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Autor Tema: Resolución por radicales y cuerpos finitos  (Leído 2075 veces)
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Zidek
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« : 29/05/2008, 09:08:23 am »

Me la han liado, tengo que entregar un par de problemitas para aprobar la asignatura de Galois de los dos últimos temas, sin acabar el temario de la asignatura, y lo tengo que entregar para el jueves que viene. El segundo he sacado unos teoremas que me pueden servir del año pasado cuando sí acabó el temario, pero no tengo ni idea.



1) Sea un cuerpo, un polinomio irreducible de grado 5, y el cuerpo de escisión de sobre . Supongamos que () . Sea una raíz de en , entonces:
   
        a) no es normal y y ()


        b) Cada clausura normal de   que contiene a también contiene una copia isomorfa de .


        c) No existe ninguna extensión radical de tal que

Lo de la extensión radical ni la ha definido en clase, pero ya hemos mirado qué es una extensión radical

Del apartado a) que no sea normal, entiendo que si la raíz es de en , no tiene porqué pertenecer a , y que tampoco tiene porqué pertenecer a , basta coger el contraejemplo con con , y vemos como no tiene todas las raíces en  . Creo que poniendo ese contraejemplo estaría probado.




2) Sea y , prueba que es cíclico con generador dado por .
Para este problema he sacado estos teoremas del año anterior:
      1. Sea subgrupo finito del grupo multiplicativo de -{0} con cuerpo, entonces es cíclico.
      2. El grupo multiplicativo de un cuerpo finito es cíclico
      3. El grupo de Galois de es cíclico de orden n y está generada por el automorfismo de Frobenius (tb sé como se define).



Gracias de nuevo por lo que podáis aportar
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Zidek
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« Respuesta #1 : 29/05/2008, 11:02:09 am »

Bueno ahora mirando el 1a) me he dado cuenta que el ejemplo que he puesto no cumple las hipotesis, pero me imagino que la solucion es buscar un contraejemplo en el que los tiros vayan por ahi
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el_manco
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« Respuesta #2 : 29/05/2008, 01:52:35 pm »

Hola

 1) a) Tienes que suponer que . En otro caso y es un contraejemplo.

 Por otra te están afirmando la NO normalidad de siempre, luego no llega con ejemplos.

 Como los automorfismos de corresponden precisamente a las permutaciones de las raíces de .

 La extensión no es normal porque el irreducible de en es y no escinde totalmente en Si así fuera los automorfismos de quedarían determinados llevando a una de las n-raíces de y por tanto tendíamos .

 El grado de la extensión es el grado de su polinomio mínimo:

 Un automorfismo de que deje invariante debe de llevar a otra raíz de contenida en , pero de nuevo si existiese otra raíz en no podría ocurrir que .

 b) La clausura normal de necesariamente contiene al cuerpo de escisión de del polinomio mínimo de que es .

 c) Esto tal como está es falso. Me huelo que la condición sobre es . Entonces la clave está en que no es resoluble para .

 En ese caso dada extensión radical, consideramos la clausura normal de , se verifica que es una extensión radical. Tenemos además , por tanto está contenido en una extensión radical de , entonces es resoluble y por tanto el grupo de Galois debiera ser resoluble: contradicción.

Saludos.
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Zidek
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« Respuesta #3 : 30/05/2008, 05:37:28 am »

a)
(...)
La extensión porque el irreducible de en es y no escinde totalmente en

(...)

 b) La clausura normal de necesariamente contriene al cuerpo de escisión de del polinomio mínimo de que es .

En el a) no entiendo esa frase, ni la deduzco.

En el b) no sería:la clausura normal es la menor extension normal que la contiene. Entonces, la clausura normal de necesariamente contiene al cuerpo de escisión de que es el polinomio mínimo de en , por lo tanto contiene una copia isomorfa de ¿Habría que ver que se escinde en , y que es la menor extensión normal contenida en ?

Muchas gracias. Del segundo ejercicio ni pajolera no? Acabo de estar en tutoría y del segundo no me ha explicado ni el teorema que habla de las permutaciones ciclicas...bueno, o digamos que me lo ha explicado suponiendo demasiadas cosas
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el_manco
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« Respuesta #4 : 30/05/2008, 05:48:58 am »

Hola

Cita
En el a) no entiendo esa frase, ni la deduzco.

Upsss. Me "comí" unas palabrillas que ahora he añadido en rojo.

Cita
En el b) no sería:la clausura normal es la menor extension normal que la contiene. Entonces, la clausura normal de necesariamente contiene al cuerpo de escisión de que es el polinomio mínimo de en , por lo tanto contiene una copia isomorfa de ¿Habría que ver que se escinde en , y que es la menor extensión normal contenida en ?

Si es eso. Pero ya te dicen que es el cuerpo de escisión de en . Por tanto, por definición, es la menor extensión de que contiene a las raíces de . Además el cuerpo de escisión de un irreducible siempre es normal.

Cita
Muchas gracias. Del segundo ejercicio ni pajolera no? Acabo de estar en tutoría y del segundo no me ha explicado ni el teorema que habla de las permutaciones ciclicas...bueno, o digamos que me lo ha explicado suponiendo demasiadas cosas

En cuanto al segundo, no se si tengo "pajolera" o no. Tengo una ligera duda con la notación. A que llamas .

Saludos.
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« Respuesta #5 : 30/05/2008, 06:00:56 am »


 En ese caso dada extensión radical, consideramos la clausura normal de , se verifica que es una extensión radical. Tenemos además , por tanto está contenido en una extensión radical de , entonces es resoluble y por tanto el grupo de Galois debiera ser resoluble: contradicción.

Saludos.


No entiendo la notación que utilizas de extensiones radicales (¿= con ?) ni (=¿?)
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el_manco
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« Respuesta #6 : 30/05/2008, 07:01:53 am »

Hola

 Arggg... escribí el mensaje con demasiada prisa ayer. Perdona.

 Si tenemos una inclusión de cuerpos , la extensión se denota o . Las tres escrituras son equivalentes. Luego si es normal, radical o lo que sea pues decimos de palabra que es normal, radical o lo que sea.

 Voy a corregir el mensaje.

Saludos.
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Zidek
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« Respuesta #7 : 30/05/2008, 08:08:01 am »


 c) Esto tal como está es falso. Me huelo que la condición sobre es . Entonces la clave está en que no es resoluble para .

 En ese caso dada extensión radical, consideramos la clausura normal de , se verifica que es una extensión radical. Tenemos además , por tanto está contenido en una extensión radical de , entonces es resoluble y por tanto el grupo de Galois debiera ser resoluble: contradicción.


Además de putear no pone bien los enunciados. Ya le voy a decir que encuentro una extensión radical tal que , y que como está contenida en una extensión radical de , tenemos que es resoluble , ya que es resoluble por ser

A ver que me dice. Esta tarde voy a estar mirandome el 2º ejercicio de acuerdo a lo que me ha contado en tutorías y a ver si leyéndome las demostraciones lo puedo empezar, sino de acuerdo a lo que saque te digo cómo entiendo yo la notación

Gracias
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el_manco
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« Respuesta #8 : 30/05/2008, 10:58:59 am »

Hola

 En el último supongo que es el cuerpo finito de orden .

 Entonces ten en cuenta que por tu tercera propiedad que conoces:



 es un grupo cíclico, por tanto que es un subgrupo del anterior también es cíclico.

Saludos.

P.D. Para no liarnos más, lo que buscas es el Teorema 4.1 de aquí:

http://planetmath.org/encyclopedia/FiniteField.html
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Zidek
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« Respuesta #9 : 30/05/2008, 11:44:27 am »

Ya me ha dicho que perdone, que ...

Me voy a poner con el otro y a leer el enlace. Muchas gracias tío. En junio antes de irme de vacaciones te paso una botellita de un buen rioja :guiño:
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