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Autor Tema: Dimensión Fractal  (Leído 3153 veces)
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super_eman
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Solo se que no se nada


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« : 11/11/2008, 09:27:40 am »

Hola debo calcular la dimensión Fractal de:
a-Dragón.
b-Curva de Von Koch y del Copo de Nieve.
c- Triángulo y Carpeta de Sierpinski.
d-Conjunto del quinto medio de Cantor.
e- Conjunto del tercio medio de Cantor.
 Su ayuda será muy bien recibida, mi tiempo es escaso y mi capacidad de aprendizaje a esta altura del año es directamente proporcional a mi tiempo.
Saludos y Muchas Gracias.
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Jabato
Visitante
« Respuesta #1 : 11/11/2008, 06:12:49 pm »

Son todos fractales autosemejantes, la idea es calcular su dimensión para que su medida, [texx]M[/texx], sea finita no nula.

1º Curva del dragon: Cada iteración dobla el número de tramos y divide su longitud por[texx]\sqrt[ ]{2}[/texx]. Su longitud es por lo tanto la correspondiente a [texx]2^{n}[/texx] tramos de longitud [texx]\displaystyle\frac {L}{\sqrt[ ]{2^n}}[/texx]. Bastará pues calcular el valor de [texx]d[/texx] que hace finita su medida:

[texx]M=\displaystyle\lim_{\quad n \to\infty}{}2^{n}\cdot \left(\displaystyle\frac{L}{\sqrt[ ]{2^n}}\right)^d\in{(0,\infty)}\longrightarrow{d=2},\quad M=L^d[/texx]

Por lo tanto recubre el plano totalmente al ser su dimensión 2.

2º Curva de Von Koch y Copo de nieve: Para ambas curvas cada iteración multiplica el número de tramos por 4 y divide su longitud por 3. Su longitud es por lo tanto la correspondiente a [texx]4^n[/texx] tramos de longitud [texx]\displaystyle\frac {L}{3^n}[/texx]. Bastará pues calcular el valor de [texx]d[/texx] que hace finita su medida:

[texx]M=\displaystyle\lim_{\quad n \to\infty}{}4^n\cdot \left(\displaystyle\frac{L}{3^n}\right)^d\in{(0,\infty)}\longrightarrow{d=log_3\ 4=\displaystyle\frac{log\ 4}{log\ 3}},\quad M=L^d[/texx]

3º Triángulo de Sierpinski: Cada iteración multiplica el número de piezas por 3 y divide su área por 4. Su área es por lo tanto la correspondiente a [texx]3^{n}[/texx] piezas de área [texx]\displaystyle\frac {S}{4^n}[/texx]. Bastará pues calcular el valor de [texx]d[/texx] que hace finita su medida:

[texx]M=\displaystyle\lim_{\quad n \to\infty}{}3^{n}\cdot \left(\displaystyle\frac{S}{4^n}\right)^{d/2}\in{(0,\infty)}\longrightarrow{d=log_2\ 3=\displaystyle\frac{log\ 3}{log\ 2}},\quad M=S^{d/2}{[/texx]

4º Carpeta ó alfombra de Sierpinski: Cada iteración multiplica el número de piezas por 8 y divide su área por 9. Su área es por lo tanto la correspondiente a [texx]8^{n}[/texx] piezas de área [texx]\displaystyle\frac {S}{9^n}[/texx]. Bastará pues calcular el valor de [texx]d[/texx] que hace finita su medida:

[texx]M=\displaystyle\lim_{\quad n \to\infty}{}8^{n}\cdot \left(\displaystyle\frac{S}{9^n}\right)^{d/2}\in{(0,\infty)}\longrightarrow{d=log_3\ 8=\displaystyle\frac{log\ 8}{log\ 3}},\quad M=S^{d/2}[/texx]

¿Hace falta que siga? Si hace falta sigo.

Bueno, como no me gusta dejar las cosas a medias acabaré.

5º Conjunto del quinto medio de Cantor: Cada iteración multiplica el número de piezas por 4 y divide su longitud por 5. Su longitud es por lo tanto la correspondiente a [texx]4^{n}[/texx] piezas de longitud [texx]\displaystyle\frac {L}{5^n}[/texx]. Bastará pues calcular el valor de [texx]d[/texx] que hace finita su medida:

[texx]M=\displaystyle\lim_{\quad n \to\infty}{}4^{n}\cdot \left(\displaystyle\frac{L}{5^n}\right)^{d}\in{(0,\infty)}\longrightarrow{d=log_5\ 4=\displaystyle\frac{log\ 4}{log\ 5}},\quad M=L^{d}[/texx]

6º Conjunto del tercer medio de Cantor: Cada iteración multiplica el número de piezas por 2 y divide su longitud por 3. Su longitud es por lo tanto la correspondiente a [texx]2^{n}[/texx] piezas de longitud [texx]\displaystyle\frac {L}{3^n}[/texx]. Bastará pues calcular el valor de [texx]d[/texx] que hace finita su medida:

[texx]M=\displaystyle\lim_{\quad n \to\infty}{}2^{n}\cdot \left(\displaystyle\frac{L}{3^n}\right)^{d}\in{(0,\infty)}\longrightarrow{d=log_3\ 2=\displaystyle\frac{log\ 2}{log\ 3}},\quad M=L^{d}[/texx]

NOTA: Todas las dimensiones y medidas calculadas en este artículo se corresponden con dimensiones y medidas Hausdorff.

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #2 : 11/11/2008, 07:16:54 pm »

Hola Jabato, Muchísimas Gracias muy claras tus apreciaciones.
Saludos.
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Jabato
Visitante
« Respuesta #3 : 12/11/2008, 01:42:26 am »

Te recomiendo la lectura de esta página, sobretodo el capítulo dedicado a fractales, es realmente buena, aunque está en francés, pero se entiende bien.

http://www.mathcurve.com/index.htm

Saludos, Jabato.
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