Obtener el polinomio de Mc Laurin

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pablotavi:
OBTENER EL POLINOMIO DE MC LAURIN DE GRADO 3 DE LA FUNCION.
   
                   1+y
f(x,y) = ( x+1)



como es el desarrolo de taylor de eso, va como seria eso ?. Muchas Gracias .

Fernando Revilla:
La función [texx]f[/texx] que proporcionas es de clase infinito, ([texx]f\in{\mathcal{C}^{\infty}(V)}[/texx]) siendo [texx]V[/texx] un entorno de [texx](0,0)[/texx]. Consecuentemente existen las parciales hasta orden 3 en [texx](0,0)[/texx] y son continuas. El problema se reduce por tanto a derivar [texx]f[/texx] y aplicar de forma rutinaria la fórmula de Mc-Laurin. ¿La conoces?.

Saludos. 

pablotavi:
no se cual es el desarrollo de esa funcion de taylor, por lo tanto no se como  empezarlo ....


podriA aplicar logaritmo y queda :      1+y  ln ( x+1)

pero como  es el desarrolo de taylor de eso, se la del logaritmo pero que hago con lo otro

pablotavi:
YA ESTA RESUELTO. primero saco el desarrollo de taylor de  ln ( x+1), y luego lo multiplico por 1 +y, no es asi ?

Fernando Revilla:
¿Por qué haces eso?. Veamos, para todo [texx]x[/texx] real tal que [texx]\left |{x}\right |<1[/texx] y para todo [texx]y[/texx] real tenemos el conocido desarrollo enserie de Mc-Laurin:

[texx](1+x)^{1+y}=1+\displaystyle\binom{1+y}{1}x+\displaystyle\binom{1+y}{2}x^2+\displaystyle\binom{1+y}{3}x^3+\ldots=\\
=1+(1+y)x+\displaystyle\frac{1}{2!}(1+y)yx^2+\displaystyle\frac{1}{3!}(1+y)y(y-1)x^3+\ldots[/texx]

Ahora, selecciona hasta grado tres. Naturalmente cuando a la función dada [texx]f[/texx] no la podemos aplicar desarrollos en serie conocidos, puedes aplicar la fórmula general. En nuestro caso sería:

[texx]p(x,y)=f(0,0)+\displaystyle\frac{1}{1!}\left(x\frac{{\partial }}{{\partial x}}+y\frac{{\partial }}{{\partial y}}\right)^{(1)}f(0,0)+\displaystyle\frac{1}{2!}\left(x\frac{{\partial }}{{\partial x}}+y\frac{{\partial }}{{\partial y}}\right)^{(2)}f(0,0)+\\
+\displaystyle\frac{1}{3!}\left(x\frac{{\partial }}{{\partial x}}+y\frac{{\partial }}{{\partial y}}\right)^{(3)}f(0,0)[/texx]

que naturalmente en nuestro caso sería desagradable en el sentido operatorio. Es interesante resaltar que la fórmula anterior se refiere a polinomio de Mc-Laurin de orden 3, cuyo resultado a priori podría ser un polinomio de grado menor que 3.

Saludos.

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