Conjunto de partida y conjunto de llegada

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alexandersr:
Estimados Señores

Tengo la siguiente inquietud , debido a que he leído en libros y hay algunos dicen una cosa y otros otra. Para ser más preciso expongo el caso . El conjunto de partida y el conjunto de llegada de una función en algunos libros es considerado como dominio y rango respectivamente. Ambos subconjuntos de los números reales. En otros textos consideran al conjunto de partida y al conjunto de llegada como todo el conjunto de los reales.
Alguién me puede despejar la duda, gracias..

Jabato:
Te daré mi opinión aunque es muy personal y es probable que haya gente que discrepe, es normal. Para mi como conjunto de partida debe considerarse el dominio de definición, es decir, el conjunto en el que definimos la función. Después tenemos el dominio de existencia, en el que la función puede existir ó no pero en el que se considera siempre definida, en general pueden ser los puntos críticos en los que la función presente una singularidad y no exista su valor, aunque tampoco es necesariamente así. Analogamente para el conjunto de llegada aunque este caso es de menos interés en general.

Todo depende de como se defina la función, ambos conjuntos, el dominio de definición y el de llegada deben darse en la definición de la función y es opcional definir una función en todo R ó solo en una parte, por ejemplo en R+.
Te pondré un ejemplo:

La función 1/x definida en R es discontinua, sin embargo si se define en R+ es continua, todo depende de cual sea el dominio de definición. Otra cosa te diré que creoque es cierta también, cuando no se especifica cual es el dominio de definición debe entenderse que es R completo, y para funciones de varias variable exactamente igual.

Respecto al rango ocurre algo parecido, en mi modesta opinión el rango hace referencia al conjunto de valores que toma la función, y el conjunto de llegada puede no coincidir necesariamente con el rango, por ejemplo la función Seno se define normalmente como una función que toma valores reales y devuelve valores reales, por lo tanto es una aplicación de R en R, sin embargo su rango se corresponde con el intervalo [-1, 1] que es bien distinto de R.

Saludos, Jabato.

el_manco:
Hola

 En realidad es un problema de "nombres", de ponernos de acuerdo en la notación.

 Por desgracia efectivamente hay autores y libros donde los conceptos citados aparecen con definiciones distintas. Pero eso lo encontrarás otras veces en matemáticas y no debe de asustarnos. Simplemente en cada momento, si puede haber duda, se aclarará exactamente de que se está hablando.

 Yo utilizo las siguientes definiciones.

 Si tienes dos conjuntos e , una correspondencia de en es un subconjunto del producto cartesiano .

 Se dice que es imagen de o que es origen de por la correspondencia F si .

  se llama el conjunto inicial de la correspondencia.

  se llama el conjunto final de la correspondencia.

 Llamamos conjunto origen o dominio de la correspondencia al conjunto de todos sus orígenes, es decir:

 

 Llamamos conjunto imagen o rango de la correspondencia al conjunto de todos sus imágenes, es decir:

 

 Ahora, una correspondencia es una función si cumple:

 - El conjunto origen coincide con el inicial.
 - Cada origen tiene una sola imagen.

 En ese caso la correspodencia suele denotarse por , y en lugar de escribir , escribimos para denotar que es la única imagen de .
 
 Es importante señalar que con estas definiciones:

 - El conjunto inicial y el dominio de una función siempre coinciden.
 - El conjunto final y el rango de una función no tienen porque coincidir.
 - Ambos, dominio y conjunto final, son DATOS de la función que deben de explicitarse cuando se da ésta. Luego en realidad desde este punto de vista no tiene sentido cuando nos dicen "hallar el domino de la función ...". No, si nos dan realmente una función deben de indicarnos el dominio.
 
 En este contexto, este tipo de preguntas podrían reformularse así:

 - Hallar el máximo subconjunto de números reales sobre los cuales la correspondencia es una función.

 Pero tampoco me gusta ser más papista que el papa y usualmente uno entiende a que se refieren con la típica pregunta "hallar el domino de la función ...".

 Tampoco tiene mucho sentido riguroso esto que decía Jabato:

Cita

La función 1/x definida en R es discontinua


 Porque, ¿definida en R? ¿cómo está definida en cero?.

 La forma correcta de decirlo sería, la función , no puede ser extendida a todo con continuidad.

 Nótese que modificando el conjunto final si podría extenderse con continuidad, tomando en lugar de , la recta proyectiva .

 Sea como sea insisto en que uno no debe de volverse "loco" con el formalismo y centrarse más en las ideas.

Saludos.

Jabato:
Hombre, ya sé que no hay nada rígido en esta cuestión, sí es cierto que ambos conjuntos (dominio y codominio) deben darse con la propia definición de la función si no algo está cojo, pero creo que hacer distinción entre el dominio de definición y el dominio de existencia puede ser útil para aclarar este concepto, al igual que ocurre entre el rango, conjunto imagen o conjunto de valores que toma la función, que sería distinto al conjunto del que toma valores la función, por ejemplo:

Si yo defino una función como y = Sen(x) y digo que el dominio es R y el codominio es R+, resulta que la función solo existe en los intervalos en que es positiva pero está definida en todo R. El dominio de definición sería R, el dominio de existencia serían los intervalos de R en que la función es positiva, el codominio sería R+, y el rango sería (0, 1], que claramente se muestran como cuatro conjuntos muy distintos. Yo suelo interpretarlo así y hasta ahora me va bien, aunque para gustos están los colores claro.

Personalmente las denominaciones que más me gustan para estos cuatro conjuntos son:

Dominio
Codominio
Preimagen
Rango ó Imagen

El dominio y el codominio no tienen exigencias a la hora de ser establecidos, pueden ser cualesquiera conjuntos, sin embargo la preimagen y la imagen sí que las tienen y dependen de como se defina la función ya que un elemento x de la preimagen debe cumplir que exista otro elemento y de la imagen tal que y = f(x) y vicebersa, un elemento y de la imagen debe cumplir que exista otro elemento x de la preimagen tal que f(x) = y, o dicho de otra forma, los conjuntos preimagen e imagen son los subconjuntos del dominio y del codominio respectivamente para los que existe el par (x, y) definido por la relación y = f(x):

Define la función:

preimagen:

imagen ó rango:


Saludos, Jabato.

alexandersr:
Cita de: el_manco en 24/06/2008, 05:02:27 am

Hola

 En realidad es un problema de "nombres", de ponernos de acuerdo en la notación.

 Por desgracia efectivamente hay autores y libros donde los conceptos citados aparecen con definiciones distintas. Pero eso lo encontrarás otras veces en matemáticas y no debe de asustarnos. Simplemente en cada momento, si puede haber duda, se aclarará exactamente de que se está hablando.

 Yo utilizo las siguientes definiciones.

 Si tienes dos conjuntos e , una correspondencia de en es un subconjunto del producto cartesiano .

 Se dice que es imagen de o que es origen de por la correspondencia F si .

  se llama el conjunto inicial de la correspondencia.

  se llama el conjunto final de la correspondencia.

 Llamamos conjunto origen o dominio de la correspondencia al conjunto de todos sus orígenes, es decir:

 

 Llamamos conjunto imagen o rango de la correspondencia al conjunto de todos sus imágenes, es decir:

 

 Ahora, una correspondencia es una función si cumple:

 - El conjunto origen coincide con el inicial.
 - Cada origen tiene una sola imagen.

 En ese caso la correspodencia suele denotarse por , y en lugar de escribir , escribimos para denotar que es la única imagen de .
 
 Es importante señalar que con estas definiciones:

 - El conjunto inicial y el dominio de una función siempre coinciden.
 - El conjunto final y el rango de una función no tienen porque coincidir.
 - Ambos, dominio y conjunto final, son DATOS de la función que deben de explicitarse cuando se da ésta. Luego en realidad desde este punto de vista no tiene sentido cuando nos dicen "hallar el domino de la función ...". No, si nos dan realmente una función deben de indicarnos el dominio.
 
 En este contexto, este tipo de preguntas podrían reformularse así:

 - Hallar el máximo subconjunto de números reales sobre los cuales la correspondencia es una función.

 Pero tampoco me gusta ser más papista que el papa y usualmente uno entiende a que se refieren con la típica pregunta "hallar el domino de la función ...".

 Tampoco tiene mucho sentido riguroso esto que decía Jabato:

Cita

La función 1/x definida en R es discontinua


 Porque, ¿definida en R? ¿cómo está definida en cero?.

 La forma correcta de decirlo sería, la función , no puede ser extendida a todo con continuidad.

 Nótese que modificando el conjunto final si podría extenderse con continuidad, tomando en lugar de , la recta proyectiva .

 Sea como sea insisto en que uno no debe de volverse "loco" con el formalismo y centrarse más en las ideas.

Saludos.


Bueno, según lo que entendí al dominio le puedo llamar conjunto de partida y al rango de la función conjunto de llegada.

¿Estoy en lo correcto?

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