Foros de matemática
25/10/2014, 12:28:24 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: ¿El único resultado de la raíz cuadrada es el positivo?  (Leído 3692 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Laur
Junior
**

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 22


Ver Perfil Email
« : 31/07/2008, 12:56:07 pm »

La otra duda que tengo también tiene que ver con una profesora.
Hace cinco o seis años hice un curso de perfeccionamiento docente organizado por la Universidad Nacional de Quilmes sobre sistemas de ecuaciones lineales.(lindo curso)

En uno de los apuntes decía:

"Los alumnos llegan a la Universidad con la errónea idea de que la raíz cuadrada de un número tiene dos resultados, cuando en realidad a partir de la definición, el resultado de la raíz es siempre un número positivo".

Me sentí mal, yo enseñaba eso. De modo que busque alguna bibliografía y encontré que en algunos libros la definición excluía el resultado negativo (Probablemente con el proposito de que sea función) y en otros no.
La definición en Wikipedia es:"En matemáticas la raíz cuadrada de un número x es aquel número no negativo (positivo o cero) que multiplicado por sí mismo es x. ..."

¿Es esta la definición más corriente?, ¿No queda algo pendiente en la resolución de ecuaciones cuadráticas?

Me parece que en este caso mi profesora tenía razón. Pero en aquel momento la discusión fue interesante.

En línea
escarabajo
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 3.244


Quimey


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 31/07/2008, 01:10:31 pm »

Hola..

¿No queda algo pendiente en la resolución de ecuaciones cuadráticas?

¿Mmm, por qué pensas eso?

Simplemente para una ecuación estilo:



Las soluciones son:



La definición de la raíz no tranca en nada la resolución de este tipo de ecuaciones.

Saludos.
En línea

"Escapar sólo no es interesante...minimo tienen que ser dos".
Jabato
Visitante
« Respuesta #2 : 31/07/2008, 03:54:50 pm »

Bueno, yo creo que se pueden hacer las cosas de muchas maneras y a veces no nos damos cuenta de las cosas que decimos, y en matemática conviene precisar, ya que si no estamos perdidos, veamos, no es lo mismo decir:

                 

que decir:

                 

En todos los sitios donde he leido en mi vida la versión utilizada es la segunda, aunque a veces por simplificación del texto se escriben cosas que pueden inducir a conceptos erróneos, pero en mi opinión la versión correcta es la segunda, si.

La explicación es la siguiente, creo, el doble signo se asume al hallar todas las soluciones de una ecuación de segundo grado (definida en R), pero no al hallar el resultado de una operación algebraica como es el cálculo de la raíz cuadrada.

Aunque hay un comentario que hacer, al extrapolar esta versión del asunto al campo complejo la interpretación que yo dí  dejaría de ser válida, y eso ya no me parece tan correcto, ya que en dicho campo cuando se habla de las raíces n-simas de la unidad se habla de una operación matemática y no de las soluciones de una ecuación, creo, entonces a la pregunta de ¿cual es la versión correcta?, pues ya me entraron las dudas:

¿La raices n-simas de la unidad son las soluciones de la ecuación ó el resultado de realizar la operación matemática ? y si la respuesta correcta es la primera, entonces ¿cual es el resultado de la operación hallar la raíz n-sima de la unidad en el campo complejo?

Saludos, Jabato.
En línea
Braguildur
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Perú Perú

Mensajes: 4.670



Ver Perfil
« Respuesta #3 : 31/07/2008, 10:48:48 pm »

Hola.

 Tal vez te sirva de algo leer esto


Saludos.
En línea
Jabato
Visitante
« Respuesta #4 : 31/07/2008, 11:07:55 pm »

La verdad es que no me sirvió de mucho, pero vayamos al asunto, cuando yo busco las soluciones de la ecuación:


la respuesta es clara tanto si estamos en los reales como en los complejos, las soluciones de esa ecuación son dos, .

Pero si tratamos de hallar el valor de ¿como debemos realizar la operación y cual será el resultado correcto? ¿Hay más de un resultado? ¿es lo mismo realizar el cálculo en los reales que en los complejos?

Una respuesta clara quiero.

Lo que no debiera ocurrir, al menos según lo veo yo, es que la raíz cuadrada del número real 1 sea 1 y la raíz cuadrada del número complejo 1+0i sea 1, por ahi si que empiezo a ver espejismos, porque entonces:


y eso ya no me cuadra.

Saludos, Jabato.
En línea
Braguildur
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Perú Perú

Mensajes: 4.670



Ver Perfil
« Respuesta #5 : 31/07/2008, 11:20:13 pm »

Hola.

  Nuevamente es una cuestión de definiciones y parece que en este caso, como en otros, no hay un acuerdo universal, personalmente me inclino más por la respuesta de Jabato (es la que más uso cuando estoy en los números reales), pero hay que tener en cuenta que podemos tomar otras definiciones de raiz cuadrada (que no son equivalentes entre si), como las que se ven en el enlace que puse antes y según esto el resultado de puede variar.

Saludos.
En línea
Jabato
Visitante
« Respuesta #6 : 31/07/2008, 11:40:52 pm »

La única explicación razonable que veo en todo este asunto es que la operación aritmética raíz en los reales es distinta a la operación aritmética raíz en los complejos, es decir existen dos operaciones aritméticas distintas que se denominan igual y se representan igual, lo que no cabe duda que es un contrasentido. Si extendemos el razonamiento a las raíces n-simas entonces ya las diferencias son claramente manifiestas en ambos campos. No veo otra explicación, pero la cosa es grave porque la primera no es un caso particular de la segunda. Deberían denominarse ambas operaciones con nombres distintos y ser representadas con símbolos distintos.

Saluos, Jabato.
En línea
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 29.541


Ver Perfil
« Respuesta #7 : 01/08/2008, 05:10:46 am »

Hola

 No hay nada especialmente raro.

 Tanto en el caso complejo como el real, podemos manejar la raíz cuadrada (o n-sima) como función. Entonces a cada valor de le corresponde una única "raíz cuadrada" un único número real o complejo que elevado al cuadrado nos da .

 En el caso real, por convención, suele escogerse la raíz positiva, de manera que la raíz cuadrada como función es:

 

 el único real positivo que elevado al cuadrado nos da

 En el caso complejo, más de lo mismo. El problema es que no es tan "natural" el eligir ni el dominio ni la "rama" de la raíz cuadrada que vamos a elegir. Tendremos en general:

 

 donde es cualquier camino simple (por ejemplo una semirrecta) que une el cero con el infinito. Puede probarse que siempre puede definirse una función continua en ese dominio tal que si entonces . Sea como sea somos libres de "elegir" la rama que nos convenga.

 Por ejemplo si tomamos (los negativos) podríamos definir:

 

 =complejo de módulo y argumento, donde

  es la raíz real definida anteriormente.

 Por supuesto si uno quiere resolver este tipo de ecuaciones:

 

 uno debe de tomar todas las posibles raíces de , pero eso no contradice nada de lo anterior.

 Excpecionalmente cuando trabajamos con números complejos todavía uno puede trabajar con funciones multivaluadas, donde permitimos que una función (pero no es una función "al uso") tome muchos valores en un punto, para manejar de manera conjunta todas las posibles definiciones de este tipo de funciones. Pero insisto es que esto es excepcional.

 Por supuesto en todo esto hay abusos de notación, que como he dicho muchas veces, son muy abundantes en matemáticas y aunque en algún caso pueden causar alguna confusión, son más los beneficios y comodidad que reportan.

 Como dijo Braguildur todo es un problema de definición. De manera coloquial se dice muchas veces "la raíz cuadrada de es y " indicando que ambos números al cuadrado nos dan . Pero como dije al principio para manejarla como función nos quedamos con un sólo valor.

Saludos.

P.D. Por resumir, si nos centramos el caso real vuevlo a reafirmarme a lo dicho por mi en el enlace indicado por Braguildur:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=9086.msg37642#msg37642
En línea
Jabato
Visitante
« Respuesta #8 : 01/08/2008, 05:38:55 am »

Vamos a ver manco, seamos un poco estrictos, que eso solo nos va a traer beneficios:

Es correcto afirmar:



según tu exposición si, es correcto.

Y es correcto afirmar, siempre según tu exposición, que:



también es correcto.

Las dos no pueden ser correctas simultaneamente porque si eso es así entonces es fácil deducir que:


lo que claramente es falso. Recuerda que dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.

Entonces debemos elegir alguna de las opciones:

                     

pero si me dices que trabajando con reales debemos optar por la primera y trabajando con complejos debemos optar por la segunda, entonces si que tenemos un grave problema, porque resulta que 1 es real y es complejo a la vez. Debemos ser algo mas precisos ¿no te parece? La única forma de explicar este lío es suponer que la operación que realizamos en el primer caso es una y en el segundo caso es otra, son dos operaciones distintas y deberían llamarse y simbolizarse de distinta forma.

El resultado de la primera operación es un número y el resultado de la segunda es un conjunto, y desde luego ambos resultados son distintos, por lo tanto las operaciones que estamos realizando son distintas, de eso no hay duda, pero tampoco hay duda de que el símbolo empleado para representarlas es el mismo.

Debes tener en cuenta manco que en el campo complejo cuando hallamos la raíz n-sima no hallamos uno de los n posibles valores, los estamos hallando todos, es decir, en el campo complejo el resultado de la operación hallar la raíz n-sima es un conjunto con n elementos, no solo se opta por una rama, la respuesta correcta es el conjunto de todas ellas.


Saludos, Jabato.
En línea
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 29.541


Ver Perfil
« Respuesta #9 : 01/08/2008, 06:15:58 am »

Hola

 Insisto es un problema de definción. De acuerdos. Decidimos vamos a llamar "patatín" a esto o a esto otro. En algunos casos en matemáticas esa definción es "universal", no depende del contexto. En otros casos depende del contexto. Si es necesario y hay posibilidad de confusión, se precisa que definición se está usando.

 Se habla de suma de números, de módulos, de espacios vectoriales, de grupos, de espacios topológicos, en fin... a todo ello se le llama suma y casi siempre dependiendo del contexto uno sabe de a que nos estamos refiriendo.

 Continuamente tu y yo manejamos funciones sin precisar el rango ni el dominio; si en algún caso (manejo de arcosenos, arcosenos por ejemplo) esto tuviese relevancia pues si indica. Pero sería tedioso hacerlo siempre.

 Esta introducción la hago para dejar claro que en matemáticas un mismo símbolo puede tener varios significados dependiendo del contexto, de dónde y para que se quiera utilizar. Esto es algo que parece (por mi experiencia contigo en otros debates) que te resulta incómodo aceptar.

 Para mi es el pan nuestro de cada día porque trabajo en eso. Casi todos los artículos de matemáticas comienzan con una pequeña sección dedicada a fijar la notación. Obviamente no se recuerdan TODAS las definiciones o símbolos que se usan, sino sólo aquellas más relevantes o donde pudiera haber alguna confusión. Se indican también los "abusos de notación" que se harán.

Lo que yo he dicho y no hay ninguna diferencia en esto en el caso real y complejo es que cuando definimos la función raíz cuadrada elegimos una "rama" con que solución nos vamos a quedar.

 En el caso real lo usual es quedarse con la positiva (podríamos quedarnos con la negativa, pero parece menos natural).

 En el caso complejo, además hay que elegir el dominio (en el real no nos queda más remedio que tomar los positivos) como indiqué en mi post anterior. Luego elegimos una u otra rama. Por ejemplo, en el caso que cite antes:

Cita
Por ejemplo si tomamos (los negativos) podríamos definir:

 

 =complejo de módulo y argumento, donde

  es la raíz real definida anteriormente.

 Podría haber definido la raíz cuadrada como:

 =complejo de módulo y argumento, donde

 Eligiendo una rama diferente. Insisto es que la diferencia con el caso real es que esta elección es menos obvia, menos evidente.

Cita
Entonces debemos elegir alguna de las opciones:

                     

pero si me dices que trabajando con reales debemos optar por la primera y trabajando con complejos debemos optar por la segunda,

 ¿Dónde he dicho eso?. Lo que dije es que excepcionalmente, a mayores, en los complejos todavía uno a veces se trabaja con funciones multivaluadas (que se definen con total precisión). Pero digamos que eso es "otra historia". Para manejar la raíz cuadrada como función se hace una elección, tanto el caso real como en el complejo.

Cita
El resultado de la primera operación es un número y el resultado de la segunda es un conjunto, y desde luego ambos resultados son distintos, por lo tanto las operaciones que estamos realizando son distintas, de eso no hay duda, pero tampoco hay duda de que el símbolo empleado para representarlas es el mismo.

 Tanto en los complejos como en los reales. El resultado de esta ecuación:

 

 es

  ó

 Como notación es cierto que en el caso real suele escribirse:

 

 y en el complejo (a veces) simplemente:

 

 En realidad en ambas cosas hay abusos de notación, por que un número no es igual a dos números. Pero hacer problema de esto, es crear un problema ficticio. El contexto nos determinará en su momento que estamos queriendo decir.

Saludos.

P.D. En general me llaman la atención como se alargan las discusiones donde sólo hay que ponerse de acuerdo en como definimos las cosas.
En línea
bepro
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 331


bepro bepro_2000
Ver Perfil WWW
« Respuesta #10 : 01/08/2008, 07:39:11 am »

Utilizando la definición de la raiz cuadrada de la unidad, el resultado es claro: donde k=0,1 y así obtenemos que:
Saludos
En línea
Jabato
Visitante
« Respuesta #11 : 01/08/2008, 08:14:09 am »

Entonces parece que Bepro me da la razón, la raíz cuadrada de 1 no es un número, es un conjunto, ¿es eso lo que quieres decir, Bepro?

Entonces es cierto que:



¿no es eso Bepro?

Saludos, Jabato.

 
En línea
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 29.541


Ver Perfil
« Respuesta #12 : 01/08/2008, 09:34:56 am »

Hola

Cita
La raíz cuadrada de 1 no es un número, es un conjunto.

 "Es".Tsssss. Me gustaría más "se define usualmente como" y entonces ahí si queréis si hay debate. Sería un debate sobre que es más aceptado, por defecto, en el mundillo matemático usual. Aunque como vengo diciendo por activa y por pasiva, en la práctica, no veo que haya confusión.

 Se le llama raíz -sima de la unidad a un número complejo que elevado a nos da .

 En ese sentido y son raíces cuadradas de la unidad. Pero creo que no es lo más habitual ver eso expresado así:

 

 creo - Porque no tengo bibliografía a mano aquí. Y hablo "de oídas". Pudiera ser que esa notación si estuviese extendida aunque no aparezca en el libro de mi memoria.

 no es lo más habitual - Porque aunque lleve razón y no esté extendida esa notación, pudiera aparecer en algún sitio. No escandalizaría a nadie y me parecería una notación lícita y entendible.

 Volviendo al origen de la discusión, esta frase de la profesora:

Cita
"Los alumnos llegan a la Universidad con la errónea idea de que la raíz cuadrada de un número tiene dos resultados, cuando en realidad a partir de la definición, el resultado de la raíz es siempre un número positivo".

 Me parece dramática y sensacionalista. No me parece tan grave (de hecho nada grave.... de hecho me parece bien) que un alumno tenga la idea de que la raíz cuadrada de un número tiene dos resutlados, entendiendo que hay dos números elevados al cuadrado que nos dan el inicial. El matiz nuevo que hay que hacer entender es que para manejar la raíz cuadrada como función (y poder hablar de su continuidad, su derivabilidad, su integral, operarla con otras funciones clásicas) es necesario quedarnos con un solo valor.

Saludos.
En línea
Jabato
Visitante
« Respuesta #13 : 01/08/2008, 10:14:59 am »

Manco, no hace falta que insistas, es cierto lo que dices y tienes tu parte de razón, aunque mis argumentos también tienen su punto, eso debes reconocerlo. Solo le hice las preguntas a Bepro para que entendiera los argumentos que se estaban esgrimiendo, el optó por elegir una definición de raíz, y actuó en consecuencia, pero olvidó que no es la única definición. Bueno, lo demás es punto de aclarar las definiciones, en eso estamos de acuerdo.

Respecto a la notación, y a establecer la expresión "conjunto" como solución del cálculo de la raíz debo decir que es original mia, al menos nunca la he visto en los libros, pero creo que se adapta muy bien al caso y por eso la uso, para establecer las diferencias con la claridad necesaria y la máxima precisión.

Saludos, Jabato.
En línea
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 29.541


Ver Perfil
« Respuesta #14 : 01/08/2008, 10:28:39 am »

Hola

 Ok.

Cita
Respecto a la notación, y a establecer la expresión "conjunto" como solución del cálculo de la raíz debo decir que es original mia, al menos nunca la he visto en los libros, pero creo que se adapta muy bien al caso y por eso la uso, para establecer las diferencias con la claridad necesaria y la máxima precisión.

 Me parece razonable.

Saludos.
En línea
sebasuy
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 1.047


Ver Perfil
« Respuesta #15 : 01/08/2008, 11:26:13 am »

Según Rey Pastor, Cauchy utilizaba la notación para "distinguir la raíz real o aritmética de la raíz general...".
Según el mismo autor, Peano usaba un "asterisco a la izquierda del radicando" en su obra "Formulario".

Probablemente muchos discrepen conmigo pero, a mí siempre me pareció muy riguroso Rey Pastor, en particular, a lo que a referencias bibliográficas se refiere. Así que, aunque no necesariamente esas notaciones hayan sido introducidas por los matemáticos mencionados, tengo la "casi certeza" de que SÍ las usaron en la forma indicada y en la referencia dada.

Saludos.
En línea

Life is good for only two things, discovering mathematics and teaching mathematics.
Poisson, Siméo
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.1 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!