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Autor Tema: Función Logística  (Leído 6074 veces)
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super_eman
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« : 29/09/2008, 07:19:35 pm »

Hola tengo un problema, debo entregar urgente un trabajo y no entiendo el material. Si alguien me lo puede resolver o derivar a alguna http donde me cultive con este tema.
Se trata de Función Logística, su iteración. (Un primer contacto con el caos).
Esta es la consigna, necesito su ayuda pronto :BangHead:. GRACIAS :sonrisa_amplia:
Después de trabajar con [texx]f(x) =\sqrt[ ]{x}[/texx]   y [texx]g(x) = x^2[/texx] en distintos registros, justifique las distintas cuestiones a partir de lo observado en las tablas de valores y el análisis gráfico:
a) Para [texx]f(x) =\sqrt[ ]{x}[/texx]    y un [texx]x_0[/texx] dado:
a1) ¿Existe un valor [texx]n_0[/texx] tal que la iteración [texx]f_n_0[/texx] diste de 1 un valor menor a [texx]10^{-3}[/texx]?
a2) ¿Qué sucede con estas diferencias para n > n0?

a3) ¿Puede exhibir un n finito tal que  [texx]\left |{fn(x_0) - 1}\right |[/texx] = 0?

 b) Para [texx]g(x) = x^2[/texx]y [texx]x_0[/texx]  =1,2:
b1) ¿Existe un valor [texx]n_0[/texx] tal que  [texx]f_n_0(x_0)[/texx] supere a 150?
Si, existe un valor [texx]n_0[/texx] donde [texx]f_n_0(x_0)[/texx] supera a 150 este valor es [texx]n_0[/texx]=5.
b2) ¿Qué sucede con el valor  [texx]f_n_0(x_0)[/texx] cuando n > [texx]n_0[/texx]?
   
b3) ¿Puede exhibir un n finito tal que [texx]f_n(x_0)[/texx] supere a un valor infinitamente grande?

Espero que algún alma caritativa se apiade de este pobre servidor.
Saludos.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 01/10/2008, 06:22:03 am »

Hola

 ¿Pero has intentado algo?.

 Se trata de que experimentes con la iteración de la función:

[texx] f(x)=\sqrt{x}[/texx]

 de manera que tomes un [texx]x_0[/texx] y luego hagas:

[texx] x_n=\sqrt{x_{n-1}}[/texx]

 En teoría, para buenos puntos iniciales, eso debiera converger a la solución de la ecuación [texx]f(x)=1[/texx].

 ¡Experimenta! Toma una calculadora, un programa de ordenador, papel y boli, ¡lo que sea! y haz unas cuentas para ver como evolucionana los iterantes.

 En este caso en realidad es fácil ver que:

[texx] x_n=x_{n-1}^{1/2}=x_{n-2}^{1/2^2}=\ldots=x_0^{1/2^n}[/texx]

 y así para cualquier [texx]x_0[/texx] positivo.

[texx] \displaystyle\lim_{n\to \infty}{}x_n=1[/texx]

 Haz lo mismo para la otra función [texx]g(x).[/texx]

 Verás que en estos ejemplos, es fácil controlar en que puntos hay convergencia y en cuales no.

 Cuando trabajes con la ecuación logística propiamente dicha ([texx]f(x)=rx(1-x)[/texx]) verás que la sucesión de iterantes se hace sorprendentemente incontrolable:

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/cnumerico/recursos/logistica.htm

Saludos.
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« Respuesta #2 : 01/10/2008, 07:15:03 am »

En verdad no intente nada, lo que pasa es que no tengo tiempo!!!
En Argentina los docentes somos explotados, debemos pagar por cursos donde nos enseñan conceptos que nunca vamos a utilizar en la secundaria, solo para no perder nuestro puestos de trabajos.
Bueno, eso sería tema de discusión para otro foro, uno que tenga política.
El _manco muchas Gracias por el aliento, eso era lo que necesitaba.
 Saludos.
PD: Yo sabia que podía contar contigo.
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« Respuesta #3 : 05/10/2008, 09:49:41 am »

Hola, me puse  a iterar la función pero el inciso [texx]a_3[/texx] no me sale como se si hay algún valor de n, yo solo se que tiende a 1.
Gracias
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #4 : 06/10/2008, 03:19:46 am »

Hola

 Fíjate que:

[texx] |f^{n}(x_0)-1|=0\quad \Rightarrow{}\quad f^{n}(x_0)=1\quad \Rightarrow{}\quad f(f^{n-1}(x_0))=1\quad \Rightarrow{}\quad [/texx]

[texx]\Rightarrow \sqrt{f^{n-1}(x_0)}=1\quad \Rightarrow{}\quad f^{n-1}(x_0)=1[/texx]

 Reiterando el argumento deducimos que:

[texx] |f^{n}(x_0)-1|=0\quad \Rightarrow{}\quad f^0(x_0)=x_0=1[/texx]

 Por tanto solo se da [texx]f^{n}(x_0)=1[/texx] para algún [texx]n[/texx], si el iterante inicial es [texx]x_0=1[/texx].

Saludos.
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