Forma de Jordan de matriz 4x4

(1/1)

dajorgp:
Hola

Determina la forma canónica de Jordan y la matriz de cambio del endomorfismo nilponente dado por la matriz


Fibonacci:
Hola,

No me acuerdo demasiado de esto, pero lo que recuerdo es que seguia unos pasos;


1.encontrar los VAPS (diagonal = suma de vaps)
2.cuando tengo vaps busco polinomio caracteristico.
3.a partir del polinomio formo el "edificio de jordan" (tmb se puede llegar al edificio calculando el rango de: Matriz^2 -vap*Id) dp con Matriz al cubo, hasta que el rango no varia).
4.Una vez construido puedes deducir de alli la matriz de Jordan.

En tu caso, si no me equivoco, diria que el Vap es 0
por lo tanto polinomio caracteristico es Q(t) = (0-t)^4
el ^4 nos indica la altura del edificio por lo tanto quedan 4 bloques verticales.
Representado en vectores seria algo asi:
v1
v2
v3
v4

El vector v4 q se encuentra en la planta baja, es el vector linealmente independiente.
entonces para generar la matriz debes pensar si el vector en el que estoy tiene debajo algo, si tiene debajo algo marcamos con un 1 sino con un 0
entonces quedaria algo de este estilo:


0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
EN LA DIAGONAL EL VAP (en este caso 0, i debajo de los vectores que no son l.i, un 1).

y luego para calcular lo del cambio de base, tenias que encontrar el valor de los vectores
i colocarlos en columna i el truco estaba en que
v1 era de la base de el calculo que hacias arriba de la matrizorignial^4-0*Id (en este caso)
v2 de matrizoriginal^3-0*Id i asi ir haciendo con el resto.
y luego tmb era interesante ver que muchas veces algun vector es el de la base canónica.


He intentado explicarme.. no se si de forma clara :S

Fernando Revilla:
En mis innumerables cursos dados a alumnos de distintas Escuelas Técnicas y Facultades, observé cada "maestrillo tenía su librillo" y había casi tantos métodos para hallar la forma canónica de Jordan y la matriz de cambio como profesores. Ahora bien, me quedo con un método bastante limpio y autocontenido. Se explicaba en la Escuela de Montes de Madrid y yo le dí la siguiente forma:

Paso 1. Hallamos los valores propios de . En nuestro caso: (cuádruple).

Paso 2. Para cada valor propio tenemos que obtener tantos vectores como indica su multiplicidad.

2.1. Si la dimensión del subespacio propio asociado a coincide con la multiplicidad de elegimos sencillamente una base de dicho subespacio propio.

2.2. Si la dimensión del subespacio propio asociado a es menor que la multiplicidad de elegimos vectores satisfaciendo las condiciones:



Si llegado a un sistema, este resulta ser incompatible, contamos el número de vectores obtenido. Si es igual a la multiplicidad de hemos terminado con este valor propio.

Si no es así empezamos a construir una nueva cadena de vectores satisfaciendo las condiciones:



El proceso se termina cuando el número de vectores obtenido coincide con la multiplicidad de . Hay que tener la precaución de elegir el conjunto cuyos vectores son el primero de cada cadena de tal manera que formen sistema libre. La base es de Jordan pues:



(hemos supuesto para evitar escribir repetitivamente el simbolo de transposición que los vectores que escribamos, son vectores columna)

y en consecuencia la matriz del endomorfismo dado por en la base canónica de sería en la base :



En nuestro caso: . En vez de resolver uno a uno, resolvemos el sistema general:



La condición de compatibilidad de este sistema es:

Vector .

. Este vector "" estará de en el siguiente sistema, así que le imponemos las condiciones de compatibilidad quedando en consecuencia podemos elegir arbitrario, por ejemplo . Tenemos

Vector .

. Este vector "" estará de en el siguiente sistema, así que le imponemos las condiciones de compatibilidad quedando en consecuencia podemos elegir arbitrario, por ejemplo . Tenemos

Vector .

. Este vector "" estará de en el siguiente sistema, así que le imponemos las condiciones de compatibilidad quedando en consecuencia podemos elegir arbitrario, por ejemplo . Tenemos

Vector .

. No necesitamos ningún vector más así que no imponemos condición de compatibilidad, elegimos por ejemplo . Tenemos .

En consecuencia, la forma canónica de Jordan de es:



La matriz de cambio que cumple es:



He verificado que efectivamente, es decir, no hay errores de operación.

En el caso de que nos hubieran pedido solamente la forma canónica de Jordan y no la matriz , podríamos haber hallado el polinomio mínimo con lo cual para nos diría que existe una caja de orden 4 que por tanto debe ser única. Otra opción sería hallar lo cual nos informa de que existe una única caja para y por tanto debe ser de orden 4.

Saludos.

Navegación

[0] Índice de Mensajes