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Autor Tema: Encuentro de trenes  (Leído 11033 veces)
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luisaranda
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« : 04/09/2008, 05:36:41 am »

Hola
Siempre he querido saber resolver los problemas de trenes que se encuentran en un punto.
He buscado por internet, pero todo lo que encuentro es la formulación del problema.
¿Podéis decirme cómo se resolvería el siguiente problema?

La distancia entre dos estaciones A y B es de 480 Km. Un tren sale de A en dirección
a B con una velocidad constante de 100 Km/h. Al mismo tiempo otro tren sale de B hacia A
con una velocidad de 140 Km/h.
¿Cuánto tardarán en encontrarse?
¿A qué distancia de A y de B se encuentran


Y, además de la solución matemática, ¿existe alguna forma de resolverlo, más allá de fórmulas matemáticas, es decir, con algún tipo de lógica?

Gracias!
Luisa
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el_manco
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« Respuesta #1 : 04/09/2008, 12:40:49 pm »

Hola

 Sin entrar en formalismos.

 Primero resuelve este con sentido común:

 Un tren va a una velocidad constante de 240 km/h. ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer 480 km?.

 Ahora si dos trenes van en sentido contrario, piensa que (a efectos del movimiento) es como si uno de ellos estuviese quieto y el otro fuese hacia él con la suma de velocidades de ambos.

Saludos.
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aesede
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« Respuesta #2 : 04/09/2008, 12:44:07 pm »

Hola. Para resolver estos problemas tenés que acostumbrarte a pensar que la velocidad es un vector: tiene módulo, dirección y sentido.



La dirección de los dos trenes es la misma (es un movimiento unidireccional).

El tren que parte de A se mueve con una rapidez de 100km/h.

El tren que parte de B se mueve con una rapidez de 140km/h.

Los sentidos de las velocidades son contrarios. Si tomo que el tren que parte de A tiene velocidad positiva hacia B, el otro tren sí o sí va a tener sentido contrario, por eso el signo menos.

Para hacer el ejercicio, hago coincidir el origen de mi sistema de referencia en el punto en que se encuentra la estación A.

El encuentro de los dos trenes se va a producir cuando esten en la misma posición. La posición en función del tiempo en MRU viene dada por:



O sea:

-> TREN QUE PARTE DE A
-> TREN QUE PARTE DE B

La condición que establecí es que la posición sea la misma, o sea, igualo ambas expresiones:



Y despejo el tiempo del encuentro.

Para saber a qué distancia de la estación A se produjo el encuentro hay que calcular el espacio recorrido por el móvil A en ese tiempo que averiguamos.

Saludos :guiño:

Perdón el_manco, nos cruzamos...

* encuentro.PNG (2.48 KB - descargado 7538 veces.)
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« Respuesta #3 : 04/09/2008, 09:04:09 pm »

  Primero supongo que hay que tener claro los conceptos básicos  de velocidad.
 Si te imaginas que el móvil A  se dirige a B  a una velocidad constante  de 100  k/h,
 lo que significa  que en  en 1 hora   hará 100 k y así en 4.8 horas lograra  llegar a B  .y  B para llegar a A  lo hará en memos tiempo 480/140 = 3.428571429 horas

  Ahora   si ambos  van en sentido contrario  lo hará  en un tiempo inferior al que va mas rápido , esto por que el que  va en sentido contrario  también  a medida que avanza  va dejando  menos espacio  entre ambos .
 ej:
      El que parte de A  a B va a  100k/s después de 2 horas de trayecto             
                               
                    lograra llegar a 200 kilómetros  y le quedaran 280 por recorrer

      El que parte  de B a A  va a 140 k/s  después de 2 horas de trayecto 
 
                    lograra  llegar a 280 kilómetros  y le quedaran  200 kilómetros
 
      Como te da ras cuenta después de 2 horas   el espacio entre ambos es  cero .
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luisaranda
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« Respuesta #4 : 05/09/2008, 04:56:31 am »

Mil gracias!!!!!
Luisa
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« Respuesta #5 : 05/09/2008, 01:13:00 pm »

Saludos;

Para agregar un poco más a este tema, quisiera saber si existe algo de verdad en el siguiente planteamiento:

Supongamos que cuando empiezan a correr los dos trenes de Luisa, sale un mosquito desde el tren de la estación A a una velocidad de 1000 Km/h y vuela hasta el tren de la estación B, luego repite el movimiento desde B hasta A, y así hasta que los dos trenes chocan. Es lógico que los trenes chocarán luego de dos horas, pero ¿Es posible que el mosquito realice infinitos viajes? Además, si sumamos todos los trayectos del mosquito ¿Obtendremos una distancia finita?

Mi pregunta es: ¿Como se explica esta relación entre viajes infinitos, tiempos finitos y distancias finitas?
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« Respuesta #6 : 05/09/2008, 01:26:49 pm »

Hola

 Si en la época de Zenón hubiese trenes, seguro que esa pregunta la hubiera hecho él.

 ¿Un mosquito vuela a 1000km/h?

 En fin, lee por aquí:

http://es.wikipedia.org/wiki/Paradojas_de_Zen%C3%B3n

 Sorprendentemente todavía no ha salido en el foro (que yo, ayudado por el buscador, recuerde) un tema dedicado exclusivamente a la paradoja de Zenón.

Saludos.
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« Respuesta #7 : 05/09/2008, 01:35:55 pm »

El_manco, solo quería que se me explicara, con los argumentos de las matemáticas modernas, como se resuelve este tipo de planteamientos, ya que pocas veces en la Universidad algún profesor se interesa en hablar de estos temas.
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el_manco
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« Respuesta #8 : 05/09/2008, 01:46:05 pm »

Hola

 Matemáticamente no hay problema.

 Se pueden hacer infinitos recorridos cada vez más pequeños que tengan una suma finita.

 Por ejemplo.

 - Primer recorrido .
 - Segundo recorrido .
 - Tercer recorrido .

 - Recorrido n-simo .

 Para saber cuanto hemos recorrido en total en esos tramos sumamos:



 donde esa fórmula se ha obtenido con el razonamiento típico para las progresiones geométricas..

 Cuando se hace muy grande, se hace muy pequeño por lo que la suma se acerca a .

 En definitiva pese a sumar infinitos tramos, todos ellos suman uno.

 De igual forma los infinitos tiempos en que se hizo cada tramo, pueden sumar un tiempo finito.

 En definitiva matemáticamente estamos trabajando con series convergentes.

 Uno también puede pensar todo esto desde un punto de vista más filosófico. Pero yo hoy no tengo ganas.  :guiño:

Saludos.

P.D. Si quieres puedes hacer "las cuentas" para tu ejemplo concreto del mosquito y los trenes.
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« Respuesta #9 : 05/09/2008, 02:25:43 pm »

Bueno, si elevamos un poco más alto el punto de vista, (Zenon estaba a nivel del suelo y no veia tres en un burro), pero bueno, si elevamos un poco nuestro punto de vista podemos ver que:

Si tenemos una sucesión, , cualquiera de términos positivos y límite 0, creo que puede demostrarse (para la mayoría de los casos) que al menos existe un valor de (y todos los valores superiores a ese también cumplen) que hace que la serie:


sea convergente, por lo tanto para cualquier sucesión en la que la suma de infinitos sumandos es infinito (serie divergente) siempre podemos encontrar otra para la que la suma de infinitos sumandos es finito, bastará elevar a una determinada potencia los términos de la sucesión. No hay nada de extraño en eso, es necesario que eso sea así, y siempre ocurre de esa forma. A veces el valor mínimo de es 1 y otras veces 247, pero que más da, al fin y a la postre obtenemos una suma de infinitos términos que es finita. ¿Que hay de raro en eso?

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #10 : 05/09/2008, 02:36:55 pm »

¿Es posible que el mosquito realice infinitos viajes? Además, si sumamos todos los trayectos del mosquito ¿Obtendremos una distancia finita?
A todo esto ¿conoces la forma sencilla de calcular la distancia recorrida?

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Jabato
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« Respuesta #11 : 05/09/2008, 02:41:26 pm »

Un mosquito que se mueva en esa forma no es de este mundo, puesto que el mosquito tiene masa y si tiene masa tiene inercia, y en consecuencia no puede modificar su velocidad de forma instantánea de 100 km/h a -100 km/h, aunque sea aprovechando el impulso de un tren. (Creo que esas fuero las últimas palabras de Newton antes de morir).

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #12 : 05/09/2008, 03:01:29 pm »

Hola

Cita
Bueno, si elevamos un poco más alto el punto de vista, (Zenon estaba a nivel del suelo y no veia tres en un burro), pero bueno, si elevamos un poco nuestro punto de vista podemos ver que:

Uy, un respeto a Zenón. Ya quisieran muchos ver como él.

Cita
Si tenemos una sucesión, , cualquiera de términos positivos y límite 0, creo que puede demostrarse (para la mayoría de los casos) que al menos existe un valor de (y todos los valores superiores a ese también cumplen) que hace que la serie:


sea convergente, por lo tanto para cualquier sucesión en la que la suma de infinitos sumandos es infinito (serie divergente) siempre podemos encontrar otra para la que la suma de infinitos sumandos es finito, bastará elevar a una determinada potencia los términos de la sucesión. No hay nada de extraño en eso, es necesario que eso sea así, y siempre ocurre de esa forma.


Ese latiguillo que usas a veces, lo siento, pero siempre me hace mucha gracia. Esa "necesidad" de los argumentos es curiosa. Pero bueno eso es tontería mía.

Por otra parte el resultado que dices creo que es quasifalso (el quasi es por que eso de "la mayoría de los casos" es muy subjetivo). Si no me equivoco es un contrajemplo. Y si damos un sentido riguroso a mayoría (por ejemplo en términos de cardinalidad), intuyo que la mayoría no lo cumplirá.

Por otro lado este giro me parece que se aleja del tema Zenón...

Saludos.
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« Respuesta #13 : 05/09/2008, 03:21:28 pm »

Disculpa, puse mayoría de los casos para evitar los infinitésimos de "pendiente infinita", no vamos a volver a la discusión de los infinitésimos ¿no te parece?. La cardinalidad es mayor en los casos que cumplen ya que por cada caso que tu puedas darme que no cumple yo puedo diseñar infinitos que si cumplen. Me basta girar la grafica de la función que tu me des respecto al origen un ángulo cualquiera comprendido entre 0 y 90º a derechas para obtener una función que si cumple. Por lo tanto la cardinalidad de los casos que cumplen es mayor que la de los que no cumplen, en la proporción de 1 a infinito.

Bueno, estabamos hablando de como es posible que la suma de infinitas cantidades dé como resultado un valor finito, que básicamente fué el problema planteado por Zenón, en su famosa paradoja de Aquiles y la tortuga, así que pienso que el tema no se aleja demasiado del problema planteado por Zenón. La demostración de que en la mayoría de casos es posible hallar ese demuestra claramente que la visión geométrica de Zenón era bastante limitada, si bien no su capacidad filosófica, en eso estamos de acuerdo.

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #14 : 05/09/2008, 03:35:08 pm »

Hola

Cita
Me basta girar la grafica de la función que tu me des respecto al origen un ángulo cualquiera comprendido entre 0 y 90º a derechas para obtener una función que si cumple. Por lo tanto la cardinalidad de los casos que cumplen es mayor que la de los que no cumplen

Te recuerdo que había ejemplos donde ni una función ni su girada cumplia la condición. Idem para sucesiones.

No tengo ni miguita de ganas de hacer cálculos rigurosos de cardinalidad, pero normalmente las construcciones monstruo sorprendentemente son mas abundantes que las normales. Por ejemplo hay más funciones continuas no diferenciables en ningún punto, que continuas diferenciables en un punto. Sin embargo es más difícil para nosotros entender y construir las primeras.

Por eso digo que lo "intuyo".

Y por eso me parece complicarse la vida meter ese tema tan "espinoso" (sobre el cual no tengo especial interés en volver) para "demostrar claramente que la visión geometrica de Zenón era limitada".

Saludos.
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« Respuesta #15 : 05/09/2008, 03:39:12 pm »

La cardinalidad es mayor en los casos que cumplen ya que por cada caso que tu puedas darme que no cumple yo puedo diseñar infinitos que si cumplen.
La cardinalidad de las funciones de es . Luego, podemos tomar la sucesión con y ya conseguimos un conjunto de cardinalidad de sucesiones que no cumplen con esa propiedad.
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« Respuesta #16 : 05/09/2008, 03:49:37 pm »

Hola

 Si bueno, pero la cardinalidad de las que si lo cumplen también es la misma: no decide.  :guiño:

Saludos.
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« Respuesta #17 : 05/09/2008, 03:51:56 pm »

Perdona manco te recuerdo que la sucesión debe ser de términos positivos y el ejemplo era de no poderse satisfacer con la simétrica pero con un giro de 45º y con cualquier ángulo entre 0 y 90º se obtienen sucesiones para las que existe dicho valor.

Cualquiera que sea la cardinalidad de funciones que no cumplen es menor que la de las funciones que cumplen.

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #18 : 05/09/2008, 03:58:17 pm »

Hola

 Si bueno, pero la cardinalidad de las que si lo cumplen también es la misma: no decide.  :guiño:

Saludos.
Justamente. Al tener la misma cardinalidad no hay ninguna "mayoría". Hay la misma cantidad de sucesiones que cumplen esa propiedad como las que no la cumplen.
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« Respuesta #19 : 05/09/2008, 04:29:24 pm »

Bueno veamos la primera solución que no cumple y que propuso el manco:


Usemos la función en el entorno de 0:


Si giras su gráfica respecto al origen un ángulo cualquiera comprendido entre 0 y 90º, y deshaces el cambio obtienes otra sucesión de términos positivos también y que cumple la condición. Como puedo realizar infinitos giros distintos por cada una que tu me pongas yo puedo obtener infinitas sucesiones que cumplan.

Saludos, Jabato.
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