Tengo una horrible duda!

[Nicolas Bourbaki]

Acabo de leer el mensaje de Xhant sobre la poca actividad en los foros y por eso creo que es el momento perfecto para preguntar: alguien sabe que demonios es el teorema de punto fijo? o mejor dicho, UN teorema de punto fijo (por que por lo que leo son diversos). Es una duda que lleva mucho tiempo rondandome por la cabeza y llevo tiempo buscando, pero no encuentro nada en castellano. La duda me vino hace ya unos meses, cuando leia el libro de Una Mente Prodigiosa (por cierto, MUY bueno), ese teorema se nombra muchisimo y me llamo la atencion. Lo que yo busco ser’a: un enunciado, o enunciados, del teorema y si puede ser una demostraci—n. Muchas gracias!!

[teeteto]

Hasta donde yo se un teorema de punto fijo (porque sí, hay varios) es un teorema que afirme que bajos ciertas condiciones una funcíón tiene un punto fijo.
Por ejemplo tenemos el Teorema siguiente:

Si g:[a,b]->[a,b] es continua entonces tiene un punto fijo (La demostración es casi trivial)

El Teorema del punto fijo de Brouwer dice:
Si g:Bn->Bn es continua entonces tiene un punto fijo; donde Bn es la bola unidad n-dimensional (Esta prueba no es trivial)

Un poco mas de informacion tendras en www.mathworld.wolfram.com pones "fixed point theorem" en el buscador y listo


Un saludo

[xhant]

Mi teorema del punto favorito es el teorema del punto fijo de Banach. Que dice mas o menos esto.

Sea f: R -> R tal que existe 0 < k < 1, tal que cumple la condicion |f(x) - f(y)| <= k |x - y|, entonces existe un único elemento x0 tal que f(x0) = x0.

Este teorema se puede generalizar a cosas mas abstractas (espacios métricos). Y resulta hermoso (y asombroso) cuando se usa para cosas como los fractales (algunos fractales son el punto fijo de una funcion).

[teeteto]

Es cierto que es bastante majo ese teorema...ademas si quieres enunciarlo deprisa puedes decir
"Toda aplicación contractiva tiene un punto fijo"
Y te quedas con todo el mundo

[skull]

Lo cierto es que el enunciado rapido de teeteto es el corolario del teorema. Lo que dice exactamente es:
Sea f: H c Rn ---> Rn
Pues bien, si se cumple que H es un cerrado, f(H) es subconjunto de H, y la funcion es contractiva en H, la funcion posee un punto fijo y solo uno.
Esa es la definicion que me dio mi profesore de calculo por lo menos,
teeteto, estas echo un crack, sabes de todo y encima mucho; casi eres mi idolo  

[teeteto]

No me digas eso Skull que me sonrojo...  
Lo cierto es que se muy poquito de algunas cosas..tan poquito que ni siquiera me da para meter la pata  
En todo caso es un placer poder compartir mis escasos conocimientos con vosotros
Un saludo!!

[Gauss]

El segundo teorema al que se refiere teeto, tambien puede llamarse el de la taza de cafe, los topologos intentan convencerte con el, que mientras mueves un cafe con una cucharilla, siempre hay un punto en el cafe que permanece fijo.
Despues de escuchar esto la gente se queda con la boca abierta, y entonces ellos empiezan a decirte que el cafe dentro de la taza se deforma en una esfera de R3 y que el movimiento de la cuchara es una aplicacion continua. En fin cosas de topologos.

Ademas como colorario te dicen que en la tierra siempre hay dos puntos que tienen la misma temperatura, o la misma presion, o la misma humedad, etc.

Todas estas cosas y mas se desprenden de un curso de Homologia elemental.

[argentinator]

En cualquier teoría matemática en la que haya un teorema acerca de funciones de un espacio E, que te diga que bajo ciertas condiciones una función f satisface que f(X) = X, se trata de un teorema de punto fijo.

Puedes buscar relaciones como esa en álgebra o teoría de conjuntos y verlas como teoremas de punto fijo.

Si tienes la función real , verás que tiene sólo al 0 como punto fijo, pero si consideras su comportamiento GLOBAL, puedes ver que el conjunto {-1,1} es un ''conjunto'' fijo de f, pues

Los de los fractales como puntos fijos es muy interesante. ¿Donde podría hallar información al respecto?