Sucesiones Aplicación de criterio de D´Alambert y Cauchy

[andres_f]

Buenos Días. Ayer tuve parcial de Análisis Matemático I (CBC) y tuve serios problemas con un ejercicio de sucesiones, unicamente en el curso aprendimos el criterio de D´Alambert y Cauchy para resolver este limite, por eso solicito una respuesta utilizando esos criterios.

Sea una sucesión de terminos positivos:





Calcular el


El problema es que no  sé bien como aplicar esos criterios en ese caso para salvar la indeterminación.

Mi otra duda es a qué tiende esto porque algunos afirman que tiende a 1 y otros a :




Muchisimas gracias y espero a ver utilizado correctamente el idioma LATEX.

Andres

[el_manco]

Hola

 ¿Conoces la fórmula de Stirling? Viene bien cuando en un límite te aparece un molesto factorial:



o si prefieres:



 Esto junto con el criterio de D'Alambert, debe de resolver tu problema en ambos casos. Inténtalo.

Saludos.

[andres_f]

El problema es que no aprendimos todavia ese método de resolución.

Mi duda es si se puede dividir esa sucesión en dos y aplicar por un lado Cauchy y D´Alambert, observar a que tiende cada una de esas sucesiónes y luego sacar el limite de (an).

Muchas Gracias

[sebasuy]

¿Deduzco que lo único que no conocías era la fórmula de Stirling, pero sí el criterio de convergencia de D'Alembert para sucesiones?

Entonces lo único que tienes que saber es cuál infinito es de mayor  orden: o .

La fórmula de Stirling no es que sea muy difícil de probar, pero sí me parece tediosa, además de necesitar algún que otro resultado sorprendente como la Fórmula de Wallis. Un profesor que tuve en Facultad de Ciencias probó la fórmula de Stirling, pero nos llevó un rato considerable (muchísimo pero muchísimo menos que el Teorema de La Función Implícita ) La puedes aceptar sin demostración (lo que es bastante razonable).
La fórmula se puede generalizar.

Saludos.

[administrador]

Esto va a ser breve, y deliberadamente no te estoy explicitando ni qué dice el criterio de D'Alembert ni cómo lo aplicamos. Los detalles quedan a tu cargo, y te recomendaría que no dejes de hacerlo. 
 
Falta alguna hipótesis sobre a1. Supongo que en tu examen diría algo así como a1 = 3.

Al ser , te están dejando la pelota picando, como regalo para que intentes tu primer gol:
 


Queremos ver si existe

Estudiás ahora algo más sencillo:



Gracias al criterio de D'Alembert, siendo e > 1, la sucesión xn tiende a .

Como (observá que a xn es un sumando de an+1/an), deducimos que  , y nuevamente el criterio de la razón de D'Alembert viene en nuestra ayuda, permitiéndonos asegurar que   

Este no es el único camino. Podés buscarte alguna variante(*) . Hacelo, siempre vas a aprender un poquito más.

Saludos


(*) Una variante es estudiar  xn con el criterio de la raíz enésima, y luego rematar o bien con alguna mayoración, o bien utilizando el siguiente resultado que, dicho sin las precisiones necesarias, afirma:

 

[Don Equis]

Mi otra duda es a qué tiende esto porque algunos afirman que tiende a 1 y otros a :

Tiende a infinito.

Puedes fijarte que para todo x. Luego: . Luego, por Arquímedes,

[el_manco]

Hola

 En cuanto a la fórmula de Stirling y su demostración:

http://www.rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=5697.0

Saludos.

[andres_f]

Muchas Gracias por todas las respuestas.

Andrés

[ricosambayon]

Sobre la respuesta del administrador hay algunas cosas que no entiendo.

1) El criterio de D Alembert me dice si la serie converge o no, pero hasta donde yo se no me dice a que valor converge la serie...

2)Luego por que es importante que den como dato a a1?

Gracias, Ricosambayon