Burali-Forti y los grandes cardinales

[LauLuna]

Continúo desde el mensaje anterior.

Esta es la cuestión misma de los grandes cardinales. Cito a Gödel hablando del axioma que establece la existencia de un cardinal inaccesible:

"El último axioma, simplificando, únicamente dice que la totalidad de los conjuntos obtenibles mediante el uso de los procedimientos de formación de conjuntos expresados en los otros axiomas es de nuevo un conjunto (y, por tanto, una nueva base para posteriores aplicaciones de esos procedimientos)" Obras Completas ("¿Qué es el problema del continuo de Cantor?"), Alianza, Madrid, 1989, pg. 363.

Tomemos el universo Vn de Von Neumann definido como una función V sobre los ordinales:

V-0 = conjunto vacío.
V-n+1 = P(V-n)
V-lambda (para todo ordinal límite lambda) = unión de todos los V-n con n menor que lambda.

Esta es la famosa jerarquía acumulativa. Cabe preguntar: ¿el conjunto de lo generable así, Vn mismo, es un conjunto más? Porque si lo es, podemos volver a aplicar las reglas partiendo de V en lugar del conjunto vacío, y generar un universo mayor, digamos "VnVn".

Quienes piensan que esto es posible consideran que existe al menos un gran cardinal, un cardinal inaccesible, es decir, un cardinal límite K, distinto de alef-0, al que no se puede llegar desde abajo mediante la unión de menos de K cardinales menores que K.

Según esta visión el universo conjuntista adquiriría una forma “fractal” porque las reglas para formar conjuntos podrían aplicarse en “niveles” sucesivos, creando sucesivos universos conjuntistas, unos dentro de otros.

[argentinator]

Si llamas al vacío y al conjunto de laps partes de , y luego usas la unión para los cardinales limite, lo que obtienes es la ''lista'' de todos los cardinales de la teoria de conjuntos.

Sin embargo, en teoria de conjuntos hay objetos que no son conjuntos.
Tu partes de definir un concepto llamado CLASE. Y defines CONJUNTO como un tipo particular de CLASE, a saber: una CLASE A es un CONJUNTO cuando existe otra CLASE, digamos B, tal que A PERTENECE A C.

Esto permite solucionar los problemas que traía a la teoria de conjuntos la existencia de un conjunto UNIVERSAL. Resulta ahoar que se pùde definir una CLASE universal. Su defincion es esta:



Se puede demostrar en la teoria de conjuntos (estandar) que la CLASE de todos los CARDINALES es una CLASE que no esun CONJUNTO. Incluso se obtiene que coincide con U, la CLASE universal, por la manera en que se construye la teoria de conjuntos (de la forma acumulativa que has expuesto).

Para mas precisiones te recomiendo el libro de TOPOLOGIA GENERAL de JOHN KELLEY, que al final tiene un apendice con la teoria de conjuntos estándar y prueba todas estas cosas con mucha precision y claridad.

Ahora bien, aceptando la teoria de conjuntos, creo que puedes construirte un modelo donde se satisfagan los axiomas de los ''palotes''.

Para las ''sucesiones'' debes tomar sucesiones transfinitas del siguiente modo:
Toma un ordinal cualquiera , y toma todas las cadenas de palotes donde i es un ordinal menor que .
En este caso estás considerando que puede ser un ordinal limite, o bien uno de la forma .

Agregar palotes a la derecha se puede representar con  el agregado de un elemento a la derecha de un ordinal, generando el ordinal siguiente. Habria que definirlo bien.
Pero pienso que la teoria de conjuntos te dará un ejemplo donde tus axiomas valen, y por lo tanto son consistentes, al menos tanto como la teoria de conjuntos misma.

Por otro lado, la ''sucesión'' o lista de todos los ordinales no es un CONJUNTO sino un CLASE, y deberias ver como interpretar esto en tu teoria de los palotes.
Creo que significa que NO existe el conjunto mas grande todos los palotes, porque si lo hubiera, este seria la clase universal U, y al añadir un palote estarias construyendo una clase mas amplia que la universal, lo cual es absurdo. Pero hay que ver bien el significado de deducciones usando CLASES. He opinado un poco por intuicion.