Hola Pedrovega:
Te cito y contesto.
Ahora me gustaría que me explicaras, porqué saltamos del anillo de los hipernaturales (con respecto a la suma y al producto usual) al anillo de los Zn (con respecto a las nuevas operaciones "neosuma" y "neoproducto").
Te cuento por las dudas que los anillos Zn son muy importantes en teoría de grupos, sobre todo a la hora de clasificar los grupos finitos.
La razón por la cuál debo utilizarlos exige formalizar un poco más la idea. Permíteme.
Hasta ahora estamos hablando de "hipernaturales en base 10" como expresiónes decimales enteras infinitas. Sabemos que no son naturales, pero hemos descubierto que operando con ellas con suma y producto, podemos obtener números finitos.
En realidad, un hipernatural que anotaríamos por ejemplo así:
....8546972361
No puede ser una expresión decimal de nada porque no hay como sumar infinitas potencias de 10.
Para darle forma yo utilizo sucesiones de dígitos (funciones de naturales en D={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}) de modo que la expresión de arriba es en realidad la sucesión
a0 = 1
a1 = 6
a2 = 3
a4 = 2
a5 = 7
a6 = 9
a7 = 6
a8 = 4
a9 = 5
a10 = 8
etc.
Intuitivamente, decimos que la suma de dos de estas cosas es lo que resulta de sumar del modo habitual dos expresiones decimales de infinitos dígitos, pero formalmente debemos definir la suma PARA TODO i, donde i es la posición de derecha a izquierda, empezando de cero.
Informalmente, nosotros sumamos dos hipernaturales asi
11 111111 arrastre
...1254698736 a
...4688256987 b
...5942955723 a
b
Pero formalmente, a
b es una nueva función de N en D (dígitos) y para definirla hay que escribir la fórmula general de cálculo del i-ésimo elemento, para todo i. Esto es,
(a
b)i=??
Si tratas de poner lo que vá donde está la pregunta, verás que no es sencillo de anotar y que necesitas hablar del resto de a+b (y también del arrastre decimal)
He hallado que, en general,
(a
b)i= R(Aab(i)+ai+bi)
Donde R es el resto de dividir por 10, y
Aab(i) es el arrastre de la i-esima columna y se puede definir recursivamente así:
Si i=0, Aab(i) = 0
Si i>0, Aab(i) = M(Aab(i-1))+ai-1+bi-1
Donde M(x) es (x-R(x))/10 (por ej: si x=125, m(x)=12. Es lo que "te llevas" cuando haces la suma)
Bien, con esto queda enteramente definida la suma de hipernaturales.
Ni te cuento lo que es definir el producto. (¡intentalo!
)
Pero solo con estas definiciones se puede uno disponer a probar formalmente que con esas operaciones, los hipernaturales en base 10 son un anillo (ya sufrí horrores para probar la asociatividad de la suma. Imagínate el resto).
En ese anillo, todos los naturales son de la forma ....000000xxxxx, con infinitos ceros a partir de una posición finita. El cero es ..00000 y el es ...000001.
Como hemos visto, el -1 es el ...999999 y en general, los negativos son los ...99999xxxxx cubriendo de nueves a partir de una posición finita.
Luego dices:
desde mi punto de vista, la característica más importante de los conjuntos de números es la relacción de orden, que nos permite "manejarlos y compararlos". Si los hipernaturales carecen de esa propiedad, el que tengan la estructura de anillo, no me parece de mucha "utilidad" matemática.
Disiento aquí. En matemática existen muchisima estructuras sin relación de orden, como los espacios vectoriales. Fíjate, por ejemplo que el conjunto de puntos del espacio no un orden definido que te permita decir que A<B siendo A y B puntos del espacio (o del plano).
Muchas estructuras matemáticas prescidnden de las propiedades de orden, como los Zn que vimos y todos los grupos finitos.
Es cierto, los hipernaturales no permiten extender el órden de los naturales, solo las operaciones, pero esto ya es bastante y creeme que ofrece un rico material de estudio.
Por ejemplo, todo número primo distinto de 2 y 5 divide a cualquier hipernatural. Y no solo eso, lo divide infinitas veces (lo divide, divide al resultado de dividirlo, al resultado del resultado etc.) Y sospecho que para hipernaturales en base n, ocurre con todos los primos divisores de n.
Existen pares de hipernaturales a y b donde a divide a b y b divide a a. En fin, existen un montón de asuntos por revisar
Saludos.
