Plano osculador

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richipunk:
Hola tengo el siguiente problema, la curva C està determinada por la intersecciòn de con ¿Còmo hallo la ecuacion del plano osculador?

Fernando Revilla:
Tomemos por ejemplo el punto de la curva . Usando el teorema de existencia de funciones implícitas, en un entorno de es facil demostrar que el sistema anterior define una curva de clase de representación paramétrica, . Derivando respecto de obtenemos:



Obtenemos . Halla ahora el vector derivada segunda y la ecuación del plano osculador en es



Todo esto es generalizable para cualquier solución del sistema dado con tal que defina localmente una curva en un entorno de con vectores con vectores velocidad y aceleración, linealmente independientes.

Saludos.

Jabato:
Puedes actuar de una forma más general y sencilla obteniendo las paramétricas de la curva:

         

que combinadas para eliminar y de la ecuación dan:



y que puede parametrizarse como:

                

Una vez obtenida las paramétricas de la curva solo aplica la teoría, por ejemplo en la misma forma que lo hizo Phidias.

Saludos, Jabato.

Fernando Revilla:
Cita de: Jabato en 24/05/2008, 07:03:05 pm


Puedes actuar de una forma más general y sencilla obteniendo las paramétricas de la curva:



Creo que te debes referir a que es una forma más general dentro de este problema en el sentido de que una vez conseguida la parametrización, la fórmula del plano osculador dada pemite hallarlo para genérico.

Ahora bien, precisamente el que esa curva sea parametrizable en la forma que tú has dado, indica una particularidad de la curva: el poder dar unas fórmulas explícitas para en función de , cosa que casi nunca ocurre.

Para curvas que vienen expresadas como intersección de dos superficies, es precisamente el teorema de la función implícita el que hace irrelevante el no poder parametrizar.

En nuestro problema el el elegir por ejemplo el punto no excluye generalidad, en el sentido de que para un genérico del curva hubieramos obtenido , si el denominador es no nulo. Caso contrario se eligiría o como variables independientes. El concepto de plano osculador es local.

Saludos. 

Jabato:
Bien, está claro que me refería al hecho de poder calcular el plano osculador en puntos distintos del (1,1,1), sin pretender por eso menospreciar lo que mostraste Phidias, de hecho puedes comprobar que me remití a lo expuesto por ti como aplicación de la teoría, unicamente expuse un método para obtener las paramétricas de la curva, ya que eso le planteaba algún problemilla a nuestro amigo. Solo eso.

Saludos, Jabato.

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