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Autor Tema: Escalera del diablo II  (Leído 3581 veces)
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héctor manuel
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« : 03/08/2008, 03:59:25 pm »

Hola amigos del foro.  A cerca de la función de Cantor, tengo la siguiente duda:

La definición que conozco es:  sea [texx]x\in{[0,1]}[/texx] tal que [texx]x=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{a_{n}}{3^n}}[/texx] con [texx]a_{n}\in{\left\{{0,1,2}\right\}}[/texx] (x se escribe en notación en base 3).

Sea [texx]m(x)=min\left\{{n\in{\mathbb{N}}:a_n=1}\right\}[/texx] si existe y [texx]m(x)=\infty[/texx] en caso contrario.

Entonces la función de Cantor se define como [texx]G:[0,1]\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx] tal que
[texx]G(x)=\displaystyle\frac{1}{2^{m(x)}}+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{m(x)-1}{\displaystyle\frac{a_n}{2^n}}[/texx].  La pregunta es:

¿cómo se puede demostrar que la imagen G(x) de toda x es independiente de la expansión trinaria de x que se escoja si es que x tiene dos expansiones diferentes? 

Es decir, si [texx]x=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{a_{n}}{3^n}}[/texx]y [texx]x=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{b_{n}}{3^n}}[/texx] con [texx]a_n,b_n\in{\left\{{0,1,2}\right\}}[/texx] y algún [texx]a_j\neq{b_j}[/texx], por qué se tiene que G(x) sigue valiendo lo mismo.

Saludos y como siempre gracias.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 04/08/2008, 04:49:16 pm »

Hola

 Utiliza que los únicos números con dos expansiones trinarias distintas son racionales no períodicos. Son de la forma:

 [texx]x=0.a_1\ldots a_n222222222222\dots =0.a_1\ldots a_n+0.\underbrace{0\ldots 01}_n[/texx]

Saludos.
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