Muchos cabos sueltos.

Saludos.
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« Respuesta #4 : 13/11/2008, 02:36:37 pm »

Bueno, efectivamente lo que yo sospechaba, si ves un fractal como un conjunto de puntos entonces si parece que es dificil establecer ese concepto de diferenciabilidad, pero no debemos olvidar que los fractales se definen como curvas ó superficies límite (no se conocen que yo sepa fractales en espacios de dimensión superior, aunque probablemente puedan diseñarse cuando sepamos bien que cosa es un fractal). Vistos entonces de esa manera si es posible "diferenciarlos", ya que supongo que no me pondras reparos a esta visión. Tu mismo has definido muchas veces que cosa es el diferencial de una función de este tipo (me refiero a curvas ó superficies), es una variedad lineal que los aproxima en el entorno de un punto, bien, si dicha variedad lineal no existe en determinado punto podemos decir que la función no es diferenciable en ese punto, pero si dicha variedad no existe en ningún punto entonces estaríamos, si yo no me equivoco, ante un fractal. ¿Está algo más claro asi?

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #5 : 13/11/2008, 02:47:43 pm »

Hola

 Bueno no todos los fractales se definen como límtes de curvas. Por ejemplo los tipo Mandelbrot o conjuntos de Julia.

 Pero en cualquier caso por concretar.

 Supongamos que tenemos una función [texx]f:[0,1]\longrightarrow{}R[/texx] continua en todo punto pero no diferenciable en ninguna.

 ¿Su gráfica es un fractal? Muy probablemente si. El típico ejemplo es la curva de Weierstrass.

Saludos.
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Jabato
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« Respuesta #6 : 13/11/2008, 03:22:45 pm »

Bueno, es cierto que el fractal de Mandelbrot no "se define" como el límite de una curva, pero eso no quiere decir que no lo sea, de hecho lo es, y ya lo demostré en este mismo foro no hace mucho tiempo, quizás te pasó desapercibida la demostración. Ocurrió en un debate reciente relativo a la condición de convergencia que debe exigirse para que la longitud de la curva límite de una sucesión de curvas coincida con el limite de las longitudes de las curvas de la sucesión, ¿recuerdas?, fué iniciado por Robottero.

De hecho soy capaz de definir el fractal de Mandelbrot como el límite de una sucesión de curvas y como el límite de una sucesión de regiones del plano, puedo hacerlo de las dos formas sin problemas, lo que te demuestra que aunque dicho fractal no "se define" como tal cosa, muy cierto, resulta ser que "sí es" tal cosa, muy cierto también.

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #7 : 14/11/2008, 06:37:47 am »

Hola

 Para ser sincero si se me había pasado por alto.

 Lo he estado mirando y está muy bien.

 Construyes una sucesión de curvas dadas por sus ecuaciones implícitas cuyo límite topológico es el (borde del) conjunto de Mandelbrot.

 El problema es que el límite topológico es de caracter conjuntista; es decir no obtenemos ni la ecuación paramétrica de la curva límite, ni la ecuación implícita de la misma.

 Por tanto lo que tenemos simplemente es un subconjunto del plano y no está claro como trabajar sobre él con el concepto de diferenciabilidad, por los problemas que cite antes.

 Fíjate que en mi anterior mensaje, cuadno quise conretar me referí directamente a fractales que podamos definir como gráfica de una función. Eso me sigue pareciendo una restricción excesiva.

 En todo caso, insisto en que no estoy diciendo ni que si ni que no a tu idea, sino que no tengo claro que sea manejable.

Saludos.

P.D. Me entretuve en repesentar la sucesión de curvas. Es bonito:


* mandelbrot.gif (13.92 KB - descargado 973 veces.)
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« Respuesta #8 : 14/11/2008, 07:08:58 am »

Yo lo hice bien hecho, usando el Basic, y diseñé un programa que mediante técnicas parecidas dibujaba cualquier fractal, el resultado fué sencillamente espectacular. Conseguí dibujar muchos fractales, y pude hacer zooms con escalas enormes, y analizar en detalle muchas propiedades desconocidas de los fractales, algunas de ellas realmente interesantes, por ejemplo, el hecho de que la serie iterada diverja es una propiedad que permite dibujar el fractal, pero lo que nadie sabe, aunque yo si lo sé, es que los puntos interiores al fractal de mandelbrot (puntos en los que la serie iterada no diverge, es cíclica ó tendente a cíclica) presentan una estructura interna que depende del ciclo de la sucesión. Es decir los puntos para los que la sucesión es ciclica de ciclo 2 se agrupan de una determinada forma, los puntos de ciclo 3, de otra, los de ciclo 4 de otra bien distinta, etc, de manera que los puntos interiores presentan tambien una estructura bien diferenciada, al igual que los puntos exteriores que presentan una estructura por capas bien diferenciada también.

Sobre el tema de la diferenciabilidad debo analizar más despacio lo que me dices.

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #9 : 14/11/2008, 07:25:52 am »

Hola

 Bueno mi humilde animación "GIF" dentro de lo que se puede meter ahí, creo que está también razonablemente bien hecha (la hizo el Mathematica 5.0 en esencia, no yo).

 En cuanto a un programa (un "poquito" más elaborado que mi pequeñita animación) para representar conjuntos de Madelbrot y derivados, hay a cientos (alguno on-line incluso) y si que son muy espectaculares y entretenidos, porque siempre puedes hacer el Zoom en una zona nueva y descurbir nuevos "vericuetos".

 Respecto a lo de "lo que nadie sabe, pero yo si sé"... si lo andas diciendo por ahí la frase perderá veracidad. Por otro lado cuidado con los chinos, que son muchos y se entretienen con estas cosas...

Saludos.
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Jabato
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« Respuesta #10 : 14/11/2008, 08:29:40 am »

Ja, ja, ja, Jabato.

Voy con el tema de la diferenciabilidad. Creo que si un fractal puede definirse como el límite de una sucesión de curvas ó superficies, admitamos que estén disponibles las ecuaciones paramétricas de dichas variedades:

1º Para una sucesion de curvas:

[texx]x_n=x_n(t)[/texx]           [texx]y_n=y_n(t)[/texx]           [texx]z_n=z_n(t)[/texx]

2º Para una sucesión de superficies:

[texx]x_n=x_n(u,v)[/texx]           [texx]y_n=y_n(u,v)[/texx]           [texx]z_n=z_n(u,v)[/texx]

entonces definir la diferenciabilidad de la curva ó superficie límite no debería ser demasiado complicado, al menos está perfectamente definida la orientación ó el significado que debe darse a la diferenciabilidad del fractal, expresado como limite de tales sucesiones. Creo que no me equivoco esta vez, pero corrígeme si estoy equivocado.

Por otro lado creo que los programas comerciales no te permiten hacer demasiados experimentos con los fractales, lo que yo buscaba me lo tuve que diseñar yo mismo, y fué así como puede hacer todas las pruebas que necesite, hasta dar con las claves que buscaba. Por cierto tu aplicacion para ver la sucesión de curvas que origina el fractal de mandelbrot es muy sencilla pero muy grafica. Si la modificas para que haga la gráfica un poco más grande y no borras las curvas, observarás un espectáculo todavía más interesante.


Saludos, Jabato.
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« Respuesta #11 : 14/11/2008, 08:46:55 am »

Hola

 Cuidado porque entramos en un problema que entronca con lo discutido en el otro hilo al que hacías referencia.

 Si al tomar las ecuaciones paramétricas, pretendemos a su vez tomar el límite puntual de las mismas, es decir:

[texx]x(t)=\displaystyle\lim_{t \to{+}\infty}x_n(t)[/texx]

 (y los mismo para las otras coordenadas)

 Entonces el límite depende fuertemente de la parametrización escogida. No está clara entonces una forma "canónica" de escoger la parametrización; ni que se vaya a tener la convergencia aunque esta si exista desde el punto de vista topológico para la imagen de las curvas.

Saludos.

P.D. Por cierto hice lo que me dijiste:




* nivelmandel.JPG (54.56 KB - descargado 1113 veces.)
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« Respuesta #12 : 14/11/2008, 09:19:52 am »

Bonita figura, por cierto prueba a repetirla pero utilizando en la iteración en lugar de Z² otras potencias, Z³, Z4, Z5etc. Verás que figuras más lindas. También son fractales.

Cierto tienes razón, esgrimiste mis propios argumentos y me diste de lleno en la frente, si es cierto, no había pensado en eso.
Tendré que meditar algo más el asunto. La pregunta del millón sería quizás si existe una definición topológica para ... digamos "conjuntos diferenciables" ó algo parecido, ó bien podríamos "apuntar al bulto" diciendo que un fractal es un conjunto de puntos de Rn no diferenciable bajo ninguna parametrización, es decir, que no es posible encontrar una parametrización bajo la cual dicho conjunto sea diferenciable.

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #13 : 14/11/2008, 03:06:17 pm »

Creo que el camino de busqueda pasaría, después de mucho meditarlo, por buscar el concepto de diferenciabilidad para cualquier conjunto con dimensión entera, eso ya existe creo si no ando muy equivocado, y tratar de generalizarlo para conjuntos de dimension no entera, y eso podría ser un concepto matemático nuevo.


Saludos, Jabato.
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« Respuesta #14 : 14/11/2008, 06:47:22 pm »

Hola

 Si, eso me parece coherente. Ciertamente una vez identificada la dimensión (entera) uno puede introducir "cartas locales" y estudiar la diferenciabilidad.

 Si sería interesante pensar en alguna construcción que formalizase una derivada de orden fraccionario; de hecho hace unos días mi compañero de despacho (que por cierto es ingeniero) me habló de unas derivadas fraccionarias, que parecían quedarse entre la primera y segunda derivada. Pero no sé los detalles porque sólo lo conocía de "oídas".

Saludos.
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« Respuesta #15 : 14/11/2008, 06:53:30 pm »

Yo he leido aguna vez algo sobre derivadas de orden no entero, aunque no recuerdo bien ni donde ni cuando, son cosas de esas que como no se les ve aplicación pues quedan como curiosidades en el fondo del "armario". Habrá que rebuscar.

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #16 : 15/11/2008, 03:20:20 am »

Bueno, ahí va un primer disparo, veremos a ver que tal ando de puntería. Si consideramos un conjunto [texx]C\subset{R^n}[/texx] con una métrica [texx]\mu[/texx] definida, un punto [texx]P\in{C}[/texx] y considero el conjunto [texx]C_\epsilon[/texx] en un entorno [texx]\epsilon[/texx] de P, puedo determinar, para dicho punto el límite:

[texx]C'(P)=\displaystyle\lim_{\quad\epsilon \to P}{\displaystyle\frac{\mu(C_\epsilon)}{\mu^r(\epsilon)}}[/texx]

en la que r quiere representar la dimensión relativa de C en P (su dimensión dividida por n), debo tener algo que se parece mucho a la derivada, pero calculable para subconjuntos cualesquiera de [texx]R^n[/texx].

¿Como lo ves manco?

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #17 : 15/11/2008, 08:55:42 am »

Hola

 mmmm... no sé.

 Su funcionamiento para conjuntos de dimensión entera, debiera ser similar al de la derivada conocida. Pero no estoy seguro de como comparar, porque ahí "derivas" conjuntos.

 Supongo que la diferenciabilidad debiera equivaler a la existencia del límite; pero por ejemplo no veo la diferencia entre aplicar esa definición a un segmento recto que a un segmento quebrado en un punto de no diferenciabilidad (clásica).

 No estoy seguro de que vaya a reflejar lo que buscas.

 Más bien se parece a la derivada de una cierta función longitud (o medida) del conjunto.

 De todas formas para cualquier idea, lo mejor es "testarla" con un par de ejemplo simples: una recta, el vértice de un cuadrado,...

Saludos.
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« Respuesta #18 : 15/11/2008, 05:54:58 pm »

Voy a reaccionar acorde a lo que parece que son las ideas flotantes en la discusión presente.
Comentaré lo que conozco del tema, a ver si podemos sacar algo en limpio, o si alguien puede ampliar más información.

La dimensión y la diferenciabilidad no tienen, me parece, una relación tan directa.

El borde de un cuadrado no es diferenciable en todos sus puntos, o sea, no es una variedad diferenciable, y sin embargo tiene dimensión 1 al igual que una circunferencia.

Por otro lado, la dimensión global de un conjunto se puede ver como el máximo o supremo de las dimensiones locales calculadas sobre ''porciones'' del conjunto. He ahí tal vez una relación entre lo local y lo global.

Pero entonces, supongamos que para cada n tengo un conjunto [texx]A_n[/texx] que es fractal contenido en el intervalo [2n,2n+1), definido como algún conjuntito de tipo Cantor de dimensión (n - 1)/n, el conjunto A formado como la unión de todos los [texx]A_n[/texx] tiene dimensión 1, y no veo que haya alguna propiedad de diferenciabilidad, siquiera de continuidad en él, o sea, no es homeomorfo a objetos diferenciables de dimensión 1 porque A es un conjunto totalmente disconexo.

Otra cuestión es la definición general de fractal.
Esto puede hacerse en general en cualquier espacio métrico, y aquí pongo un esbozo del método que se aplica:

Sea [texx](X,d,\mu)[/texx] un espacio métrico con distancia d y medida [texx]\mu[/texx].
Dado un conjunto A (que debe ser [texx]\mu[/texx]-medible) definamos las cantidades:

[texx]H_{p,\delta}(A)=\inf\{\sum_{j=1}^\infty (diametro(B_j)^p:\,A\subset\cup_{j=1}^\infty B_j,\,diam(B_j)\leq\delta\}[/texx].

[texx]H_p(A)=\lim_{\delta\to0}H_{p,\delta}(A)[/texx].

Se puede probar que [texx]H_p(A)[/texx] es una medida exterior métrica, definida sobre subconjuntos de X, y además se tiene el siguiente resultado.

Si [texx]H_p(A)<\infty[/texx] entonces [texx]H_q(A)=0[/texx] para todo q > p.
Si [texx]0<H_p(A)[/texx] entonces [texx]H_q(A)=\infty[/texx] para todo q < p.
Por lo tanto, existe un número [texx]d_A[/texx] tal que:
[texx]\inf\{p\geq0:H_p(A)=0\}=d_A=\sup\{p\geq0:H_p(A)=\infty\}[/texx].

A ese número [texx]d_A[/texx] se lo llama dimensión de Hausdorff del conjunto A.

Todos los fractales clásicos tienen una dimensión de Hausdorff que se puede calcular,
e incluso hay una teoría más o menos básica en relación a la dimensión de conjuntos definidos por relaciones de ''pseudo''-autosimilaridad (varias transformaciones de ''similaridad'' compuestas entre sí).

Un teorema dice por ahí que toda variedad de dimensión n tiene también dimensión de Hausdorff n, pero hay conjuntos de dimensión n muy complicados, que no tienen relación con la teoría de variedades como ya comenté arriba.

Ahora pasemos a la cuestión de las derivadas fraccionarias.
En principio no veo relación clara entre la noción de derivada fraccionaria y la noción de dimensión fractal, por el siguiente motivo.
La cáscara de la esfera n-dimensional puede describirse como unión de cartas de dimensión n, y es por tanto un conjunto con dimensión n, sin embargo, todas esas cartas son infinitamente diferenciables.

O sea, si lo que se sugiere es que el grado de diferenciabilidad tiene que ver con el numerito de la dimensión (no sé si es esto lo que se sugiere), esto estaría mal, porque tendríamos que concluir que toda cáscara esférica en [texx]R^n[/texx] tiene dimensión infinita.

Sin embargo, he oído que hay una relación entre la dimensión fractal y la derivada fraccionaria, pero no tengo información alguna de esto.

Lo que sí puedo decir es que la noción de derivada fraccionaria es algo muy controvertido, existen infinidad de definiciones diferentes, y a mí no me parece que alguna de ellas tenga mayor relevancia que la otra, o sea, no hay un criterio matemático o geométrico o lo que fuere que nos haga pensar que una derivada fraccionaria sea mejor que la otra, y a mí no me convence ninguna.

Virando un poco la cosa, y espero no confundir, existe un concepto algo similar al ''orden fraccionaria de diferenciabilidad'' de una función, que se utiliza mucho en la teoría de ecuaciones diferencilales, y que puede hallarse en casi cualquier texto de ecuaciones en derivadas parciales con enfoque matemática, a saber, las funciones de tipo Sobolev.
Grosso modo una función diferenciable n veces ''es'' de tipo Sobolev de orden n, paro n natural, pero para orden n+t, siendo t un número entre 0 y 1, una función sería Sobolev de orden n+t si es n veces diferenciable, y además su derivada n-ésima es de tipo Lipschitz de orden t.

La noción de ser una función Lipschitz de orden t reemplaza al concepto usual de ser diferenciable de orden t, cuando t es fraccionario. No obstante, la lipschitzianidad no es análoga completamente a la diferenciabilidad. La derivada es algo más fuerte.

Y por último mencionar que el proceso que intenta poner Jabato de cociente de medidas y tomar el límite, se parece mucho a la diferenciación de una medida.
Ahora bien, al diferenciar una medida se pierde información en un conjunto de medida 0.
Lo análogo  ha de pasar con potencias fraccionarias, y entonces diferenciación de medidas es algo más sutil que diferenciación puntual. No son cosas intercambiables completamente.

La idea de aproximar fractales con curvas diferenciables me parece muy buena, y en principio no sé si se puede generalizar completamente a todos los fractales posibles.
A lo mejor pueda hacerse con los que se definen por composiciones de transf. de autosimilaridad, pero ignoro si puede hacerse mucho más allá (conjeturo que sí).

Yo estaba pensando en estudiar la misma idea de aproximación, pero no aplicada a fractales precisamente, sino a conjuntos que tienen otro tipo de irregularidad: curvas continuas no diferenciables por ejemplo.

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Jabato
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« Respuesta #19 : 15/11/2008, 06:13:06 pm »

Bueno, he entendido parte de tu mensaje argentinator, no todo, aun así diré que creo que estamos mezclando dos cosas que en principio no deben tener relación, yo también, me explico. No se trata de derivar un número no entero de veces, creo que esto no tiene relación con este asunto, basicamente la cuestión se reduce a dos problemas distintos, según lo veo yo:

1º Tratar de buscar una "regla" que permita establecer si un conjunto, en principio con una dimensión topológica entera, puede considerarse como un conjunto diferenciable, utilizando criterios relacionados con conjuntos (topología, métrica etc), no se si esto está hecho ó si es posible hacerlo.

2º Tratar de buscar una generalización a conjuntos con dimensión no entera, que serían los fractales.

El hecho de que un fractal pueda considerarse siempre (creo que es correcta tal afirmación) como límite de una sucesión de curvas ó de supeficies parece indicar que si conseguimos resolver el primer problema tambien debería ser posible resolver el segundo, y ahí estoy yo, y ahí me quedé.

Saludos, Jabato. 
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