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Autor Tema: Aplicaciones en ingeniería de la serie de Taylor  (Leído 3767 veces)
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fernandopoma
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« : 02/08/2008, 06:53:58 pm »

Hola gente, debo realizar un trabajo para la facultad y necesito saber algunas aplicaciones en la ingenieria de la serie de Taylor, desde ya muchas gracias.
saludos.
fernando
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Jabato
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« Respuesta #1 : 02/08/2008, 08:23:12 pm »

Supongo que hay muchas, pero la más conocida para mi es la ecuación de cambio de condiciones, para resolver el problema de calcular la tensión y la flecha en cualesquiera condiciones medioambientales de un cable real (con módulo de elasticidad y coeficiente de dilatación) suspendido por dos de sus extremos en un vano de logitud A y tendido a la temperatura de t0 y con tracción inicial T0. Hoy en día con los computadores existen muchas formas de resolver este problema pero no hace muchos años había que recurrir a métodos aproximados. La forma que adopta un cable en estas condiciones es la de una catenaria, y para resolver el problema, por este método, se aproxima la catenaria a una parábola, usando los tres primeros términos de su desarrollo en serie de Taylor.

Es una aplicación que se usa frecuentemente en distribución y transporte de la eléctricidad ya que colgar un cable por sus extremos y someterlo a una tensión eléctrica elevada, 20kV, 30kV, hasta 400kV exige uns garantías de que el frío, el viento ó el hielo e incluso el calor no van a deformarlo de forma que resulte dañado con el consiguiente peligro. Hay que tener en cuenta que las tracciones mecánicas a que se encuentran sometidos estos cables oscilan entre varios cientos de kg hasta más de mil kg para lineas de transporte, con vanos muy largos.

Saludos, Jabato.
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fernandopoma
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« Respuesta #2 : 03/08/2008, 03:01:31 am »

muchisimas gracias jobato, estuve buscando sobre la ecuacion de cambio de condiciones y encontre algo pero no tenia cosas de taylor, yo necesito algo como lo q voy a poner a continuacion, asiq si alguien tiene en su compu y me lo puede pasar, desde ya muchas gracias..
saludos.
fernando.


S E R I E S
APLICACIONES DE LAS SERIES A LA INGENIERIA
LA SERIE DE TAYLOR: CIRCUITO ELECTRICO
Propuesta: “Existen razones teóricas para creer que las característica de volts – amperes de un
diodo termiónico es una función con potencia de tres medios”:
i = k 1
vE
b
+
3
2
Previo al análisis de esta propuesta veamos los siguientes conceptos:
! La potencia en Watts: Es la “potencia real” consumida por el equipo.
! Volts – amperes: Es la “potencia aparente” del equipo, y es el producto de la tensión aplicada y la
corriente que por el circula. El valor en VA es utilizado para dimensionar correctamente los cables y los
circuitos de protección.
! Diodo: Son dispositivos unidireccionales, por tanto por ellos no puede circular la corriente en sentido
contrario al de conducción. La principal aplicación del diodo es la obtención de una tensión continua a
partir de una fuente de corriente alterna lo cual ocurre porque deja circular corriente a través suyo
cuando se conecta el polo positivo de la fuente al ánodo, y el negativo al cátodo, y se opone al paso de
la misma si se realiza la conexión opuesta de forma que realiza así la conversión de corriente alterna en
continua al permitir solo el paso de las alternancia positiva. A este proceso se llama rectificación.
! Rectificador: Circuito cuya base es el diodo. De un circuito rectificador se obtiene tensión continua
partiendo de una tensión alterna.
! Voltaje alterno: La diferencia de potencia entre dos puntos de un campo electrostático es la diferencia
entre los potenciales de dichos puntos; puesto que los potenciales se expresan en voltios, la diferencia
de potencial se expresará también en voltios. El concepto de diferencia de potencial es
extraordinariamente importante, tanto en electrostática como en los circuitos eléctricos. Los ingenieros
electricistas utilizan la palabra voltaje al referirse a la diferencia de potencial.
Consideremos la representación de una curva por una serie de potencias. Una curva i se muestra en la
siguiente figura; puesto que es una función de v la marcamos en notación funcional, i (v). Podemos saber
o no, la ecuación para esta i (v), pero de algún modo conocemos el valor de i (v) y los de todas sus
derivadas en el punto P en el que v = v0 . Esto es, en notación funcional, conocemos i(v0 ) i’(v0 )
i’’(v0 ) , etc.
Se va a encontrar una serie de potencias para aproximar esta función cerca del punto P. La serie sería
igual a la función en el punto P y sería una buena aproximación para cierta distancia en ambos lados de
este punto.
La diferencia entre el voltaje v0 en el punto P y el voltaje v en algún otro punto a lo largo de la curva v -
v0 . Escribiremos una serie de potencias en función de esta diferencia:
a1(v v0) a2(v v0)
2 + a 3(v v0)
3 + + ...
Deseamos esta serie igual a i (v) en el punto P, donde v = v0, y que sea una buena aproximación de i (v)
para valores de v cerca de v0. Esto es, cuando una curva se traza para la serie, como en la figura,
deseamos que la curva de la serie coincida con la curva para i (v) en el punto P y que sea lo más cercana
posible a la curva a lo largo de cierta distancia en cada lado de P.
Matemática Superior Aplicada Wilo Carpio Cáceres 01/04/05 37
S E R I E S
GRAFICA: Aproximación de una función por la serie de Taylor
i
a2 (v - v0)
v0
P
a1 (v - v0)
v
a0 + a1( v - v0)
i (v) a0 + a1(v - v0) + a2(v - v0)
Primero para hacer la serie igual a i (v) en P, donde v = v0 e i(v) = i (v0 )
Sustituimos v0 por v en la serie, y hacemos la serie igual a i (v0 ), obteniendo:
i (v0) = a0 + 0 + 0 + 0 + ...
Así, encontramos que a0 , deberá ser igual a i (v0 ) , y esto es suficiente para hacer i(v) igual a a0
en el punto P. Pero a0 no es una aproximación de i (v) en otros puntos. Gráficamente, la línea
horizontal a0 intercepta la curva para i (v) en el punto (v0, io) como se muestra en la figura, pero en
otra parte no está ni siquiera cercana a la curva.
Por lo tanto, consideremos a continuación el segundo término de la serie. Escribimos, como una segunda
aproximación de i (v) los dos términos a0 + a1 ( v1 - v0 ).
Gráficamente, como en la figura estos dos términos dan una recta inclinada. Está recta inclinada
ciertamente pasará a través del punto P.
La pendiente de la línea recta a0 + a1 ( v1 - v0 ) es a1. La pendiente de i (v) en el punto P es el valor
conocido de la derivada i’ (v0 ). Hagamos, entonces, esta igualdad para obtener el mejor valor para a1 ;
encontramos que: a1 = i’ (v0 ). Pero, como podemos ver en la figura, la aproximación sigue no siendo
muy buena.
No podemos representar una curva por una línea recta, aunque la pendiente sea correcta. Por lo tanto,
sumamos un tercer término a la serie, un término cuadrático, y sumamos una parábola a la línea recta
inclinada, para hacer una aproximación mejor. Nuestra tercera aproximación para i es
a0 + a 1(v v0) a2(v v0)
2 +
Esta parábola abrazará la curva más cercanamente en cada lado del punto en cuestión, si tiene la misma
curvatura que la función dada. Hemos estipulado hasta ahora, que nuestra aproximación pasará por el
punto correcto (por la elección de a0), y que tendrá la pendiente correcta ( por la elección de a1) ; ahora
Matemática Superior Aplicada Wilo Carpio Cáceres 01/04/05 38
S E R I E S
procuraremos que tenga la curvatura correcta ( por la elección de a2). Esto se logra haciendo la segunda
derivada de la parábola igual a la segunda derivada de la función. La segunda derivada de la parábola,
encontrada diferenciando la expresión:
a0 + a 1(v v0) a2(v v0)
2 +
es 2a2 . Esto se iguala a i’’ (v0 ), segunda derivada conocida de la función en v0: a1
2a2 = i’’ (v0 )
Por tanto a0 = (1/2)/i’’ (v0 ), asi, todos los coeficientes de la serie pueden evaluarse, término por
término, sumando una curva cúbica para hacer que la tercera derivada concuerde, posteriormente un
término a la cuarta potencia, etc.
La serie de potencias así obtenida, serie de Taylor, se escribe formalmente:
i(v) = i(v0) + i´( v0 )(v v0)
i´´v0
2!
(v v0)
2 + + ...
APLICACIÓN: “existen razones teóricas para creer que las característica de volts – amperes de un
diodo termiónico es una función con potencia de tres medios”:
i = k 1
vE
b
+
3
2
Puesto que deseamos desarrollar esta función en una serie que se utilizará para calcular i cuando v es un
pequeño voltaje alterno, variándolos desde v = 0 ; es razonable desarrollar la función partiendo del punto
v = 0, esto es en la figura, v0 = 0
Y la ecuación
i(v) = i(v0) + i´( v0 )(v v0)
i´´v0
2!
(v v0)
2 + + ...
Será
i(v) = i (0) + i´(0)v
i´´(0)
2!
v2 + + ...
(Este caso especial de la serie de Taylor se llama de Maclaurin).
Ahora se encuentra i (0) escribiendo v = (0) en la ecuación
i = k 1
v
Eb
+
3
2
Obteniendo i (0) = k
La primera y segunda derivadas de la corriente son:
i´( v) =
di
dv =
3k
2Eb
1
v
Eb
+
1
2
i´(0)=
3
2
k
Eb
Matemática Superior Aplicada Wilo Carpio Cáceres 01/04/05 39
S E R I E S
i´´( v) =
d2 i
dv2 =
1
2
3
2
k
Eb
1
v
Eb
+
1
2
i´´0 =
3
4
k
Eb 2
Estos son los coeficientes que se usarán en la ecuación
i(v) = i (0) + i´(0)v
i´´(0)
2!
v2 + + ...
i(v)= K 3
2
K
Eb
+ v
3
8
K
Eb 2 v2 + + ... = K 1
3
2
v
Eb
+
3
8
v2
Eb 2 + + ...
Así, una expresión de la característica de un diodo se obtiene como una serie de potencias.
Conclusión:
Así, una expresión de la característica de un diodo se obtiene como una serie de potencia. La
conveniencia de esta forma para calcular la corriente acaba de demostrarse, porque ésta fue la ecuación
que tomamos como punto de partida en la discusión del diodo.
Nos podemos preguntar, ¿Es permisible utilizar solamente tres términos de la serie de potencias y
despreciar los otros términos de mayor grado?
Consideremos el tamaño de los términos descartados. Si v / Eb es tan pequeña como ¼, el mayor de
los términos descartados sería únicamente
3
48
1
4
3
=
1
1024 que es seguramente
despreciable comparado con los términos de la serie.
Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que tres términos describen la característica del diodo en el
punto v = 0 estipulando que v es pequeña comparada con Eb.
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