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Autor Tema: Resolución por radicales y cuerpos finitos  (Leído 2535 veces)
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Zidek
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« : 29/05/2008, 09:08:23 am »

Me la han liado, tengo que entregar un par de problemitas para aprobar la asignatura de Galois de los dos últimos temas, sin acabar el temario de la asignatura, y lo tengo que entregar para el jueves que viene. El segundo he sacado unos teoremas que me pueden servir del año pasado cuando sí acabó el temario, pero no tengo ni idea.



1) Sea [texx]K[/texx] un cuerpo, [texx]f[/texx][texx]\in{}[/texx][texx]K[t][/texx] un polinomio irreducible de grado [texx]n\leq{}[/texx]5, y[texx] L[/texx] el cuerpo de escisión de [texx]f [/texx] sobre [texx]K[/texx]. Supongamos que [texx]\Gamma[/texx]([texx]L/K[/texx])[texx]\cong{}[/texx] [texx]S_n[/texx] . Sea [texx]\alpha[/texx] una raíz de [texx]f [/texx] en [texx]L[/texx], entonces:
   
        a) [texx] K(\alpha)/K [/texx] no es normal y [texx][K(\alpha):K] = n[/texx] y [texx]\Gamma[/texx]([texx]K(\alpha)/K[/texx]) [texx]= 1[/texx]


        b) Cada clausura normal de [texx]K[/texx]  que contiene a [texx]\alpha[/texx] también contiene una copia isomorfa de [texx]L[/texx].


        c) No existe ninguna extensión radical [texx]E[/texx] de [texx]K[/texx] tal que [texx]K\subseteq{}K(\alpha)\subseteq{} E[/texx]

Lo de la extensión radical ni la ha definido en clase, pero ya hemos mirado qué es una extensión radical

Del apartado a) que [texx] K(\alpha)/K[/texx] no sea normal, entiendo que si la raíz [texx]\alpha[/texx] es de [texx]f[/texx] en [texx]L[/texx], no tiene porqué pertenecer a [texx]K [/texx], y que tampoco tiene porqué pertenecer a [texx]K(\alpha)[/texx], basta coger el contraejemplo con [texx]L= \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2} ,i)[/texx] con [texx]\alpha= \sqrt[3]{2}[/texx], [texx] K(\alpha)= \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})[/texx] y vemos como [texx]t^3-2[/texx] no tiene todas las raíces en  [texx]\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})[/texx]. Creo que poniendo ese contraejemplo estaría probado.




2) Sea [texx]K= GF(p^r)[/texx] y [texx]L=GF(p^n)[/texx], prueba que [texx]\gamma(L/K)[/texx] es cíclico con generador dado por [texx]u\longrightarrow{}u^{p^r}[/texx].
Para este problema he sacado estos teoremas del año anterior:
      1. Sea [texx]G [/texx] subgrupo finito del grupo multiplicativo de [texx]K[/texx]-{0} con [texx]K [/texx] cuerpo, entonces [texx]G [/texx] es cíclico.
      2. El grupo multiplicativo de un cuerpo finito es cíclico
      3. El grupo de Galois de [texx]GF(p^n)/GF(p)[/texx] es cíclico de orden n y está generada por el automorfismo de Frobenius (tb sé como se define).



Gracias de nuevo por lo que podáis aportar
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Zidek
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« Respuesta #1 : 29/05/2008, 11:02:09 am »

Bueno ahora mirando el 1a) me he dado cuenta que el ejemplo que he puesto no cumple las hipotesis, pero me imagino que la solucion es buscar un contraejemplo en el que los tiros vayan por ahi
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el_manco
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« Respuesta #2 : 29/05/2008, 01:52:35 pm »

Hola

 1) a) Tienes que suponer que [texx]n>2[/texx]. En otro caso [texx]H=R[/texx] y [texx]f(t)=t^2+1[/texx] es un contraejemplo.

 Por otra te están afirmando la NO normalidad de [texx]K(\alpha)/K[/texx] siempre, luego no llega con ejemplos.

 Como [texx]G(L/K)\cong S_n[/texx] los automorfismos de [texx]G(L/K)[/texx] corresponden precisamente a las permutaciones de las [texx]n[/texx] raíces de [texx]f[/texx].

 La extensión [texx]K(\alpha)/K[/texx] no es normal porque el irreducible de [texx]\alpha[/texx] en [texx]K[/texx] es [texx]f[/texx] y no escinde totalmente en [texx]K(\alpha).[/texx] Si así fuera los automorfismos de [texx]G(L/K) [/texx] quedarían determinados llevando [texx]\alpha[/texx] a una de las n-raíces de [texx]f[/texx] y por tanto tendíamos [texx]G(L/K)\cong Z_n[/texx].

 El grado de la extensión [texx]K(\alpha):K[/texx] es el grado de su polinomio mínimo: [texx]f.[/texx]

 Un automorfismo de [texx]K(\alpha)[/texx] que deje invariante [texx]K[/texx] debe de llevar [texx]\alpha[/texx] a otra raíz de [texx]f[/texx] contenida en [texx]K(\alpha)[/texx], pero de nuevo si existiese otra raíz en [texx]K(\alpha)[/texx] no podría ocurrir que [texx]G(L/K)\cong S_n[/texx].

 b) La clausura normal de [texx]K(\alpha)[/texx] necesariamente contiene al cuerpo de escisión de [texx]L[/texx] del polinomio mínimo de [texx]\alpha [/texx] que es [texx]f[/texx].

 c) Esto tal como está es falso. Me huelo que la condición sobre [texx]n[/texx] es [texx]n\geq 5[/texx]. Entonces la clave está en que [texx]S_n[/texx] no es resoluble para [texx]n>4[/texx].

 En ese caso dada [texx]\color{red}K\subset K(\alpha)\subset E\color{black}[/texx] extensión radical, consideramos la clausura normal [texx]N[/texx] de [texx]E [/texx], se verifica que [texx]N:K[/texx] es una extensión radical. Tenemos además [texx]K\subset L\subset N[/texx] , por tanto [texx]L[/texx] está contenido en una extensión radical de [texx]K[/texx], entonces [texx]f[/texx] es resoluble y por tanto el grupo de Galois [texx]G(L/K)[/texx] debiera ser resoluble: contradicción.

Saludos.
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« Respuesta #3 : 30/05/2008, 05:37:28 am »

a)
(...)
La extensión [texx]K(\alpha)/K[/texx] porque el irreducible de [texx]\alpha[/texx] en [texx]K[/texx] es [texx]f[/texx] y no escinde totalmente en [texx]K(\alpha).[/texx]

(...)

 b) La clausura normal de [texx]K(\alpha)[/texx] necesariamente contriene al cuerpo de escisión de [texx]L[/texx] del polinomio mínimo de [texx]\alpha [/texx] que es [texx]f[/texx].

En el a) no entiendo esa frase, ni la deduzco.

En el b) no sería:la clausura normal es la menor extension normal que la contiene. Entonces, la clausura normal de [texx]K(\alpha)[/texx] necesariamente contiene al cuerpo de escisión de [texx]f[/texx] que es el polinomio mínimo de [texx]\alpha [/texx] en [texx]L[/texx], por lo tanto contiene una copia isomorfa de [texx]L[/texx] ¿Habría que ver que [texx]f [/texx] se escinde en [texx]L[/texx], y que es la menor extensión normal contenida en [texx]K(\alpha)[/texx] ?

Muchas gracias. Del segundo ejercicio ni pajolera no? Acabo de estar en tutoría y del segundo no me ha explicado ni el teorema que habla de las permutaciones ciclicas...bueno, o digamos que me lo ha explicado suponiendo demasiadas cosas
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« Respuesta #4 : 30/05/2008, 05:48:58 am »

Hola

Cita
En el a) no entiendo esa frase, ni la deduzco.

Upsss. Me "comí" unas palabrillas que ahora he añadido en rojo.

Cita
En el b) no sería:la clausura normal es la menor extension normal que la contiene. Entonces, la clausura normal de [texx]K(\alpha)[/texx] necesariamente contiene al cuerpo de escisión de [texx]f[/texx] que es el polinomio mínimo de [texx]\alpha [/texx] en [texx]L[/texx], por lo tanto contiene una copia isomorfa de [texx]L[/texx] ¿Habría que ver que [texx]f [/texx] se escinde en [texx]L[/texx], y que es la menor extensión normal contenida en [texx]K(\alpha)[/texx] ?

Si es eso. Pero [texx]L[/texx] ya te dicen que es el cuerpo de escisión de [texx]f[/texx] en [texx]K[/texx]. Por tanto, por definición, es la menor extensión de [texx]K[/texx] que contiene a las raíces de [texx]f[/texx]. Además el cuerpo de escisión de un irreducible siempre es normal.

Cita
Muchas gracias. Del segundo ejercicio ni pajolera no? Acabo de estar en tutoría y del segundo no me ha explicado ni el teorema que habla de las permutaciones ciclicas...bueno, o digamos que me lo ha explicado suponiendo demasiadas cosas

En cuanto al segundo, no se si tengo "pajolera" o no. Tengo una ligera duda con la notación. A que llamas [texx]GF(p^n)[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #5 : 30/05/2008, 06:00:56 am »


 En ese caso dada [texx]K:K(\alpha):E[/texx] extensión radical, consideramos la clausura normal [texx]N[/texx] de [texx]E [/texx], se verifica que [texx]N:K[/texx] es una extensión radical. Tenemos además [texx]K\subset L\subset N[/texx] , por tanto [texx]L[/texx] está contenido en una extensión radical de [texx]K[/texx], entonces [texx]f[/texx] es resoluble y por tanto el grupo de Galois [texx]G(L/K)[/texx] debiera ser resoluble: contradicción.

Saludos.


No entiendo la notación que utilizas de extensiones radicales [texx]K:K(\alpha):E[/texx] (¿= [texx]E/K[/texx] con [texx]K\subseteq{}K(\alpha)\subseteq{} E [/texx] ?) ni [texx]N:K[/texx] (=¿[texx] N/K[/texx]?)
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el_manco
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« Respuesta #6 : 30/05/2008, 07:01:53 am »

Hola

 Arggg... escribí el mensaje con demasiada prisa ayer. Perdona.

 Si tenemos una inclusión de cuerpos [texx]K\subset L[/texx], la extensión se denota [texx]L:K[/texx] o [texx]L/K[/texx]. Las tres escrituras son equivalentes. Luego si es normal, radical o lo que sea pues decimos de palabra que es normal, radical o lo que sea.

 Voy a corregir el mensaje.

Saludos.
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« Respuesta #7 : 30/05/2008, 08:08:01 am »


 c) Esto tal como está es falso. Me huelo que la condición sobre [texx]n[/texx] es [texx]n\geq 5[/texx]. Entonces la clave está en que [texx]S_n[/texx] no es resoluble para [texx]n>4[/texx].

 En ese caso dada [texx]\color{red}K\subset K(\alpha)\subset E\color{black}[/texx] extensión radical, consideramos la clausura normal [texx]N[/texx] de [texx]E [/texx], se verifica que [texx]N/K[/texx] es una extensión radical. Tenemos además [texx]K\subset L\subset N[/texx] , por tanto [texx]L[/texx] está contenido en una extensión radical de [texx]K[/texx], entonces [texx]f[/texx] es resoluble y por tanto el grupo de Galois [texx]G(L/K)[/texx] debiera ser resoluble: contradicción.


Además de putear no pone bien los enunciados. Ya le voy a decir que encuentro una extensión radical [texx]N/K[/texx] tal que [texx]K\subseteq{}L \subseteq{}N[/texx], y que como [texx]L [/texx] está contenida en una extensión radical de [texx]K[/texx], tenemos que [texx]f [/texx] es resoluble , ya que [texx]\Gamma(L/K)\cong S_n [/texx] es resoluble por ser [texx]n\leq{}4[/texx]

A ver que me dice. Esta tarde voy a estar mirandome el 2º ejercicio de acuerdo a lo que me ha contado en tutorías y a ver si leyéndome las demostraciones lo puedo empezar, sino de acuerdo a lo que saque te digo cómo entiendo yo la notación

Gracias
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« Respuesta #8 : 30/05/2008, 10:58:59 am »

Hola

 En el último supongo que [texx]GF(p^r)[/texx] es el cuerpo finito de orden [texx]p^r[/texx].

 Entonces ten en cuenta que por tu tercera propiedad que conoces:

[texx] G=Galois(GF(p^n):GF(p))[/texx]

 es un grupo cíclico, por tanto [texx]H=Galois(GF(p^n):GF(p^r))[/texx] que es un subgrupo del anterior también es cíclico.

Saludos.

P.D. Para no liarnos más, lo que buscas es el Teorema 4.1 de aquí:

http://planetmath.org/encyclopedia/FiniteField.html
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« Respuesta #9 : 30/05/2008, 11:44:27 am »

Ya me ha dicho que perdone, que [texx]n>4[/texx] ...

Me voy a poner con el otro y a leer el enlace. Muchas gracias tío. En junio antes de irme de vacaciones te paso una botellita de un buen rioja
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